Leopold Kohr Akademie 2011 Maß- und Proportionssysteme Grundlagen.

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1 Leopold Kohr Akademie 2011 Maß- und Proportionssysteme Grundlagen

2 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: http://www.xanges.net/seib012/index.php?option=com_content&view=article&id=107:e12&catid=49:e1&Itemid=211. Geometrische Stadtgrundrisse

3 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: unbekannt Geometrische Stadtgrundrisse

4 Leopold Kohr Akademie 2011 BildquelleSitte, Camillo, Der Städtebau nach seinen künstlerischen Grundsätzen, Wien 1909. (Reprint bei Birkhäuser, 2002.). Geometrische Stadtgrundrisse

5 Leopold Kohr Akademie 2011 GRUNDBEGRIFFE MODUL nennt man die grundlegende Maßeinheit, ein Grundmaß, für die Proportionierung eines Baukörpers oder eines Möbelstückes. Beispiele: Japan: Tatami-Mattengröße, 60 cm Raster in der Küchenplanung PROPORTION nennt man die Zusammenhänge der Maßverhältnisse einzelner Architektur- oder Möbelteile untereinander und deren Verhältnis zum Ganzen.

6 Leopold Kohr Akademie 2011 GRUNDBEGRIFFE Diese proportionalen Zusammenhänge können durch: einen Modul (z.B.: 29cm) durch eine geometrische Grundfigur (z. B.: Rechteck 1:  2) oder durch einen arithmetischen Zusammenhang (z. B.: b+2h=63cm) hergestellt werden.

7 Leopold Kohr Akademie 2011 GESCHICHTLICHES ZUR PROPORTIONSLEHRE Literarische Quellen über frühe Proportionslehren finden sich nur vereinzelt. In den 10 Büchern Vitruvs finden sich spärliche Angaben über geometrische und rechnerische Maßgesetzlichkeiten an antiken Bauwerken. Aus dem 14. Jahrhundert sind geometrische Konstruktionszeichnungen zum Bau des Mailänder Domes erhalten. Daneben existiert noch ein Bericht über eine Debatte, ob der Dom nach dem "Triangulum" oder nach dem Quadrat zu errichten sei.

8 Leopold Kohr Akademie 2011 GESCHICHTLICHES ZUR PROPORTIONSLEHRE Vor allen Dingen sprechen Schriften und Skizzen einzelner Künstler wie Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, für die Bedeutung der gesetzmäßigen Zuordnungen der Maße innerhalb eines Kunstwerkes. Die alten Ordnungen der Steinmetzzünfte (Paris 1268, Straßburg 1459) verpflichteten die Mitglieder der Hütte zur Wahrung der Bauhüttengeheimnisse. Die systematische Forschung nach alten Maß- und Proportionsgesetzen setzte zu Beginn des 19. Jahrhunderts ein.

9 Leopold Kohr Akademie 2011 GESCHICHTLICHES ZUR PROPORTIONSLEHRE Als Ergebnis dieser Forschungen steht heute fest, dass an zahlreichen historischen Bauten, Skulpturen und Möbeln etc. eine Übereinstimmung von geometrischen Konfigurationen oder auch Zahlengesetzlichkeiten mit der Komposition dieser Werke besteht. Aus dieser Tatsache kann geschlossen werden, dass diese Kompositionen aufgrund einer angewandten Proportionslehre zustande gekommen sind.

10 Leopold Kohr Akademie 2011 DIE GEOMETRISCHE DEUTUNG DER PROPORTION In jeder geometrischen Figur sind auf Grund ihres Bildungsgesetzes bestimmte Verhältniswerte der Dimensionen der Grundelemente gegeben.

11 Leopold Kohr Akademie 2011 DIE GEOMETRISCHE DEUTUNG DER PROPORTION In jeder geometrischen Figur sind auf Grund ihres Bildungsgesetzes bestimmte Verhältniswerte der Dimensionen der Grundelemente gegeben.

12 Leopold Kohr Akademie 2011 DIE GEOMETRISCHE DEUTUNG DER PROPORTION Zu diesen Grundelementen zählen beispielsweise: Basis, Höhe, Diagonalen, Lotlinien und die zugehörigen Teilungen.

13 Leopold Kohr Akademie 2011 DIE GEOMETRISCHE DEUTUNG DER PROPORTION Die zahlenmäßigen Verhältniswerte, die sich aus diesen Teilungen ergeben bilden Proportionsreihen. Diese Proportionsreihen können die Grundlage einer harmonischen Gestaltung bilden. → Tonreihen Die Ausdrücke "Triangulatur" und "Quadratur" sind Hinweise auf die seit dem Mittelalter überlieferte Wahl des gleichseitigen Dreieckes und des Quadrats als Grundlage von Proportionssystemen hin.

14 Leopold Kohr Akademie 2011 DIE GEOMETRISCHE DEUTUNG DER PROPORTION Zu den bevorzugten Dreiecken zählen etwa die Teildreicke des Quadrats (Spitzenwinkel g=90°), des Sechsecks (g=60°), des Achtecks(g=45°) und des Zehnecks (g=36°) sowie das dem Quadrat eingeschriebene Dreieck von gleicher Basis und Höhe. (g  53°).

15 Leopold Kohr Akademie 2011 DIE GEOMETRISCHE DEUTUNG DER PROPORTION Diese Dreieckstheorie bildet die Überleitung zur Kreisgeometrie. Die aus den regulären Kreisteilungen nach den Zahlen 4, 5, 6, 8, 10, und 12 entstehenden Systeme von Dreiecken Polygonen und Sternvielecken ergeben netzförmige Gebilde, die sich mit der geometrische Abstraktion der untersuchten Objekte oft erstaunlich decken.

