Stichwortverzeichnis

Präsentation zum Thema: "Stichwortverzeichnis"—  Präsentation transkript:

0 ... mit uns können Sie rechnen! Parabel zweiten Grades
Gernot Mühlbacher ... mit uns können Sie rechnen! * Quadratische Funktion Parabel zweiten Grades Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! 32 © Gernot Mühlbacher Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt.

1 Stichwortverzeichnis
1 führt immer zum 32 Lernen ist mehr als Verstehen Bildnachweis: 33 Folien-Nr. anklicken! Folie Nr.: Abszisse 5 Normalparabel 4 allgemeine Form 14 Nullstellen 21,22,27 Arten von Zahlen 31 Ordinate Bildpunkt 6 Parabel 6, 30 Berührpunkt 19, Quadratische Fkt. 4, 30 Stauchen 7, 10 Diskriminante 24 Quadratische Ergänzung 13,15,22 Strecken Funktionsbegriff 29, 30 Rechtsverschiebung 11, 14 Tangente 19,23,24 Koordinatensystem Scheitelpunkt Urpunkt Koordinaten Scheitelpunktsform 12, 14-15 Verschieben (Richtung y-Achse) Lage von Gerade und Parabel 19 Schnittpunkt von Gerade und Parabel 19-22,24 Verschieben (Richtung x-Achse) 11 Llneare Funktion 30 Sekante Verschiebeform 12, 14 Linksverschiebung Spiegelung 8 - 10 Vier-Stufen-Prinzip 25-26, 28 ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

2 Auf getrennten Wegen! ... und doch verbunden.
Auf dem Lehrwerk über „Lineare Funktion“ bauen zwei Themen auf, die es jetzt im Sinne der Übersichtlichkeit getrennt zu behandeln gilt: „Quadratische Gleichungen‘“ und „Quadratische Funktion / Parabel“. Die Berührungspunkte und Vernetzungen werden aber in den folgenden zwei Lehrwerken immer wieder aufscheinen. Du solltest ab und zu versuchen, parallel mit beiden Lehrwerken zu arbeiten! Zumindest bis Folie 14 solltest du im Lehrwerk „Quadratische Gleichungen schon mal vorgearbeitet haben. 1

3 Schauspiel mit Wasser Imponierend ... Wasser ist für den Künstler ein beliebtes Gestaltungselement. Diese regelmäßige geometrische Form weckt sofort die Neugier des Mathematikers. Kann ich diese Verlaufskurve mathematisch beschreiben? (evtl. Funktionsgleichung ...?) ... oder besinnlich. Skizziere selbst denkbare Kurven!! Fertig? ...KLICK! Mit einem einfachen Wasserschlauch kannst du im Garten jederzeit ein solches Schauspiel nachvollziehen. Der Wasserdruck und der Winkel, unter dem du den Schlauch nach oben richtest, werden wesentlich darüber entscheiden, welche Verlaufskurve die Wassersäule beschreibt. Überlege, von welchen Einflüssen (Parametern) der Kurvenverlauf der Wassersäule abhängt! Fertig? ...KLICK! Unser Ziel ist es, solche regelmäßigen Kurven beschreiben und erklären zu können. 1 Bild 1 Bild 2

4 Die beiden Parabeläste sind nach oben geöffnet.
NORMALPARABEL Kannst du dich für eine entscheiden? Welche zwei Funktionsgleichungen kannst du sofort ausschließen? Begründe! Bist du fertig? ... oder hast du keinen Vorschlag?...KLICK! Mit der Wassersäule geht das zwar nicht, ... aber die gezeichnete Kurve können wir auf den Kopf stellen. Der Vorteil im Augenblick: Wir haben es nur noch mit positiven y-Werten zu tun. Die beiden Parabeläste sind nach oben geöffnet. Eine der 4 folgenden Funktionsgleichungen beschreibt den blau eingezeichneten Graphen. P1 I y = -0,5x + 5 I und III sind Gleichungen 1. Grades. Sie beschreiben lineare Funktionen. Das Schaubild müsste eine Gerade sein II y = x2 III y = 2x Markante Punkte: IV y = √x x -3 -2 -1 1 2 3 x y -2,5 1,5 ⬇ y 9 4 1 6,25 2,25 P2 Dieser Tiefpunkt ist der Scheitelpunkt S der Parabel. Hast du auch diese Punkte ausgewählt? Die abhängige Größe y ist immer die Quadratzahl der unabhängigen Größe x. Gib die Abbildungsvorschrift x  y in Worten an! Fertig? ...KLICK! S Abbildungsvorschrift (Funktionsgleichung): y = x2 Wir wollen nun das Bild der Normalparabel verändern und verschieben. Suche sieben markante Punkte im Kurvenverlauf und trage die Koordinaten in eine Wertetabelle ein! Fertig? ...KLICK und vergleiche! Gib die Abbildungsvorschrift x  y in Form eine Funktionsgleichung an! Fertig? ...KLICK! Überprüfe dies auch für die Punkte P1(-2,5/ ) und P2(1,5/ ) Fertig? ...KLICK Die Funktion y = x2 ist die einfachste Form einer quadratischen Funktion. Uns interessiert, wie sich die Funktions-gleichung dabei Schritt um Schritt verändert. Ihr Graph ist die Normalparabel. 1

5 DAS KARTESISCHE KOORDINATENSYSTEM
... mal kurz Vokabeln lernen! Wir arbeiten nur mit dem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem. Die waagrechte x-Achse heißt Abszisse. Ordinate y-Achse Die senkrechte y-Achse heißt Ordinate. P (2/3) Abszisse Für den x-Wert und den y-Wert eines Punktes P verwendet man ebenfalls diese zwei Begriffe: Ordinate x-Achse Ordinate Abszisse Abszisse P (2 / 3) P (x / y) Zusammen bilden sie die Koordinaten. Diese Begriffe wollen wir ab jetzt ohne weitere Erklärungen in diesem Sinn gebrauchen. 1

6 VERSCHIEBEN DER NORMALPARABEL ENTLANG DER Y-ACHSE
Wir wollen die Normalparabel um 1,5 Einheiten in Richtung der positiven y-Achse verschieben. Ur-punkte: x -3 -2,5 -2 -1 1,5 1 2 3 y 9 6,25 4 2,25 x2 Bild-punkte: x y x -3 -2,5 -2 -1 1,5 1 2 3 y 7,75 5,5 2,5 1,5 3,75 y = x2 + 1,5 Die Abszisse (der x-Wert) der Punkte bleibt erhalten. Die zugehörige Ordinate (der y-Wert) vergrößert sich um den Wert 1,5. Wenn wir die Parabel in Richtung der negativen y-Achse (also nach unten) verschoben hätten, dann hätte sich der Wert der zugehörigen Ordinate y um 1,5 Einheiten vermindert. y = x2 - 1,5 Wie wirkt sich das Verschieben entlang der y-Achse um 1,5 Einheiten nach oben auf die Koordinaten der Punkte aus? Fertig? ...KLICK! Wie wirkt sich das Verschieben entlang der y-Achse um 1,5 Einheiten nach unten auf die Koordinaten der Punkte aus? Fertig? ...KLICK! Wie wirkt sich das Verschieben um einen Betrag c entlang der y-Achse auf die Koordinaten aus? Fertig? ...KLICK! Allgemein: Erstelle die neue Wertetabelle! Vergleiche die Koordinaten der verwandten Punkte (Urbild und Abbild)! Fertig? ...KLICK! Beim Verschieben entlang der y-Achse gilt: Die Abszisse (der x-Wert) der Punkte bleibt erhalten. Nach dem Verschieben können wir nicht mehr von einer Normalparabel sprechen. Wir sprechen ganz einfach von einer Parabel. Zeichne auch die anderen Verschiebepfeile noch ein! Fertig? ...KLICK! Die zugehörige Ordinate (der y-Wert) verändert sich sich um den Wert c. y = x2 + c 1

