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Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Johannes-Kepler-Gymnasium Plenum.

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Präsentation zum Thema: "Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Johannes-Kepler-Gymnasium Plenum."—  Präsentation transkript:

1 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Johannes-Kepler-Gymnasium Plenum

2 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Wir beginnen mit etwas wirklich Spannendem Monotonie Monotoniesatz

3 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Was bedeutet monoton steigend / fallend, was ist strenge Monotonie? streng monoton steigendkonstantstreng monoton fallend was bedeutet das für die Ableitung der Funktion? f´(x) > 0 f´(x) < 0f´(x) = 0 Und … Monotoniesatz

4 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Wenn eine Funktion f in einem Intervall I monoton wächst, dann gilt f'(x)  0 für alle x in diesem Intervall. Wir fassen die Ergebnisse zusammen: Wenn eine Funktion f in einem Intervall I monoton fällt, dann gilt f'(x)  0 für alle x in diesem Intervall. Monotoniesatz

5 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Es geht auch umgekehrt: Wenn f'(x)  0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall monoton steigend. Wenn f'(x)  0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall monoton fallend. Monotoniesatz

6 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Und noch strenger: Wenn f'(x)  0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall streng monoton steigend. Ergänzung: Wenn f'(x)  0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf dem ganzen Intervall konstant. Wenn f'(x) < 0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall streng monoton fallend. Monotoniesatz

7 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Wir fassen das im Monotoniesatz zusammen: Monotoniesatz

8 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Und noch ein paar wichtige Begriffe: Punkt meint beide Koordinaten P( x | f(x) ) also ( die Stelle x | den Funktionswert y ) Stelle meint nur den x-Wert, Max-, Mini-, Extremum jeweils den Funktionswert y an der Stelle. Ein Extrempunkt E ist also E( Extremstelle x E | Extremum f(x E ) ), ein Hochpunkt HP ist alsoH( Maximalstelle x H | Maximum f(x H ) ), ein Tiefpunkt TP ist also T( Minimalstelle x T | Minimum f(x T ) ). Begriffe

9 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Wie kann man Hoch- und Tiefpunkte mit der Ableitung finden ? Hochpunkte und Tiefpunkte finden

10 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Hochpunkte und Tiefpunkte finden f‘(2)=0 und f‘(4)=0 Funktion f(x) Ableitung f '(x)

11 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase f´- VZW von – nach + f´(4)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von - nach +  Tiefpunkt (TP) bei x = 4 Hochpunkte und Tiefpunkte finden

12 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase f´- VZW von + nach - f´(2)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach –  Hochpunkt (HP) bei x=2 Hochpunkte und Tiefpunkte finden

13 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase < 0 ( - ) f´- VZW von + nach - f(x) = x³ - 9x² + 24x f´(x) = 3x² - 18x + 24 f‘(2) = 0 f‘(1) = 9 f‘(3) = -3 > 0 ( + ) f´(2)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW) von f´(x) von + nach –  Hochpunkt (HP) bei x=2 Hochpunkte und Tiefpunkte finden

14 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Beispiel : f(x) = 0,05  (x 4 + x x x + 32) f´(x) = 0,05  (4x 3 + 3x x - 16) f´(- 0,438) = 0 f´(-1) = 19 / 20 f´(0) = - 4 / 5 > 0 ( + ) < 0 ( - ) VZW von + nach –, also hat f‘ an der Stelle x 0 = - 0,438 einen Hochpunkt. Hochpunkte und Tiefpunkte finden

15 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Liegt immer ein Minimum oder Maximum vor, falls f´(x 0 )=0 ? Es gilt zwar f´(1) = 0, aber f´(x) hat an der Stelle x 0 = 1 keinen VZW  An der Stelle x 0 liegt ein Sattelpunkt vor! Nein ! Hochpunkte und Tiefpunkte finden

16 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase 2. Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW ! Wichtig ! f´(x 0 ) = 0und VZW von f´(x) von - nach +  TP bei x 0 So sucht man Extrema: 1. Suche alle Stellen mit f´(x) = 0 ! Notwendig ! f´(x 0 ) = 0und VZW von f´(x) von + nach -  HP bei x 0 f´(x 0 ) = 0und kein VZW  SP bei x 0 „notwendige Bedingung“ „hinreichende Bedingung“ Zusammenfassung: Extrema finden

17 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase 1.Notwendige Bedingung: Suche alle Stellen mit f´(x)=0, also f´(x) = 12x x x = 0 Beispielaufgabe  0 = 12x x x │ :12  0 = x 3 - 2x 2 + x  0 = x(x 2 -2x + 1)  0 = x(x-1) 2 Damit ist x = 0 eine einfache und x = 1 eine doppelte Nullstelle von f´(x). Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 3x 4 - 8x 3 + 6x 2, x  R

18 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Untersuche f´(x) an diesen Stellen x = 0 und x = 1 auf VZW: VZW von – zu +  TP kein VZW  SP Beispielaufgabe 2. Hinreichende Bedingung: f´(x)=0 und VZW in f´(x) f‘(-1) = - 48 f‘(0,5) = 1,5 f‘(2) = 24

19 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Die drei Fragen: 1.Wie findet man Punkte, die als Hoch- bzw. Tiefpunkte in Frage kommen? 2.Warum ist die Bedingung f´(x) = 0 zwar notwendig, aber nicht ausreichend, um die Frage nach den Extrema zu klären? 3.Wie berechnet man, ob eine Funktion (streng) monoton wachsend bzw. fallend ist?

20 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Hausaufgabe Berechne die Extrema folgender Funktionen mit dem Vorzeichenwechselkriterium: 1.)f(x) = x 3 – 3x )f(x) = x 4 + 4x + 3

21 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Stunde 1. Ohne Buch 2. Im Buch EdM EP-NRW: BASICs Berechne die Extrema folgender Funktionen mit dem Vorzeichenwechselkriterium: a)f(x) = 2x 3 – 9x x – 4 b)f(x) = 4x 3 – 2x 2 + x Gib auch jeweils die Intervalle an, in denen die Funktion (streng) monoton steigt bzw. fällt. S. 162 Aufg. 4 S. 163 Aufg. 6, 7, 9, 10 S. 164 Aufg. 13, 14 TOPs c)f(x) = (x 2 – 1) 2 d)f(x) = 0,2x 5 – 0,5x 4 – x 3 S. 162 Aufg. 2 S. 163 Aufg. 9 LiteraturS. 154 ff Hausaufgaben:

22 Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Berechne die Extrema folgender Funktionen mit dem Vorzeichenwechselkriterium: a) f(x) = 2x 3 – 9x x –4H (1/1), T (2/0) b) f(x) = 4x 3 – 2x 2 + xkeine Extrempunkte c) f(x) = (x 2 – 1) 2 H (0/1), T 1 (-1/0), T 2 (1/0) d) f(x) = x 5 – 4x 4 – 4x 3 H (0/0), T 1 (2,82/-138,04), T 2 (-0,42/-0,78) Lösungen :


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