16 Leopold Kohr Akademie 2011 DIE GEOMETRISCHE DEUTUNG DER PROPORTION Diese Figuren werden als "Schlüssel" bezeichnet. Durch die Übertragung "Schlüssels" in ein orthogonales Liniennetz entstehen Proportionsreihen mit gesetzmäßiger Abfolge.

17 Leopold Kohr Akademie 2011 MODULOR Tritt nun beim "Schlüssel" anstelle einer geometrischen Figur der menschliche Körper auf, spricht man von einem anthropomorphen Proportionssystem. Bereits Vitruv vergleicht ein gut proportionietres Bauwerk mit einem wohlproportionierten menschlichen Körper

18 Leopold Kohr Akademie 2011 MODULOR Im 20. Jahrhundert schuf der Schweizer Architekt Le Corbusier (1887 - 1965) mit dem Modulor ein modernes anthropomorphes Proportionssystem. Grundlage des Modulors sind drei Intervalle des menschlichen Körpers, die zwischen folgenden Bezugspunkten liegen: Fußsohle, Nabel, Scheitel und die Fingerspitzen der erhobenen Hand.

19 Leopold Kohr Akademie 2011 MODULOR Diese drei Intervalle 41½ - 66½ - 108 können als Elemente einer Fibonacci - Reihe gelesen werden, bei welcher der Nachfolger immer der Summe seiner beiden Vorgänger gleicht. z.B. 1-2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 -...

20 Leopold Kohr Akademie 2011 MODULOR Zuerst ging Le Corbusier von der Durchschnittsgröße von 174,5 cm aus. In der Planungspraxis erwiesen sich aber die Maße dieser Reihe als etwas zu knapp, sodass Le Corbusier ab 1947 von einer Körpergröße von 183 cm ausging

21 Leopold Kohr Akademie 2011 MODULOR

22 Leopold Kohr Akademie 2011 Goldener Schnitt Die Intervalle des Modulor...- 26,7 - 43,2 - 69,8 - 113 - 183 - 296 -... können näherungsweise als Elemente einer Fibonacci - Reihe gelesen werden, bei welcher der Nachfolger immer der Summe seiner beiden Vorgänger gebildet wird....- 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 -...

23 Leopold Kohr Akademie 2011 Goldener Schnitt Die Faktoren die zwischen diesen Intervallen liegen...- 2 1,500 3 1,666 5 1,600 8 1,625 13 1,615 21 1,619 34 1,617 55 1,618 89 -... oszillieren um einen Grenzwert von 1,618033989...

24 Leopold Kohr Akademie 2011 Goldener Schnitt Die Proportion 1: 1,618033989... heißt der Goldene Schnitt und ist aus der Geometrie eines regelmäßigen Fünfeck gebildet. Arithmetisch kann dieser irrationale Zahlenwert aus den Operationen (  5 +1)/2 oder 1/(cos72  2) gewonnen werden.

25 Leopold Kohr Akademie 2011 Goldener Schnitt Da die Werte 1 und 1,618... einer Reihe angehören in der Nachfolger aus den beiden Vorgängern gebildet wird, muss der Vorgänger von 1 den Wert 0,618... besitzen. Dieser Wert wird arithmetisch mit (  5 -1)/2 bestimmt.

26 Leopold Kohr Akademie 2011 Goldener Schnitt Die geometrische Konstruktion für diesen Wert kann aus einem Rechteck mit dem Seitenverhältnis 1:2 entwickelt werden. Die Länge der Diagonale beträgt nach a 2 +b 2 = c 2 :  5

27 Leopold Kohr Akademie 2011 Goldener Schnitt (  5 -1)/2 : 1 = (  5 -1) : 2 (M = 2:1)

28 Leopold Kohr Akademie 2011 Goldener Schnitt

29 Leopold Kohr Akademie 2011 Goldener Schnitt Albrecht Dürer, Proportionsvermessungen, um 1528

30 Leopold Kohr Akademie 2011 Goldener Schnitt Albrecht Dürer, Proportionsvermessungen, um 1528

31 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: WERSIN, W., Das Buch vom Rechteck, Ravensburg 1957. Rechtecksproportionen

32 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: WERSIN, W., Das Buch vom Rechteck, Ravensburg 1957. Rechtecksproportionen

33 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: WERSIN, W., Das Buch vom Rechteck, Ravensburg 1957. Rechtecksproportionen

34 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: WERSIN, W., Das Buch vom Rechteck, Ravensburg 1957. Rechtecksproportionen Das Goldene Sechseck entsteht, wenn man ein Doppelquadrat mit einem Kreis umschreibt. Es enthält eine Reihe von Teilungen im goldenen Schnitt.

35 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: WERSIN, W., Das Buch vom Rechteck, Ravensburg 1957. Rechtecksproportionen

36 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: WERSIN, W., Das Buch vom Rechteck, Ravensburg 1957. Rechtecksproportionen

37 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: WERSIN, W., Das Buch vom Rechteck, Ravensburg 1957. Rechtecksproportionen

38 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: WERSIN, W., Das Buch vom Rechteck, Ravensburg 1957. Rechtecksproportionen

39 Leopold Kohr Akademie 2011 Bildquelle: Sitte, Camillo, Der Städtebau nach seinen künstlerischen Grundsätzen, Wien 1909. (Reprint bei Birkhäuser, 2002.) Geometrische Stadtgrundrisse