7 1/4 y = ax2 STRECKEN / STAUCHEN DER NORMALPARABEL 1 I II III
Wie heißt der passende Koeffizient 🀆 zur jeweiligen Parabelgleichung? Fertig? ...KLICK! y = 🀆・x2 2 1/4 I x y -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 I x y -2,5 12,5 -2 8 -1,5 4,5 -1 2 -0,5 0,5 1 1,5 2,5 1 III x y -8 16 -6 9 -4 4 -2 1 -1 0,25 2 6 8 III x y -8 -6 -4 -2 -1 1 2 4 6 8 II x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 II x y -4 16 -3 9 -2 4 -1 1 2 3 gestreckte Parabel y = 2x2 gestauchte Parabel y =0,25 x2 Normalparabel y = x2 Gestreckte (engere) Parabel Gestauchte (weitere) Parabel Du siehst hier drei verschiedene Parabeln. Normal-parabel a > → gestreckte Parabel (I) Versuche, durch das Aufstellen der Wertetabellen die Funktions-gleichungen zu bestimmen! Tipp: Beginne mit II ! Fertig? ...KLICK! Sie sind nicht nach oben oder unten verschoben; also ... wird zum/ vom quadratischen Glied x2 keine absolute Zahl addiert oder subtrahiert. a = → Normalparabel (II) Benenne die Parabeln mit sinnvollen Begriffen Fertig? ...KLICK! 0 < a < → gestauchte Parabel (III) Der Wert der Ordinate (der y-Wert) wird durch einen Koeffizienten 🀆 des quadratischen Gliedes (x2) beeinflusst. y = ax2 a 1

8 mit (-1) multipliziert werden.
SPIEGELN AN DER X-ACHSE (1) Die Graphen werden jeweils an der x-Achse gespiegelt. y = x2 y = 2x2+1 y = 0,5x2-1,5 Wie gewinne ich aus einer Parabelgleichung ganz schnell die Funktionsglei-chung des Spiegelbildes? P‘ Erarbeite jetzt den Zusammenhang zwischen den betreffenden Funktionsgleichungen! P Gib in deinen Browser notfalls sinnvolle Suchwörter ein! (z.B. ‚Parabel, Spiegelung an der x-Achse‘) P: y = 0,5x2 – 1,5 Berechne die Ordinaten der Punkte P und P‘! Du siehst: x = 0, dann KLICK! yP = 0,5 ∙(0,5)2 – 1,5 yP = -1,375 P‘: y = 0,5x2 – 1,5 yP‘ = 0,5 ∙(0,5)2 – 1,5 Zeige diesen Multiplikationsschritt an den drei Beispielen!  ...KLICK! yP‘ = 1,375 y‘ = (-1)∙(2x2+1) Koordinaten: P(0,5/-1,375) P‘(0,5/1,375) y‘ = (-1)∙ (x2) y‘ = (-1)∙(0,5x2-1,5) y‘ = -x2 y‘ = -2x2-1 y‘ = -0,5x2+1,5 Vergleiche die Graphen auf der Folie mit deinen Zeichnungen! Was kannst du über die zwei Graphen (oben/unten) jeweils aussagen? ... KLICK! Formuliere das Ergebnis deines Nachdenkens und Nachforschens auf deinem AB! ... erst dann unsere Erklärung  ...KLICK! Soll der Graph einer Funktion an der x-Achse gespiegelt werden, dann muss die rechte Seite der Funktionsgleichung mit (-1) multipliziert werden. Spiegelung: y = f(x)  y‘ = -f(x) Zeichne jeweils die 2 Graphen in das zugehörige Achsenkreuz! Fertig? ...KLICK! Das wollen wir uns noch etwas genauer anschauen! 1

9 SPIEGELN AN DER X-ACHSE (2)
zur vorigen Folie Im Lehrwerk ‚Lineare Funktionen‘ haben wir gelernt, den Graphen von Geradengleichungen zu zeichnen. y = 2x2+1 Wir betrachten den Scheitelpunkt S(0/1) und dessen Bildpunkt S‘(0/-1). - Beide Punkte haben den Abszissen-Wert x = 0 . Gegeben ist die lineare Funktion y = 2x – 1. Der Wert y = 1 des Urpunktes S entstammt dem Funktionsterm f(2x2+1) bzw. y = 2x2 + 1. P(1/yP) P‘(1/yP‘) y = 2x – 1 Berechne zur Überprüfung die Ordinate y von S unter Verwendung der Funktionsgleichung ! y = 2x2 + 1 yS = 2•0+ 1 S(0/1) yS = + 1 S(0/1) Der Wert y‘ = -1 des Bildpunktes S‘ stimmt mit dem absoluten Wert von f (2x2+1) überein (Spiegelung). Er hat jedoch das entgegengesetzte Vorzeichen. y‘ = -2x2 - 1 überprüfe diese Behauptung und berechne die Ordinate von S‘ mit der Fkt.gleichung y‘ = -2x2 – 1! S‘(0/-1) - yS‘ = -2•0+ 1 S‘(0/-1) y‘ = -2x + 1 yS‘ = - 1 Zeichne die Gerade und ihr Spiegelbild! Im Schaubild siehst du ebenfalls einen Urpunkt P und seinen Bildpunkt P‘. Funktionsgleichung des Spiegelbildes: y‘ = (-1)•(2x - 1) -1 Wie lautet die Funktionsgleichung der an der x-Achse gespiegelten Geraden? y = 2x2 + 1 y‘ = -2x2 - 1 y‘ = -2x + 1 yP = 2•1+ 1 y‘P‘ = (-2)•1- 1 Berechne die Koordinaten von P und P‘ mit den betreffenden Funktionsgleichungen f und f‘. Zurück? ... dann KLICK! Du siehst: Die Regel für die Spiegelung und ihre Auswirkung auf die Funktionsgleichung gilt allgemein auch bei anderen Funktionen und ihren Schaubildern. yP = + 3 y‘P‘ = - 3 y‘ = -1∙(2x2+1) P(1/3) P‘(1/-3) y‘ = -2x2-1 1

10 SPIEGELN und gleichzeitig stauchen SPIEGELN und gleichzeitig strecken
y = x2 + 1,5 y = x2 + 1,5 y = x2 + 1,5 y = x2 + 1,5 y = -(0,25x2 + 1,5) y = -0,25x2 - 1,5 y = -(2,5x2 + 1,5) y = -(0,25x2 + 1,5) - y = -(2,5x2 + 1,5) - y = -2,5x2 - 1,5 Was geschieht, wenn du die verschobene Normalparabel mit dem Faktor -1 und x2 mit (1/4 bzw. 0,25) multiplizierst? Zeichne den neuen Graphen! ... dann KLICK! Was geschieht, wenn du die verschobene Normalparabel mit dem Faktor –1 und x2 mit 2,5 multiplizierst? Zeichne den neuen Graphen! ... dann KLICK! 1. Die verschobene Normalparabel wird gespiegelt (→Minus-Zeichen) und gleichzeitig ... 1. Die verschobene Normalparabel wird gespiegelt (→Minus-Zeichen) und gleichzeitig ... 2. gestaucht (geweitet) Faktor a=0,25 2. gestreckt (verengt) Faktor a=2,5 1

