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Steigung und lineare Funktionen 1. Der Begriff der Steigung In England werden Steigungen und Gefälle von Strassen als Verhältnisse angegeben.

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Präsentation zum Thema: "Steigung und lineare Funktionen 1. Der Begriff der Steigung In England werden Steigungen und Gefälle von Strassen als Verhältnisse angegeben."—  Präsentation transkript:

1 Steigung und lineare Funktionen 1. Der Begriff der Steigung In England werden Steigungen und Gefälle von Strassen als Verhältnisse angegeben.

2 Steigung einer Rampe, einer Strasse, einer Bahn... Bestimmen Sie die Steigung der Rampe und der beiden Seilbahnen.

3 Steigung; Steigungsdreiecke m = 2/10 = 1/5 m = 500 / 1000 = 1 / 2m = -500 / 1000 = -1 / 2 m = 550 / 2200 = 1/4 -

4 Positive und negative Steigung Nehmen Sie ein allfälliges Minuszeichen in den Zähler Bergfahrt Talfahrt n.r. = nach rechts, n.o. = nach oben, n.u. = nach unten

5 Definition der Steigung Nehmen Sie ein allfälliges Minuszeichen in den Zähler!

6 Steigungsdreiecke in Anwendungen Schiefe Ebene mit Steigung (4/10) = 0.4 = 40%: gebogen als Serpentinenstrasse aufgewickelt als Schraubenlinie sich selbst durchdringend als Kehrtunnel

7 Die Steigung von Geradenstücken bestimmen

8 Lösungen: 3/2 = 1.5 7/5 = /7 -1/5 = /1 = -3

9 2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A bis F

10 2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem Lösungen: A(2 | -1) B(4 | 2) C(1 | 5) D(-4 | 6) E(-3 | 3) F(-4 | -2)

11 3. Gesetzmässigkeiten zwischen x- und y-Koordinate a)Welche Gesetzmässigkeit besteht zwischen der x- und der y-Koordinate bei folgenden Punkten? (3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1) b) Tragen Sie diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.

12 (3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1) Gesetz: y = 2x + 1 Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden g. Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung nicht erfüllen, liegen nicht auf g. Das Funktions- gesetz y = 2x + 1 ist gewisser- massen der Member-Code für die Mitglied- schaft eines Punktes P(x | y) bei der rosa gezeichneten Geraden g.

13 (3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (5 | 11), (-1 | -1) Gesetz: y = 2x + 1. Steigung 2, y-Achsenabschnitt 1.

14 4. Funktionen: Funktionsgleichung, Wertetabelle, Graph einer Funktion Eine Funktion f: y = f(x) ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. y = f(x) ist die Funktionsgleichung, d.h. das Gesetz, das zwischen x- und y-Koordinate gelten soll. Beispiel: Funktionsgleichung: a)Erstellen Sie eine Wertetabelle: x | y | b)Zeichnen Sie obige Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinden Sie die gezeichneten Punkte zum Graphen der Funktion f. Wie sieht dieser Graph aus?

15 x | y | Der Graph stellt einen Halbkreis dar. Bemerkung: Als x-Werte kommen hier nur Werte zwischen -4 und +4 in Frage. Man sagt, die Funktion habe den Definitions- bereich [-4; 4]. Die y-Werte bewegen sich nur zwischen 0 und 4. Man sagt, die Funktion habe den Wertebereich [0; 4].

16 5. Lineare Funktionen: y = m x + q oder y = a x + b Zeichnen Sie die Graphen folgender linearer Funktionen: Hinweis zu den letzten beiden Aufgaben:

17 Lösungen

18 Erkenntnisse: y = m x + q m = Steigungszahl q = y-Achsenabschnitt = y-Koordinate des Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse.

19 Wie zeichnen wir lineare Funktionen aus der gegebenen Funktionsgleichung, ohne eine Wertetabelle erstellen zu müssen? Beispiel: 1. Schritt: Steigungszahl als Bruch notieren: 2. Schritt: Start beim Schnittpunkt mit der y-Achse, d.h. bei Q(0 | 5): 3. Schritt: Steigungsdreieck zeichnen: 5 nach rechts, 2 nach unten. Gerade g fertig zeichnen.

20 6. Zusammenfassung Lineare Funktion: y = m x + q oder y = a x + b Dies stellt eine Gesetzes-Beziehung zwischen der x-Koordinate und der y-Koordinate der einzelnen Punkte dar. y heisst deshalb gebundene Variable. y ist durch das Funktionsgesetz von x abhängig. Der Graph einer linearen Funktion y = m x + q ist eine Gerade mit Steigungs- zahl m und y-Achsenabschnitt q, d.h. mit y-Achsen-Schnittpunkt Q(0 | q). Genau die Punkte P(x | y), deren Koordinaten das Funktionsgesetz erfüllen (Member-Code), liegen auf dem Graphen der Funktion. Steigung _____

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