School of Engineering Kapitel 6: LTI-Systeme UTF und Bodediagramm SiSy, Rumc, 6-1 Beschreibung von LTI-Systemen im Zeitbereich 1.mit der Faltung und der.

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1 School of Engineering Kapitel 6: LTI-Systeme UTF und Bodediagramm SiSy, Rumc, 6-1 Beschreibung von LTI-Systemen im Zeitbereich 1.mit der Faltung und der Stossantwort: y(t) = x(t) * h(t) 2. mit einer Differentialgleichung Beispiel R C x(t)y(t) τ· dy(t)/dt + y(t) = x(t) x(t)y(t) LTI-System

2 School of Engineering Differentialgleichung Allgemeine Form a n ·d n y(t)/dt n + … + a 1 ·dy(t)/dt + a 0 ·y(t) = b m ·d m x(t)/dt m + … + b 1 ·dx(t)/dt + b 0 ·x(t) Laplace-Transformation a n ·s n ·Y(s) +…+ a 1 ·s·Y(s) + a 0 ·Y(s) = b m ·s m ·X(s) +…+ b 1 ·s·X(s) + b 0 ·X(s) Übertragungsfunktion (UTF) Beispiel: RC-TP-Filter 1. Ordnung τ·dy(t)/dt + y(t) = x(t) => b 0 = 1, a 0 = 1, a 1 = τ => meistens auf 1 skaliert SiSy, Rumc, 6-2

3 School of Engineering Uebertragungsfunktion UTF H(s) ist eine gebrochen rationale Funktion H(s) = B(s) / A(s), wobei Zählergrad m ≤ Nennergrad n Polynom B(s) hat m Nullstellen => Nullstellen der UTF Polynom A(s) hat n Nullstellen => Pole der UTF wenn Systemkoeffizienten b i und a i alle reell sind, dann sind die Pole und Nullstellen von H(s) reell oder sie kommen in konjugiert komplexen Paaren vor Pol-Nullstellen bzw. PN-Schema charakterisiert H(s) bis auf reelle Konstante K=b m /a n SiSy, Rumc, 6-3

4 School of Engineering Beispiel s j·ω σ x x PN-Schema => UTF ωpωp 45° p = ω p ∙ (cos(π/4) + j∙sin(π/4)) ω p = 2π∙1000 rad/s p p* a 1 = -2∙Re{p} = 2∙ω p /√2 = 8885.8 a 0 = IpI 2 = 3.9478∙10 7 b 0 = a 0 damit H(f=0) = H(s=0) = 1 ! => Frequenzgang Matlab: freqs(b,a) IH(s=jω)I arg{H(s=jω)} ωpωp ωpωp SiSy, Rumc, 6-4

5 School of Engineering UTF ist stabil wenn alle Pole von H(s) in der linken Halbebene (LHE) liegen Beweis für m<n: UTF H(s) und Stossantwort h(t) dann existiert Frequenzgang H(f) H(f) = H(s=j2πf) d.h. Auswertung der UTF H(s) auf der jω-Achse Stabilität Ih(t)I < ∞ wenn alle Re{p k } < 0 bzw. alle p k in der LHE liegen SiSy, Rumc, 6-5

6 School of Engineering Frequenzgang - Lage der Pole und NS SiSy, Rumc, 6-6 Frequenzgang - Auswertung der UTF H(s) für s=jω s jωjω σ o o jω0jω0 jω 0 -z k = r zk ·e jφ zk jω 0 -p k = r pk ·e jφ pk x x pkpk zkzk komplexe Zahl bzw. Vektor in der s-Ebene Produkt der Distanzen "NS zu jω 0 " dividiert durch Produkt der Distanzen "Pole zu jω 0 " Summe der Winkel "NS zu jω 0 " minus Summe der Winkel "Pole zu jω 0 "

7 School of Engineering s jωjω σ x Pole x x x o Nullstellen o o LHE (σ<0) RHE (σ>0) ω = 2πf IH(ω)I jω0jω0 r z1 = Ijω 0 -z 1 I r z2 = Ijω 0 -z 2 I IH(ω 0 )I = r z1 ·r z2 / (r p1 ·r p2 ·r p3 ) r p1 r p3 r p2 ω0ω0 Im{z 1 } je näher ein Pol bei der jω-Achse, desto grösser die Überhöhung im Amplitudengang Nullstellen auf der jω-Achse ergeben Nullstellen im Amplitudengang IH(ω 0 )I Frequenzgang - Lage der Pole und NS SiSy, Rumc, 6-7 Beispiel Einfluss der Lage der Pole und NS auf Amplitudengang

8 School of Engineering Bodediagramm SiSy, Rumc, 5-8 Logarithmische Darstellung von Amplituden- und Phasengang benannt nach H. W. Bode (Bell Labs, 1930er Jahre) Vereinfachung der Darstellung von IH(f)I und arg{H(f)} dank logarithmischer Frequenz und Amplitude sowie Approximation des asymptotischen Verhaltens mit Geraden Aufteilung der UTF H(s) in Teilsysteme 1. und 2. Ordnung Beispiel UTF mit 2 Teilsystemen: H(s) = H 1 (s) ∙ H 2 (s) Amplitudengang: IH(ω)I = IH 1 (ω)I ∙ IH 2 (ω)I => 20∙log 10 (IH(ω)I) = 20∙log 10 (IH 1 (ω)I) + 20∙log 10 (IH 2 (ω)I) => IH(ω)I in dB = IH 1 (ω)I in dB + IH 2 (ω)I in dB => φ H (ω) = φ H1 (ω) + φ H2 (ω)}