11 y = (x - d)2 VERSCHIEBEN DER NORMALPARABEL IN RICHTUNG DER X-ACHSE 1
Durch das Verschieben um 2 Einheiten parallel zur positiven x-Achse behält die Ordinate des Bildpunktes auf der neuen Parabel (rot) den Wert y = 9 der Normalparabel (blau) bei. (Eigentlich hätte die Normalparabel (blau) für die Abszisse x = 5 bereits einen Ordinatenwert von y = 25 erreicht.) P3‘ P1 d P1‘ P1(3/9) ⇒ P1‘(5/9) 2 Einheiten Die Funktionsgleichung der Normalparabel y = x2 muss also für die neue Parabel (rot) angepasst werden. Diese Überlegung gilt für alle Punkte der neuen Parabel. Normalparabel y = x2 25 y = (x - 2)2 Man muss also alle x-Werte um 2 vermindern, damit die Ordinate (y-Wert) des Urpunktes P1 erhalten bleibt. 2 Weise nach, dass die neue Parabelgleichung auch für die Punkte P2‘ (4/4) und P3‘ (-1/9) gilt! dann KLICK! P2‘ (4/4) P3‘ (-1/9) y = (x - 2)2 2 y = (x - 2)2 y = (x - 2)2 P2‘ y = (5 - 2)2 4 = (4 - 2)2 9 = (-1 - 2)2 Wie verändern sich Abszisse und Ordinate eines Punktes P1 bei Verschieben parallel zur x-Achse? dann KLICK! y = 9 4 = 4 9 = 9 P1‘ (5/9) ... wahre Aussage ... wahre Aussage Allgemein: Die Normalparabel wird um den Betrag d verschoben. Also müssen wir den x-Wert der neuen Parabel um den Betrag d vermindern, um die richtigen y-Werte (rot) zu erhalten. y = (x - d)2 Rechtsverschiebung ⇒ positiver Wert für d (z.B. y = (x – (+2))2 = (x – 2)2 Linksverschiebung ⇒ negativer Wert für d (z.B. y = (x – (-2))2 = (x + 2)2 1

12 ÜBUNGEN zum Verschieben, Stauchen, Strecken und Spiegeln
Dein Lernpartner hat mit der Schablone drei Normal-parabeln gezeichnet. B) Du kannst die verschobene/gespiegelte Parabel I in zwei Schritten in die Parabel III überführen. spiegeln ∙(-1) ⇒ Jetzt sollst du die Funktionsgleichungen notieren. Wende die Regeln an und ermittle aus der Funktionsgleichung I für Funktion III die Gleichung! ... dann KLICK! I y = -(x – 3)2 - 1 II y = (x - 3)2 + 1 I: Normalparabel um 3 Einheiten parallel zur x-Achse nach links verschoben. +7 y = (x -(-3))2 ⇔ y = (x + 3)2 Wende das bisher Gelernte an und ermittle auf deinem AB die drei Funktionsgleichungen! ... dann jeweils KLICK! ⇒ verschieben um 7 Einheiten nach links III y = (x +4)2 + 1 II: Normalparabel um 1,5 Einheiten parallel zur y-Achse nach unten verschoben. y = x 2 - 1,5 In dieser Form erscheinen jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes. ➔ Scheitelpunktsform (Verschiebeform) III: Normalparabel um 4 Einheiten parallel zur x-Achse nach rechts und dann 1,5 Einheiten nach oben verschoben. III II I y = (x - 4)2 + 1,5 III y = (x +4)2 + 1 II y = (x - 3)2 + 1 y = x 2 - 1,5 verschieben um 7 Einheiten nach links y = x2 -8x + 17,5 S2(-4/1) S2(3/1) spiegeln ∙(-1) y = (x + 3)2 S1(3/-1) III Hast du eine Idee, wie du deinen Lösungsweg überprüfen kannst? ... dann KLICK! Überprüfung: Verändere die Reihenfolge. Verschiebe zuerst die Funktion I nach links und spiegele dann! I y = -(x – 3)2 - 1 I II 1

13 „QUADRATISCHE ERGÄNZUNG“
Kleines Zwischenspiel: ... ein Weg zurück zur Scheitelpunktsform Folie Aus gutem Grund wenden wir uns kurz der 1. und 2. binomischen Formel zu. 16 gemischtes Glied ⬇ a-Glied⬇︎ ⬇b-Glied 18 (a + b)2 = a ab + b2 Beispiel: (x + 5)2 = x ∙5∙x + 52 = x x (a - b)2 = a ab + b2 Beispiel: (x - 4)2 = x ∙4∙x + 42 = x x Nun zu einem Problem, das uns beschäftigen wird. Wir werden auf Funktionsgleichungen treffen, die rechtsseitig stark an die Lösung eines Binoms erinnern. z.B.: y = x x ,5 y = x x ,5 = 17,5 ist aber keine zum Binom passende Quadratzahl. y = x ∙x + b2 Wie groß müsste das quadratische b-Glied ( b2) sein, damit wir wirklich von einem 2. Binom sprechen können? y = x bx + ? ? Im gemischten Glied steckt die Lösung: Überlege: An welche binomische Formel erinnert dieser rechtsseitige Funktionsterm? Weshalb passt der Wert 17,5 nicht zu einem Binom? ... dann KLICK! -2bx = -8x ⇔ 2b = 8 ⇔ b = 8/2 8/2 b2 = 16 Wir können unseren Term (Beispiel) neu schreiben ... 8 x x + ( ) +17,5 ... und die 2. binomische Formel rückwärts anwenden: y = (x - 4)2 + 1,5 Wo findet die quadratische Ergänzung ihre Anwendung? „Quadratische Ergänzung“: 1. Wir betrachten den Koeffizienten im gemischten Glied. Überlege: Wie können wir schnell und unkompliziert den zahlenmäßigen Betrag der quadratischen Ergänzung feststellen? ... dann KLICK! Auf der vorhergehenden Folie hast du vielleicht festgestellt, dass wir stillschweigend die Parabel III in die Form y = x x ,5 verwandelt haben. 2. Mit dem Quadrat des halben Koeffizienten erfolgt dann die quadratische Ergänzung. Jetzt haben wir den Term auf der rechten Seite wieder zurück verwandelt in die Scheitelpunktsform. Diese „quadratische Ergänzung“ führt zu keiner Änderung des Wertes unseres Funktions-Terms! 1

14 y = x2 Normalparabel y = ax2 + bx + c y = a(x – d)2 + e
ALLGEMEINE FORM und SCHEITELPUNKTSFORM der quadratischen Funktion Beliebter Spezialfall: y = x2 Normalparabel zu Folie Folgende Koeffizienten führen zur Normalparabel. Wir wollen an dieser Stelle die im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen auftretenden Bezeichnungen zusammenfassen. Wir haben sie alle schon kennen gelernt. Unser Weg geht vom Allgemeinen zum Besonderen. 16 In der allgemeinen Form: 17 a = 1 und b = 0, c = 0 → Normalparabel 18 In der Scheitelpunktsform: a = 1 und 19 d = 0, e = 0 → Normalparabel 1. Die allgemeine Form der quadratischen Funktion : 2. Die Scheitelpunktsform (Verschiebeform) der quadratischen Funktion : y = ax2 + bx + c a = 2 Parameter: Beispiel: y = a(x – d)2 + e c = 3 y = 2(x – 1)2 + 1 Beispiel: y = 2x x + 3 b = -4 a ist der Streckungsfaktor der Parabel. Er gibt an, wie stark die Parabel gestreckt oder gestaucht ist. Aus der Scheitelpunktsform lässt sich die Lage des Scheitelpunktes ablesen. ⇾Rechtsverschiebung bedeutet hier: |a| > 1 gestreckt / |a| < 1 gestaucht. ⇒ positiver Wert für d (z.B. y = 2(x – (+1))2 +1 positives a → Parabel nach oben offen negatives a → Parabel nach unten offen +1 = 2(x – 1)2 + 1 - P(0/c) c Linksverschiebung würde bedeuten: Der Koeffizient b des linearen x gibt an, wie steil die Tangente im Berührpunkt P steigt oder fällt. ⇒ negativer Wert für d (z.B. y = 2(x – (-1))2 + 1 -1 = 2(x + 1)2 +1 + e Die absolute Zahl e zeigt an, um wie viele Einheiten die Parabel nach oben (unten) verschoben wurde. Die absolute Zahl c zeigt an, auf welcher Höhe P die Parabel die y-Achse schneidet. 1

