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1 Wir haben gemogelt !. 2 Untersuchung der Flächeninhalte unter dem Graphen im Intervall [0;b] für folgende Funktionen:

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Präsentation zum Thema: "1 Wir haben gemogelt !. 2 Untersuchung der Flächeninhalte unter dem Graphen im Intervall [0;b] für folgende Funktionen:"—  Präsentation transkript:

1 1 Wir haben gemogelt !

2 2 Untersuchung der Flächeninhalte unter dem Graphen im Intervall [0;b] für folgende Funktionen:

3 3 Untersumme der Rechtecksflächen Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

4 4 Untersumme der Rechtecksflächen Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

5 5 Untersumme der Rechtecksflächen Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

6 6 Wie bestimmt man bei einer beliebigen Potenzfunktion den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion im Intervall von [0; b] ? Wir wissen: Funktionsterm Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall [0; b] Wir vermuten:

7 7 Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit f = x n im Intervall [0; b] beträgt: Wir leiten auf !

8 8 Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Stelle xf(x)g(x)f(x)+g(x) xxx²x + x²

9 9 Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Stelle xf(x)g(x)f(x)+g(x) xxx²x + x² bFläche unter G f auf [0;b] Fläche unter G g auf [0;b] Fläche unter G f+g auf [0;b] ,50,330,83 222,674,67 34,5913,5 4821,3329,33 512,541,6754,17

10 10 Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Stelle xf(x)g(x)f(x)+g(x) xx²x³x² + x³

11 11 Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Stelle xf(x)g(x)f(x)+g(x) xx²x³x² + x³ bFläche unter G f auf [0;b] Fläche unter G g auf [0;b] Fläche unter G f+g auf [0;b] ,330,250,58 22,6746, ,2529,25 421,336485,33 541,67156,25197,92

12 12 Beobachtung zur Summe von Potenzfunktionen Wenn man zwei Potenzfunktionen addiert, addieren sich die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse.

13 13 Wir betrachten jetzt Faktoren vor einer Potenzfunktion Stelle xf(x)g(x) xx3x

14 14 Wir betrachten jetzt Faktoren vor einer Potenzfunktion Stelle xf(x)g(x) xx3x bFläche unter G f auf [0;b] Fläche unter G g auf [0;b] ,51, ,513, ,537,5

15 15 Beobachtung zum Faktor bei Potenzfunktionen Wenn man eine Potenzfunktion mit einem Faktor multipliziert, wird auch der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse mit dem Faktor multipliziert.

16 16 Aufgabe: Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6].

17 17 Null? - Oups! Was ist hier passiert? Wir betrachten den Graphen der Funktion.

18 18 Das Integral Man versteht unter dem Integral von a bis b der Funktion f die Summe der orientierten Flächeninhalte. Beim orientierten Flächeninhalt sind die Flächeninhalte ober- halb der x-Achse mit einem positiven und unterhalb der x- Achse mit einem negativen Vorzeichen versehen. +A1 +A3 -A2-A4

19 19 Mit dem Rechteck-Verfahren wird also das Integral berechnet! Das Integral stimmt genau dann mit dem Flächeninhalt zwischen dem Graph und der x-Achse überein, wenn der Graph auf dem Intervall nicht unterhalb der x-Achse verläuft.

20 20 Potenzfunktion Es gilt: a b

21 21 Wollen wir nun den Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] bestimmen, so müssen wir die Teilflächen bis zu den Nullstellen bestimmen.

22 22 Drei Fragen/Aufgaben: 1. Was versteht man unter einem Integral? 2. Formuliere eine Summen- und Faktorregel für die Intergralrechnung. 3. Wann stimmt der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse mit dem Integral überein?

23 23 Hausaufgabe: BASICS: S. 181 – 183 durcharbeiten, ggf. Fragen notieren S. 185 Nr. 6 a - d Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f mit f(x) = -x²+3x mit der x-Achse einschließt. (Tipp: Mach eine Skizze!) TOPS: Erläutere bzw. begründe den Begriff des orientierten Flächeninhalts


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