9 School of Engineering Bodediagramm SiSy, Rumc, 5-9 C x(t)y(t) Beispiel (Fortsetzung) R τ = RC = 1/ω 0 / ω 0 20∙log 10 (ω/ω 0 ) log 10 (ω/ω 0 )

10 School of Engineering Bodediagramm SiSy, Rumc, 5-10 Faktorisierung von H(s) in Teil-UTF 1. und 2. Ordnung m = m 0 + m 1 + 2m 2 Nullstellen NS der UTF H(s) davon m 0 NS bei s=0, m 1 reelle NS und 2m 2 komplexe NS konjugiert komplexen NS können zu einer Teil-UTF 2. Ordnung mit reellen Koeffizienten zusammen gefasst werden dito für Pole der UTF H(s) nur diese 6 Teil-UTF wichtig

11 School of Engineering Bodediagramm SiSy, Rumc, 5-11 Konstante 20·log 10 (IKI), Beispiel: K = ±2 K < 0 K > 0

12 School of Engineering Bodediagramm SiSy, Rumc, 5-12 20 dB / Dekade (6 dB / Oktave) NS im Ursprung (Differentiator) s jωjω σ o Pol im Ursprung (Integrator) s jωjω σ x -20 dB / Dekade (-6 dB / Oktave) / ω 0 ω0ω0

13 School of Engineering Bodediagramm SiSy, Rumc, 5-13 / ω p -20 dB / Dekade (-6 dB / Oktave) -3 dB Pol 1. Ordnung (PT1-Glied) s jωjω σ x ωpωp -90° / 2 Dekaden -5.7° -84.3° ω p / 10 10∙ω p ωpωp

14 School of Engineering Bodediagramm SiSy, Rumc, 5-14 / ω z 20 dB / Dekade (6 dB / Oktave) 3 dB NS 1. Ordnung (PD-Glied) 90° / 2 Dekaden 5.7° 84.3° ω z / 10 10∙ω z ωzωz s jωjω σ ωzωz o

15 School of Engineering Bodediagramm SiSy, Rumc, 5-15 / ω p -40 dB / Dekade (-12 dB / Oktave) Pol 2. Ordnung (PT2-Glied) ω p / 10 10∙ω p -3 dB q p =1/√2 20 dB q p =10 s jωjω σ x jωpjωp x φ 2∙sin(φ) = 1/q p Polgüte q p =√2 Je näher der Pol an der jω-Achse, desto grösser die Güte bzw. Überhöhung.

16 School of Engineering Bodediagramm SiSy, Rumc, 5-16 / ω p ω p / 10 10∙ω p Pol 2. Ordnung (PT2-Glied) s jωjω σ x jωpjωp x φ 2∙sin(φ) = 1/q p q p =10 q p =1/√2 -180° / 2 Dekaden

17 School of Engineering Bodediagramme der Teilsysteme SiSy, Rumc, 5-17 Konstante K Amplitudengang: 20·log 10 (IKI) Phasengang: 0 wenn K > 0 sonst π NS im Ursprung (Differentiator) s/ω 0 Amplitudengang: 20 dB / Dekade Phasengang: konstant π/2 Pol im Ursprung (Integrator) 1/(s/ω 0 ) Amplitudengang: -20 dB / Dekade Phasengang: konstant -π/2 log 10 (ω) 20·log 10 (IH(ω)I) log 10 (ω) 20·log 10 (IH(ω)I) 20 dB/Dek. log 10 (ω) 20·log 10 (IH(ω)I) -20 dB/Dek. 0 ω0ω0 ω0ω0 0 20·log 10 (IKI)

18 School of Engineering Bodediagramme der Teilsysteme SiSy, Rumc, 5-18 Pol 1. Ordnung (PT1-Glied) s jωjω σ x ωpωp log 10 (ω) 20·log 10 (IH(ω)I) ωpωp -20 dB/Dek. ω p /10 10·ω p log 10 (ω) φH(ω)φH(ω) ωpωp -90° -45° NS 1. Ordnung (PD-Glied) s jωjω σ ωzωz log 10 (ω) 20·log 10 (IH(ω)I) ωzωz 20 dB/Dek. ω z /10 10·ω z log 10 (ω) φH(ω)φH(ω) ωzωz 90° 45° o 2 Dekaden 10·ω p 10·ω z ω z /10 ω p /10