15 Binomische Formel lösen!
UMWANDELN Allgemeine Form  Scheitelform Scheitelform  Allgemeine Form y = ax2 + bx + c y = a(x – d)2 + e Beispiel: y = 2x x + 3 : 2 y = 2(x - 1) 1. Die Gleichung (jedes Glied!) durch den Streckungsfaktor a dividieren. (Ziel: a = 1) Binomische Formel lösen! y/2 = 1x2 – 2x + 1,5 2 y = 2(x2 -2x + 1) 2. Quadratische Ergänzung des Klammerterms: ( ) = 1 2 Ergänzen mit dem Quadrat des halben Koeffizienten des gemischten Gliedes: 2 ausmultiplizieren! y/2 = x x ,5 +1 -1 y = 2x2 -4x y/2 = x x ,5 ( ) x x +1 y = 2x x + 3 3. Binomische Formel rückwärts! y/2 = ,5 (x - 1)2 | ∙2 quadratische Ergänzung 4. Jedes Glied der Gleichung (∙2) (Ziel: y isolieren!) y = 2(x - 1) Allgemeine Form Scheitelform 16 y = 2(x - 1) Binom lösen 22 1

16 ? Von der FUNKTIONSGLEICHUNG zum GRAPHEN (1) Kern des Problems 14 15 1
Gegeben ist die Funktionsgleichung: y = 0,5x2 + 3x + 3 x y Kern des Problems Von der FUNKTIONSGLEICHUNG zum GRAPHEN (1) Beim Zeichnen des Graphen empfiehlt sich ein planvolles Vorgehen. Fragen: Welche Informationen kann ich aus der Funktionsgleichung entnehmen? Wie kann ich mir weitere Informationen beschaffen? Welchen Bereich (Ausschnitt) des Koordinatensystems kann ich für den Graphen einplanen? Welchen Bereich soll ich in einer Wertetabelle für die x-Werte vorsehen? Lösungsschritte: Analyse der Werte in der Funktionsgleichung Schnittpunkt mit der y-Achse festlegen/ Öffnung der Parabel? / gestreckt oder gestaucht? 14 ? Umwandeln in die Scheitelpunktform. Skizzieren des Scheitelpunktes und der Symmetrieachse der Parabel 15 Mache dir Gedanken über ein planvolles Vorgehen beim Zeichnen des Schaubildes! Zuerst: Welche Fragen stellen sich? Das wäre eine Übersicht über die Teilprobleme dann KLICK! 3. Auswahl eines Bereiches nach rechts/links und oben/unten auf den Achsen des Koordinatensystems Entscheidung über die sinnvolle Lage des Ursprungs des Achsenkreuzes Wie willst du vorgehen? Skizziere eine Liste deiner geplanten Lösungsschritte! ... dann KLICK! Erkenntnisse auf die Gestaltung der Wertetabelle übertragen x-Werte in der Tabelle eintragen, y-Werte berechnen Zeichnen des Graphen Übertragen der Punkte ins Koordinatensystem, Verbinden 1

17 Von der FUNKTIONSGLEICHUNG zum GRAPHEN (2)
Skizzenfeld Funktionsgleichung: y = 0,5x2 + 3x + 3 3 P x y -7,0 6,5 -6,0 3,0 -5,0 0,5 -4,0 -1,0 -3,0 -1,5 -2,0 0,0 1,0 x y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 Symmetrieachse 1. Die Funktionsgleichung gibt uns zwei wichtige Informationen: a) Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P (0/3). b) Die Parabel ist nach oben geöffnet und gestaucht. (a = +0,5) S (-3/-1,5) 2. Umwandeln der Funktionsgleichung in die Scheitelpunktsform: Äquivalenzumformung (x2 muss den Koeffizienten 1 aufweisen, damit wir die quadratische Ergänzung durchführen können.) y = 0,5x2 + 3x + 3 ・2 2y = 1x2 + 6x + 6 Wir haben einen Plan für den Lösungsweg entworfen. Nimm dein AB und beginne nun! Deine Zwischenergebnisse notierst (skizzierst) du im Skizzenfeld. ... immer wenn du den weiteren Weg nicht findest, dann nutze frühere Folien oder verfolge im Notfall kurzzeitig hier unseren Vorschlag! 2y = x2 + 6x ( ) quadratische Ergänzung 2y = (x + 3) :2 y = 0,5(x + 3) ,5 3 - 1,5 S (-3/-1,5) 3. Ausschnitt aus dem Koordinatensystem festlegen 4. Erkenntnisse auf die Gestaltung der Wertetabelle übertragen / y-Werte berechnen 5. Zeichnen des Graphen Übertragen der Punkte ins Koordinatensystem, Verbinden 1

18 Vom Graphen zur Funktionsgleichung
... rückwärts: Die Koordinaten von S(1/1) setzen wir in die Formel der Scheitelpunktsform (Folie 14) ein. Vom Graphen zur Funktionsgleichung Wir wollen die Scheitelpunktsform und die allgemeine Funktionsgleichung dieser Parabel ermitteln. Grundsätzlich reichen der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen. y = a(x – d)2 + e e = ys = 1 14 y = a(x – 1)2 + 1 y = a(x – 1)2 + 1 y = a(x –(+ 1))2 + 1 d = xs = 1 Noch kennen wir den Faktor a nicht. Er entscheidet über das Ausmaß der Streckung. Präge dir zunächst genau den Lösungsweg ein! Nur das, was du verstanden hast, kannst du dir merken. Deshalb setzen wir für x und y die Koordinaten von P(0/3) ein: 3 Das Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung führt immer zu einer wahren Aussage. 3 = a(0 – 1)2 + 1 Eindeutig ablesbar sind: 3 = a(-1)2 + 1 -1 a) der Scheitelpunkt S(1/1) Kann a = 2 stimmen? b) der Schnittpunkt mit der y-Achse P(0/3) 2 = a ∙1 a > 1 bedeutet eine Streckung der Parabel. Also ... ? P(0/3) a = 2 ... in diesem Fall zu einer Gleichung mit einer Unbekannten. Der Graph der verschobenen Normalparabel (grün) müsste durch die Punkte (0/2) und (2/2) gehen. (y = x2) Funktionsgleichungen: C y = 2(x – 1)2 + 1 2 (Scheitelpunktsform) d S(1/1) e Hier handelt es sich offensichtlich um eine gestreckte Parabel. y = 2(x2 – 2x + 1) + 1 y = 2x2 – 4x c = yP = 3 y = 2x2 – 4x + 3 (allgemeine Form) Eine solche Vorüberlegung ist nützlich. Diese Vorkenntnis hilft dir immer wieder, deinen Lösungsweg kritisch zu überprüfen. Kannst du begründen, dass es sich nicht um eine verschobene Normalparabel handelt? ... dann KLICK! Nimm jetzt dein AB und fertige die Lösung der Aufgabe möglichst aus dem Gedächtnis! Überprüfe dann deine Arbeit! Überprüfe jetzt die Funktionsgleichungen durch den Abgleich mit markanten Punkten des Schaubildes! Normal Jetzt beginnt der eigentliche Lösungsweg. 1

19 GERADE UND PARABEL Die Lage von 1 Hinzu kommt eine Gerade
II y = -1x + 4,5 - 1 4,5 14 Gegeben ist die Parabel I y = 0,4x2 – 1x + 2 → Schnittpunkt mit y-Achse: (0/4,5) Gib vier Informationen, die du aus der Parabelgleichung ablesen kannst! (→ Folie 14) dann KLICK! - 1 2 → Steigungsfaktor m = -1. D.h.: Die Gerade fällt unter einem Winkel von 45°. → Schnittpunkt mit y-Achse: BP (0/2) a = +0,4 (0 < a < 1) Die Gerade ist eine ‚Sekante‘. Welche Eigenschaften der Geraden kannst du aus dieser Funktionsgleichung ablesen? (→ Lehrwerk “Lineare Funktion“) ... dann KLICK! → D.h.: Die Parabel ist nach oben geöffnet. Wir haben die Sekante und die Tangente so ausgewählt, dass sie parallel verlaufen. → D.h.: Die Parabel ist gestaucht. → Die Tangente hat im Punkte BP den Steigungsfaktor m = b = -1. Also: Sie fällt unter einem Winkel von 45°. Uns interessieren die Schnittpunkte mit der Parabel. Wir nennen sie S1 und S2. 45° Möglichkeit 1: Die Schnittpunkte S1 und S2 rücken immer enger zusammen, wenn wir die Sekante parallel nach außen verschieben. Was geschieht, wenn wir die Sekante langsam hin zum Rand der Parabel parallel verschieben? ... dann KLICK! BP S1 S2 Möglichkeit 2: Die Sekante wird zur Tangente, wenn sie bis an den Rand der Parabel verschoben wird. Die Schnittpunkte S1 und S2 fallen zusammen und bilden den Berührpunkt BP. Was geschieht, wenn wir die Sekante so weit verschieben, dass sie die Parabel gerade noch berührt? dann KLICK! S1 S2 Sekante Tangente Möglichkeit 3: Es gibt keinen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt) mehr, wenn wir die Sekante parallel in den Außenbereich der Parabel verschieben. S1 S2 Was geschieht, wenn wir die Sekante noch weiter ganz nach außen verschieben,? dann KLICK! Wir wollen die Schnittpunkte berechnen. Wie bemerkt man bei der Berechnung, welche der Möglichkeiten 1, 2, 3 gerade vorliegt? 1

20 Schnittpunkt(e) berechnet man durch Gleichsetzen der Gleichungen.
Berechnung der Schnittpunkte von GERADE UND PARABEL I yS = 0,4xS2 – xS + 2 0,4xS2 – xS + 2 Durch das Gleichsetzungs-verfahren entfällt die Variable yS. II yS = -xS + 4,5 -xS + 4,5 I = II: = Die Parabel y = 0,4x2 – x und die Gerade y = -1x + 4,5 schneiden sich. -2 +xS 0,4xS2 = 2,5 :0,4 Berechne die Koordinaten! xS2 = 6,25 √ Wir kümmern zunächst uns zuerst nur um S1. xS = √6,25 S1 (xS1/yS1) S1 (-2,5/7) xS = 2,5 S1/S2 Bisher wurde nicht berücksichtigt, dass für die Lösung der Betrag von √6,25 zum Tragen kommt und damit zwei Ergebnisse: xS1 = + √6,25 und xS2 = -√6,25. Beide führen beim Einsetzen in die Gleichungen I und II zu wahren Aussagen. Das ± - Zeichen vor der Wurzel beschreibt die zwei Lösungen für xS (und damit auch für yS). Wer mit diesem Mathe-Thema noch nicht vertraut ist, der erlebt an dieser Stelle, dass Mathematik sehr spannend sein kann. Üblicherweise unterstreicht der brave Schüler hier das Ergebnis (doppelt) und fügt bestenfalls einen Antwortsatz hinzu. Die Rechnung war übrigens bis jetzt richtig. Die Aufgabe ist aber noch nicht gelöst. S2(xS2/yS2) S2(2,5/2) Wenn er mit dem Rechenergebnis wieder die Verbindung zu unseren Graphen sucht, dann bemerkt er, dass es keineswegs zu Punkt S1 passt. Das Ergebnis muss richtig eingeordnet werden. Die errechnete Abszisse xS = +2,5 passt –überraschend- zum zweiten Schnittpunkt S2. Suche nach einer Erklärung für das erste unerwartete Teilergebnis der Berechnung!  ... bei KLICK geht es hier weiter. Berechnung der Ordinaten yS1 und yS2: (xS1 und xS2 werden in die einfachere der beiden Gleichungen I oder II eingesetzt.) Im Lehrwerk ‚Lineare Funktion‘ haben wir den Schnittpunkt von zwei Geraden berechnet. Wende dieses Grundwissen auf diese Aufgabenstellung an! Nimm unseren folgenden Lösungsvorschlag nur dann zur Hilfe, wenn Unklarheiten entstehen!  ... bei KLICK geht es hier weiter. Die Koordinaten des Schnittpunktes S1(xS1/yS1) gelten mit Sicherheit für die Gerade und für die Parabel. (S1 liegt auf der Geraden und der Parabel. Den Wert wollen wir erst noch berechnen.) II yS2 = -xS ,5 II yS1 = -xS ,5 yS2 = -(+2,5) + 4,5 Wir wollten uns doch um die Koordinaten von Schnittpunkt S1 kümmern. Wie löst sich das Rätsel? yS1 = -(-2,5) + 4,5 Also können wir sie in beide Funktionsgleichungen einsetzen. yS2 = + 2 yS1 = + 7 Schnittpunkt(e) berechnet man durch Gleichsetzen der Gleichungen. 1

21 Berechnung der Schnittpunkte von GERADE UND PARABEL (2)
Berechnung der NULLSTELLEN Die x-Werte der Schnittpunkte eines Graphen mit der x-Achse (y = 0) nennt man Nullstellen. 1 2 Wir kennen die Gerade y = x und yS1 = 0,5xS yS2 = 0,5xS2 - 2 0,5xS - 2 = -2xS2 – 1,5xS + 2 Gib eine Definition für den Begriff ‚Nullstelle‘!(Siehe auch Lehrwerk ‚Lineare Funktion‘ Folie 25)   bei KLICK geht es hier weiter. die Parabel y = -2x ,5x Wir berechnen also den (die) Schnittpunkt(e) der Parabel y = -2x2 – 1,5x + 2 mit der Geraden y = 0, indem wir nach dem bewährten Gleichsetzungs-verfahren vorangehen: Informiere dich zum Thema: pq-Formel! Berechne die Nullstellen der Parabel! (Du wirst jetzt ein Beispiel erleben, bei dem nicht immer ‚glatte‘ Rechenergebnisse entstehen.) -2xN2 – 1,5xN + 2 = 0 Schnittpunkt(e) von Parabel und Gerade durch Gleichsetzen: :(-2) →Parabel ‚Nullsetzen‘! -2xS xS = 0 :(-2) 1xN2 + 0,75xN – 1 = 0 →Normalform →pq-Formel  pq-Formel: p = 0,75 q = -1 x2S + 1xS = 0 Das Aussehen dieses Radikanden wird noch interessant werden! p = 1 q = -2 xN1,2 = -0,375 ±√0, Berechne die Schnittpunkt(e) mit Hilfe der pq-Formel!  ... bei KLICK geht es hier weiter. xS1/S2 = -0,5 ± √0,25 + 2 xN1,2 = -0,375 ±1,068 0,25 + 2 xS1/S2 = -0,5 ± √2,25 xN1 = -0, ,068 ≈ -1,44 N1(-1,4) / 0 xS1/S2 = -0,5 ± 1,5 xN2 = -0, ,068 ≈ 0,69 N2(0,7/0) xS2 = +1 xS1 = -2 Die Berechnung der Nullstellen erfolgt durch ‚Nullsetzen‘ der Funktionsgleichung. Bei der Genauigkeit unseres Koordinatensystems lohnt sich die Angabe der Koordinaten nur auf 1 Kommastelle genau. Einsetzen in I: Eigentlich ist die Berechnung der Nullstelle(n) eine Berechnung des Schnittpunktes der Parabel mit der Gerade y = 0. yS2 = 0,5 ∙ yS1 = 0,5∙(-2) - 2 Notiere im Aufgabenverlauf stets die pq-Formel und die Werte von pund q dem Rechnungsverlauf voran ! yS2 = -1,5 yS1 = -3 Wir kennen nun vier markante Punkte unserer Parabel y =2x2 – 1,5x Jetzt wollen wir noch den Scheitelpunkt ermitteln. S2 (1/-1,5) S1 (-2/-3) 1