19 School of Engineering Bodediagramme der Teilsysteme SiSy, Rumc, 5-19 Pol 2. Ordnung (PT2-Glied) s jωjω σ x jωpjωp log 10 (ω) 20·log 10 (IH(ω)I) ωpωp -40 dB/Dek. ω p /10 10·ω p log 10 (ω) φH(ω)φH(ω) ωpωp -180° -90° x NS 2. Ordnung qpqp 10·ω p -180° / 2 Dekaden φ 2∙sin(φ) = 1/q p s jωjω σ jωzjωz log 10 (ω) 20·log 10 (IH(ω)I) ωzωz +40 dB/Dek. ω z /10 10·ω z log 10 (ω) φH(ω)φH(ω) ωzωz +180° 90° qzqz 10·ω z +180° / 2 Dekaden φ 2∙sin(φ) = 1/q z o o ω z /10

20 School of Engineering Beispiel Bodediagramm SiSy, Rumc, 5-20 UTFPN-Schema s jωjω σ x x o o ωpωp ωzωz ω p < ω z log 10 (ω) 20·log 10 (IH(ω)I) ωpωp -40 dB/Dek. ω p /10 10·ω p log 10 (ω) φH(ω)φH(ω) ωpωp -180° 40 dB/Dek. 2 Dekaden

21 School of Engineering Was geschieht wenn einige Pole und/oder Nullstellen der UTF H(s) in der rechten Halbebene (RHE) der s-Ebene liegen? Pole NIE in der RHE, sonst ist das LTI-System instabil! Nullstellen in der RHE, „kein“ Einfluss auf Amplitudengang IH(f)I, aber auf den Phasengang (LTI-System ist NICHT minimalphasig) Minimalphasensysteme haben keine Nullstellen in der RHE φ(f) nimmt langsamer ab als bei Nicht-Minimalphasensystemen haben kleinst-mögliche Gruppenlaufzeit (Zeitverzögerung!) Phasenlaufzeit: Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 5-21 x(t) = cos(2πf 0 ·t) y(t) = IH(f 0 )I·cos(2πf 0 ·[t- τ p (f 0 )]) LTI-System

22 School of Engineering Gruppenlaufzeit Zeitverzögerung der Enveloppe eines Signals, das aus mehreren Frequenz- komponenten besteht. Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 5-22 Eingangssignal (AM-Signal) Ausgangssignal

23 School of Engineering Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 5-23 s jωjω σ x x o o x minimalphasiges System H 1 (s) nicht-minimalphasiges System H 2 (s) φ z1 jωojωo jω1jω1 wird kleiner, wenn ω zunimmt wird grösser, wenn ω zunimmt s jωjω σ x x o o x z1z1 z2z2 p1p1 p2p2 p3p3 jωojωo φ z1 φ z2 jω1jω1 Beispiel log 10 (ω) ωpωp -90° -450° φH(ω)φH(ω) φ H1 (ω) φ H2 (ω) aber IH 1 (ω)I = IH 2 (ω)I

24 School of Engineering Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 5-24 H(s) jωjω σ x x o o x H m (s) jωjω σ x x o o x H A (s) jωjω σ x x o o Nicht-Minimalphasen-System H(s) kann als Kaskade eines Minimal- phasen-Systems H m (s) und eines Allpasses H A (s) aufgefasst werden H(s) H m (s) H A (s) Allpass: Pole und Nullstellen symmetrisch zur jω-Achse IH A (ω)I = konstant, φ A (∞) = -nπ, wobei n die Ordnung ist gleiche Lage!

25 School of Engineering Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 5-25 Asympotisches Verhalten Systemordnung n, wobei Zählergrad m ≤ Nennergrad n Amplitudengang: IH(ω→∞)I fällt mit (m-n)·20 dB pro Dekade Phasengang: φ H (ω→∞) = (m-n)·90° für ω→∞ trägt jede NS +π/2 bei für ω→∞ trägt jeder Pol (und jede NS in der RHE) -π/2 bei

26 School of Engineering Allpol-Filter SiSy, Rumc, 5-26 Allpol-Filter haben keine Nullstellen sind minimalphasig, haben eine UTF von der Form Asymptote für ω→∞ : n mal -20 dB pro Dekade bzw. -n·π/2 Tiefpass-Approximationen nach Butterworth führt auf Allpol-Filter Butterworth-TP N. Ordnung N=1 N=2 N=3

27 School of Engineering Einfluss Polpaar auf Stossantwort SiSy, Rumc, 5-27 Pole und Nullstellen beeinflussen UTF H(s) und damit auch Stossantwort h(t) Einfluss eines Polpaares s jωjω σ x x jωpjωp σpσp δ Polfrequenz Polgüte Dämpfungsfaktor ω0ω0 Stossantwort abklingende Schwingung Anfangs- amplitude

28 School of Engineering h(t) x(t) Impulsantwort Faltung Differentialgleichung Y(f) = X(f)·H(f) Y(s) = X(s)·H(s) X(f) X(s) y(t) UTF Frequenzgang Pol-Nullstellen-Darstellung Zusammenfassung LTI-Systeme SiSy, Rumc, 5-28 a n ·d n y(t)/dt n +…+ a 0 ·y(t) = b m ·d m x(t)/dt m +…+ b 0 ·x(t) H(f) = FT{h(t)} H(s) = LT{h(t)} H(f) = H(s=j·2π·f)