22 ( ) GERADE UND PARABEL (2) 1 Zeichnerische Darstellung SP(-0,4/2,3)
Thematische Fortführung von Folie 20/21 GERADE UND PARABEL (2) SP(-0,4/2,3) SP (-0,4/2,3) Von unserer Parabel y = -2x ,5x kennen wir inzwischen vier Punkte: SP(-0,4/2,3) S1 (-2/-3) N1(-1,4/0) S2 (1/-1,5) N2(0,7/0) Wenn wir noch den Scheitelpunkt SP kennen, dann können wir die Parabel an der richtigen Stelle skizzieren. N1(-1,4/0) N2(0,7/0) xSP = (xN1 + xN2):2 N1(-1,4/0) N2(0/0,7) 1. Weg zur Scheitelpunktsform: y = -2x ,5x :(-2) allg. Form y = 0,5x - 2 3 4 = x x y -2 ( ) 9 64 + - quadrat. Ergänzung: 3 8 = (x ) y -2 9 64 - S2 (1/-1,5) S2 (1/-1,5) Gutes Training: Leite die Scheitelpunktsform her! (Hilfe: Folien 14 und 15)  ... bei KLICK geht es hier weiter. Hast du eine Idee, dann führe sie aus! Wenn nicht, dann ... KLICK! Zeichne alle bekannten Punkte genau ein und skizziere die Parabel!  ... bei KLICK geht es hier weiter. Ermittle die Koordinaten des Scheitelpunktes SP auch auf dem 2. Weg! Zurück? ... dann KLICK! 3 8 = (x )2 y -2 9 64 -1 ・(-2) S1 (-2/-3) y = -2x2 - 1,5x + 2 y = -2 (x ) 3 8 64 18 2. Weg zur Berechnung des Scheitelpunkts: S1 (-2/-3) y = -2 (x + 0,375) ,281 Vorzeichen! y = -2x ,5x y = -2 (x - (-0,375)) ,281 Der Scheitelpunkt liegt auf der Symmetrieachse der Parabel. Sein x-Wert beschreibt genau die Mitte zwischen den Null-stellen N1 und N2. Wenn du diesen in die Parabelgleichung einsetzt, dann bekommst du den y-Wert. xSP = (-1,4 + 0,7):2 ySP = -2(-0,375) ,5・(-0,375) xSP ≈ -0,375 ySP = -2(-0,375) ,5・(-0,375) Bei der Genauigkeit unseres Koordinatensystems ist bei der Angabe der Koordinaten nur 1 Kommastelle sinnvoll. SP(-0,4/2,3) Abweichung wegen vorangehendem Runden! ySP = -0, , = 2,28.. 1

23 Berechnung des Berührpunktes von GERADE UND PARABEL = 2x – 3,5
Die Parabel I y = 0,8x2 – 2x + 1,5 und die Gerade II y = 2x – 3,5 berühren sich in einem Punkt. Du kennst die Koordinaten des Berührpunktes BP nicht. 0,8x2 – 2x + 1,5 = 2x – 3,5 Ergänze die Wertetabellen auf deinem AB! ... bei KLICK geht es hier weiter. x yI yII 3,5 4,3 3 2,7 2,5 1,5 2 0,7 0,5 0,3 -0,5 1 -1,5 -2,5 -3,5 -4,5 -1 -5,5 x y I y II 3,5 4,3 3 2,7 2,5 2 0,7 0,5 1,5 1 0,3 -1,5 -3,5 -0,5 -1 -5,5 Ohne Zeichnen kannst du in den Wertetabellen den Berührpunkt BP bereits ablesen. BP (2,5/1,5) Berechne durch Gleichsetzen von I und II den Berührpunkt!  ... bei KLICK geht es hier weiter. Umrahme die Koordinaten des Berührpunktes und zeichne die beiden Graphen! ... bei KLICK geht es hier weiter. Berührpunkt durch Gleichsetzung: Jetzt wird eine enge Verzahnung mit dem Lehrwerk „Quadratische Gleichungen“ sichtbar. (Folien 12,13 und 20-23) (Diskriminante) 0,8x2 - 4x + 5 = 0 : 0,8 x2 - 5x + 6,25 = 0 p = -5 q = 6,25 Der Radikand hat genau den Wert 0. Kennzeichne die typische Situation, in der sich entscheidet, dass nur ein gemeinsamer Punkt zwischen Parabel I und Gerade II existiert! (Kringel) x1,2 = 2,5 ±√6,25-6,25 x1,2 = 2,5 ± 0 xBP = 2,5 Einsetzen in II: II y = 2x – 3,5 yBP = 2∙2, ,5 yBP = 1,5 BP (2,5/1,5) 1

24 √ √0,391 - √ - 1,276 Die GERADE liegt außerhalb der PARABEL
DIE DISKRIMINANTE Gibt es einen Schnittpunkt? Wie stellen wir das fest? Die Diskriminante D ist der Radikand unter dem Wurzelterm der pq-Formel oder abc-Formel. Wir haben drei Fälle unterschieden: Wir sind nicht sicher, ob sich die Parabel I y = x2 + 2x + 1 1 5 D > 0 D = 0 D ist negativ D < 0 und die Gerade II y = 0,5x - 1 schneiden. Recherchiere die Bedeutung des Begriffes Diskriminante!  ... dann KLICK! zwei Lösungen S1 und S2 eine Lösung BP keine Lösung Die Schnittpunkts-Berechnung durch Gleichsetzen der Gleichungen I und II wird Aufschluss geben. Sekante Gerade außerhalb Gleichsetzen I = II: Tangente x2 + 2x + 1 6 5 = x - 1 1 2 Folien 19-23 Folie 19, 23 Folie 19, 24 x x = 0 6 5 3 2 : 6 5 Die Diskriminante D gibt den rechnerischen Hinweis, ob die Gerade schneidet, berührt oder außerhalb der Parabel verläuft. x x = 0 5 4 10 6 Satz: Umkehrsatz: pq-Formel 1. Wenn die Diskriminante D einen positiven Wert hat (D > 0 ➔ 2 Lösungen), dann ist die Gerade eine Sekante. 1. Die Gerade ist eine Sekante, wenn die Gleichung zwei Lösungen hat. (D > 0) p = 5/4 q = 10/6 S1 S2 x1,2 = 5 8 25 64 10 6 √ Wende das Gleichsetzungsverfahren an!  ... bei KLICK geht es hier weiter. 2. Wenn die Diskriminante D den Wert 0 hat (D = 0 ➔ eine Lösung), dann ist die Gerade eine Tangente. S1 S2 2. Die Gerade ist eine Tangente, wenn die Gleichung eine Lösung hat. (D = 0) Begründe, dass dieser Wurzelterm nicht lösbar ist! (Lehrwerk ‚Wurzeln‘ / Folie 11)  ... bei KLICK geht es hier weiter. x1,2 = 5 8 1,667. √0,391 - Sekante Tangente Welche schriftlichen Aussagesätze (Regeln) kannst du aus den anderen zwei Fällen ableiten. Bilde auch den Umkehrsatz dazu! Prüfe, ob der Umkehrsatz auch stimmt!  ... bei KLICK geht es hier weiter. S1 S2 BP √ - 1,276 x1,2 = 5 8 Gerade außerhalb 3. Wenn die Diskriminante D einen neg. Wert hat (D < 0 ➔ keine Lösung), dann hat die Gerade keinen Schnittpunkt. 3. Die Gerade hat keinen Schnitt-punkt, wenn die Gleichung keine Lösung hat. (D < 0) Da der Radikand negativ ist, gibt es für x keine reelle Lösung. → kein Schnittpunkt! 1 24

25 Modellieren mit Parabel und Gerade Vorangehen im ‚4-STUFEN-PRINZIP‘
Im Hochgebirge wird eine Lawine künstlich mit einem Sprengkörper ausgelöst, der in einer Parabelkurve [y = -0,05(x -10)2 + 5] zu Tale fliegt. 1. Stufe: Wir machen uns ein Bild Wir gehen Schritt für Schritt durch den Text. Dabei tauchen Fragen / Unklarheiten auf und gleichzeitig entsteht eine Vorstellung: Von der Mündung des Wurfgerätes aus erscheint der Abhang unter einem Winkel von -45°. Unser Thema ‚Parabel‘ ist hier in einen wirklich bestehenden Zusammenhang eingebettet. Wir haben bereits in verschiedenen vorangehenden Lehrwerken mit dem ‚4-Stufen-Prinzip‘ (hier → Folie 28) gearbeitet, mit dessen Hilfe wir solche Aufgaben bearbeiten und schrittweise lösen. Notiere Fragwürdiges auf deinem AB!  ... bei KLICK geht es im Text weiter. Kann ich mir die Situation in einer Hochlage oberhalb eines Lawinenhanges bildhaft vorstellen? Wie viele Höhenmeter unterhalb schlägt der Sprengkörper auf dem Abhang auf? Wie weit wurde der Sprengkörper nach außen geworfen? Wie sieht ein solches Wurfgerät aus? Wie hoch ragt es über den Schnee hinaus? Wie verläuft die Flugkurve? Wo ist der Aufschlagpunkt? 2. Stufe: Bezüge zur Mathematik in diesem Bild? Studiere das ‚4-Stufen-Prinzip‘ auf Folie 28 und vergleiche das Verfahren mit unserem Vorgehen im Lehrwerk „Lineare Funktion“ (Folie 23) u.a.   ... bei KLICK geht es hier weiter. Wie und wo stelle ich mir den Winkel vor, unter dem der Hang geneigt ist? -45° 3 m Abszisse Von wo bis wo messe ich die Höhenmeter? Dazu ein Fachbegriff in einem denkbaren Koordinatensystem? Wie zeige ich die waagrecht gemessene Weite am Hang? Ein Fachbegriff in einem denkbaren Koordinatensystem? Ordinate Mathematisch gesehen ist der Aufschlagpunkt nichts anderes als der Schnittpunkt der Parabel mit einer Geraden . Vereinfache das Bild so weit, dass nur noch die für die Berechnung wichtigen Elemente übrig bleiben! ... dann KLICK! Aufschlagpunkt + Das Wissen um die Zusammenhänge ist bereitgestellt. Wir haben ein vereinfachtes Bild. 1

26 1 Berechnen der Schnittpunkte S1 und S2 durch Gleichsetzen:
Lege sinnvoll ein Koordinatensystem über das Bild! ... dann KLICK! Berechnen der Schnittpunkte S1 und S2 durch Gleichsetzen: I (Parabel) = II (Gerade) Die Parabel und die Gerade schneiden sich an der Mündung des Wurfgerätes. Dort denken wir uns den Ursprung des Koordinatensystems. -0,05(xS -10) = -1xS : (-0,05) SP N1 N2 (xS– 10) = 20xS Berechne die Schnittpunkte der Graphen! ... dann KLICK! S1 40m xS xS = 20xS -20xS Entnimm der Scheitelpunktsform die Koordinaten des Scheitelpunkts! ... dann KLICK! Somit läge eine Nullstelle auf dem Ursprung des Koordinatensystems. xS xS = 0 Ein Produkt hat dann den Wert Null, wenn einer der Faktoren Null ist. xS(xS - 40) = 0 40 3. Stufe: Anwendung der Rechenkenntnisse xS1 = 0 yS1 = 0 →S1(0/0) xS2 = 40 yS2 = -40 →S2(40/-40) Berechne die Nullstellen der Parabel! I y = -0,05(x -10)2 + 5 40m S2 0 = -0,05(xN -10)2 + 5 4. Stufe: Ergebnisse kritisch überprüfen und Rechenauftrag (siehe Text) beantworten -0,05(xN xN +100) + 5 = 0 : (-0,05) xN xN = 0 -100 Überprüfe kritisch die Richtigkeit deines Rechenergebnisses und formuliere einen Antwortsatz ... dann KLICK! Die Ursprungsgerade fällt mit -45° (m = -1) Funktionsgleichung: II y = -1x Die Wertetabellen und die Darstellung durch die Graphen zeigen die rechnerische Richtigkeit. xN xN = 0 xN (xN ) = 0 Im Text der Aufgabe wurde der Begriff ‚unterhalb‘ gebraucht. J e nach deinem Verständnis lautet die Antwort: 20 Berechne zur Probe die Wertetabelle! ... dann KLICK! xN1 = 0 →N1(0/0) Diese Berechnun-gen waren nicht zwingend nötig. Sie geben uns Sicherheit! Ein Produkt hat dann den Wert Null, wenn einer der Faktoren Null ist. xN2 = 20 →N2(0/20) Der Sprengsatz landete ca. 37m unterhalb der Standfläche des Wurfgerätes und 40m nach außen am Hang. Oder: Der Sprengsatz landete 40m unterhalb der Mündung des Wurfgerätes und 40m außen am Hang. Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktsgleichung: (Folie 12/14) → SP(10/5). Die Darstellung des Lösungsweges war überdurchschnittlich ausführlich. Du solltest über den gewünschten Umfang eine Aussprache / Beratung mit einem Lernpartner oder einer Lehrperson anstreben. 1

27 NULLSTELLEN-BERECHNUNG (...ein paar Gedanken zum Hintergrund)
Eigentlich ist die Berechnung der Nullstelle(n) einer Parabel nichts anderes als die Berechnung der Schnittpunkte mit der Geraden y = 0 (d.h. mit der y-Achse). Eine Stelle im Verlauf der Rechnung gibt jedoch Anlass zum Nachdenken. = 0 = 0 Die dieser Bestimmungsgleichung entsprechende Funktionsgleichung heißt: II y = x2 – 1,5x - 2,5 Beispiel: Parabel I y = 2x x 2x x x2 - 1,5x ,5 II ist offensichtlich auch die Funktionsgleichung einer Parabel. : 2 Sind die Funktionsgleichungen I und II äquivalent? Haben sie das gleiche Schaubild? Durch das Nullsetzen wird die Funktionsgleichung zur Bestimmungsgleichung. Berechne die Nullstellen der Parabel! ... dann KLICK! Um die pq-Formel zur Berechnung anwenden zu können, bringst du die allgemeine Form der quadra-tischen Gleichung zuerst in die Normalform. Welche gedankliche Folgerung kannst du aus den Schaubildern der ‚irgendwie‘ verwandten Funktionsgleichungen ziehen? ... dann KLICK! Nur die Bestimmungs-gleichungen mit gleicher Lösungsmenge sind äquivalent (gleichwertig). Sie entstehen durch Äquivalenzumformungen. Scheitelpunkt II y = x2 – 1,5x – 2,5 p = -1,5 q = -2,5 I y = 2x2 - 3x - 5 Scheitelpunkt  x1,2 = ±√0,5625+2,5 y = 0 Berechne die Ordinaten! Zeichne das Schaubild der Parabel y = x2 – 1,5x – 2,5! ... dann KLICK! x1,2 = ± 1,75 N1(-1/0) N2(2,5/0) Folgerung: x1 = -1 N1(-1/0) Die Funktionsgleichungen der Parabeln I und II sind nicht äquivalent ... ... aber die Graphen haben die gleichen Nullstellen. x2 = 2,5 N2(2,5/0) y = 2x2 - 3x - 5 Erstelle zur Kontrolle eine Wertetabelle und zeichne die Parabel! ... dann KLICK! Die Probe durch Zeichnung der Parabel zeigt dir die Richtigkeit deiner Berechnung. Funktionsgleichung: I y = 2x x Bestimmungsgleichung: 0 = 2x x : 2 keine Äquivalenzumformung Äquivalenzumformung II y = x ,5x ,5 1 0 = x ,5x ,5

28 DAS ‚4-STUFEN-PRINZIP‘ ... ein Kreislauf
... dann benennt man den gesamten Kreislauf mit dem Fachbegriff „Modellieren“. beim Lösen von Mathe-Problemen in ‚Textaufgaben‘. Hintergrund ist eine wirklichkeitsnahe Geschichte. (oft) In Ruhe durchlesen . Ist die Frage schon gestellt? Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? Kann ich mir das vorstellen? Fehlen mir Informationen? Wo finde ich sie? Sind etwa unnötige Informationen enthalten? 1. Stufe: “Sich ein Bild machen.“ 2. Stufe: „Vom Bild zur Mathematik“ Was ist der Kern des Problems Zusammenhänge suchen und herstellen, übersetzen in mathematische Sprache (z.B. Symbole, Skizzen, Zeichnungen, Gleichungen  Modelle). Entscheidungen zum Lösungsweg ‚Modellbildung‘ eigentliche ☞ 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen und/oder zeichnen im Modell! z.B. Grundrechenarten/ Gleichungen/ Gleichungssysteme/Zeichnungen/Graphen bis zum Ergebnis ... ist eigentlich ein KREISLAUF kritisch bewerten, auswerten, evtl. runden, wieder einordnen in die reale Geschichte! Rückübersetzen der mathematischen Sprache in die Alltagssprache ➔ Antwortsatz 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses / Antwortsatz. 1

29 DER FUNKTIONSBEGRIFF = x f(x) = y f: x → 3x f(x) = 3x y = f(x) y = 3x
Vereinfachtes Modell: Definition: Eine Funktion f ordnet jeder reellen Zahl x aus ihrem Definitionsbereich 𝔻 genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich 𝕎 zu. Du kannst dir die Funktion als Apparat vorstellen. unabhängig abhängig Funktion Definitionsbereich („Alles, was eingesetzt werden muss.“) Input Output Wertebereich („Alles, was rauskommen darf.“) Die Mengendarstellung eignet sich gut, um die Zuordnungen sichtbar zu machen. 𝔾 = ℝ Konkretes Beispiel: Verdreifacher 3x 1 25 81 16 121 9 4 169 36 ... 5 15 4 -5 1 3 -2 = x f(x) = y 𝔻 = {1;-2;3;4;-5} 𝕎 = ℕ Schreibweisen: Fachsprache: Definitionsbereich: Der Definitionsbereich 𝔻 enthält eine genau festgelegte Menge von Elementen aus dem Grundbereich 𝔾. „x wird abgebildet auf f(x)“. f: x → 3x Oder man gibt die Zuordnungsvorschrift (Rechenvorschrift) zur Kenntnis: Wertebereich: Die zugeordneten Werte stammen aus dem Wertebereich 𝕎. f(x) = 3x Grundbereich: Wenn es nicht anders festgelegt wird, so bildet die Menge ℝ der x reellen Zahlen den Grundbereich 𝔾. Die traditionelle Schreibweise: f(x) = y = 3x y = 3x y = f(x) 1

30 Das Schaubild ist eine Gerade.
Funktionen Definitionsbereich: Der Definitionsbereich 𝔻 enthält eine genau festgelegte Menge von Elementen aus dem Grundbereich 𝔾. Definition: Eine Funktion f ordnet jeder reellen Zahl x aus ihrem Definitionsbereich 𝔻 genau eine reelle Zahl y = f(x) aus dem Wertebereich 𝕎 zu. Wertebereich: Die zugeordneten Werte stammen aus dem Wertebereich 𝕎. Grundbereich: Wenn es nicht anders festgelegt wird, so bildet die Menge ℝ der reellen Zahlen den Grundbereich 𝔾. Lineare Funktion y = mx + b Alle Funktionen (ersten Grades), deren Schaubild eine Gerade ist, heißen lineare Funktionen. (linea  Linie, Faden) Quadratische Funktion y = ax2 + bx + c Das Schaubild ist die Parabel. Das Schaubild ist eine Gerade. Die Steigung berechnest du, indem du den senkrechten Höhengewinn [y-Achse ↑(+)bzw.↓(-)] durch die waagrechte Entfernung [x-Achse →(+)bzw.←(-)] dividierst. Die Funktion y = x2 ist die einfachste Form einer quadratischen Funktion. Ihr Graph ist die Normalparabel. 1

31 Arten von Zahlen e π -√3 √7 ⅚ -⅜ ⅘ √15 ℝ ℤ -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5
Den natürlichen Zahlen ℕ begegnen wir bereits in der Grundschule. ℕ={1, 2, 3, ....} Arten von Zahlen Ein Überblick: ℝ Es ist nicht einheitlich festgelegt, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Eine weit verbreitete Schreibweise zählt die Null dazu und benennt diese Menge mit ℕ0={0, 1, 2, 3, ...}. ℤ π e -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ ℕ0 ℕ0 ist nur ein Teil der Menge der ganzen Zahlen ℤ. -√3 √7 √15 3 ... ⅘ -⅜ 1,2 -2,5 ⅚ 7/11 Es gibt auch noch die negativen ganzen Zahlen: {-1, -2, -3, ....} ℚ ℤ = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Wo ordnen wir die Bruchzahlen ein? { ... -½, -⅔, -⅘, -1,25, ⅜, 0,38 32/7, ... } Du kannst jede ganze Zahl aus der Menge ℤ als Bruchzahl schreiben. z.B. 3 = 3/1 oder -2 = -2/1. Auch die endlichen Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. z.B. 1,2 = 12/10. Also gehört jede ganze Zahl und jede endliche Dezimalzahl auch zu den Bruchzahlen. Bei etlichen Nennern ergeben sich beim Dividieren auch unendliche periodische Dezimalzahlen. z.B. 7/11 = 0,63. Alle diese Bruchzahlen nennt man rationale Zahlen. Zeichen: ℚ (von Quotient) Neu: Die unendlichen und nicht periodischen Dezimalbrüche, die beim Ziehen von Wurzeln entstehen. (Immer, wenn der Radikand keine Quadratzahl bzw. kein Wert höherer Potenzen ist.) Alle diese Wurzelwerte können wir nicht als Bruchzahlen schreiben. Man spricht von den irrationalen Zahlen. Da man sie genau wie alle rationalen Zahlen aber auf dem Zahlenstrahl genau verorten kann, fasst man sie mit diesen als reelle Zahlen zusammen. Zeichen: ℝ 1 Du kennst bereits eine andere irrationale Zahl, nämlich die Kreiszahl Pi. π ≈ 3, Außerdem gehört die sog. Eulersche Zahl e (Wachstumszahl) dazu. e≈ 2, 31

32 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 2

33 1 1 1 Bildnachweis: Parabel
Eigene Fotos und eigene Werke wurden nicht in die fortlaufende Nummerierung aufgenommen. Folie: 3 Bild1 Jet-d'eau-Genève.jpg  Lizenz  Diese Datei ist unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung 2.5 generisch“ (US-amerikanisch) lizenziert. Michel Bobillier put it under the Cc-by-2.5 Urheber Michel Bobillier aka athos99 Quelle Photo prise par Michel Bobillier aka athos Titel/Jahr: créé le août 2005 à 20:10 Medium: Fotografie (Ausschnitt / in der Höhe gestreckt)) Ort: Genève /Suisse) Folie: 3 Bild 2 ParabolicWaterTrajectory.jpg  Lizenz  Unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 nicht portiert“ lizenziert. Urheber GuidoB (eigenes Werk) Titel/Jahr: Fuente de Hercules / 4. Oktober 2009 Medium: Fotografie (verkleinert) Ort: en el Jardín de la Isla / Palacio real, Aranjuez, Madrid, España 1 1 1

34 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

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