Fourier-Transformation Impulsmessung, quantenmechanische Messung

Präsentation zum Thema: "Fourier-Transformation Impulsmessung, quantenmechanische Messung"—  Präsentation transkript:

1 Fourier-Transformation Impulsmessung, quantenmechanische Messung
WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester Vorlesung Fourier-Transformation Impulsmessung, quantenmechanische Messung

2 “I remember my friend Johnny von Neumann used to say, with four parameters
I can fit an elephant, and with five I can make him wiggle his trunk.” Enrico Fermi

3 Komplexe Ebene Periodische Funktion kann in der komplexen Ebene dargestellt werden

4 Komplexe Ebene : stehende Welle eikx
Kreis mit Umfang L Periodische Funktion Wellenzahl

5 Komplexe Ebene : stehende Welle eikx
Kreis mit Umfang L Wellen mit höherer Wellenzahl (n > N) können auf solche mit geringerer Wellenzahl (n) abgebildet werden

6 Fouriertransformation
Eine beliebige periodische Funktion, die an N Stellen entlang des Kreises gegeben ist, kann man durch Überlagerung von N Wellen darstellen wobei die N Stützstellen x und die N Wellenzahlen k gegeben sind als Welche Darstellung man bevorzugt ist Geschmackssache. Beide Darstellungen beinhalten dieselbe Information.

7 Vollständigkeit Was ist ?

8 Vollständigkeit Terme heben sich paarweise auf !

9 (Inverse) Fouriertransformation
Mit der Vollständigkeitsrelation kann man leicht zeigen, dass die x- und k-Darstellung über die Fouriertransformation bzw. die inverse Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Beweisen Sie die beiden Beziehungen

10 (Inverse) Fouriertransformation
Das Konzept der Fouriertransformation lässt sich auch auf unendliche Bereiche und kontinuierliche x- und k-Werte verallgemeinern

11 Fouriertransformation : Gaußsche Funktion
Wie sieht die Fouriertransformierte der Gaußschen Funktion aus ? Je breiter die Gaußfunktion, desto schmäler die Fouriertransformierte und umgekehrt

12 Wellenfunktion : Ortsmessgrößen
Normierung Mittelwert Standardabweichung Gegeben sei die Wellenfunktion Bestimmen Sie: die Normierung C den Mittelwert x das Schwankungsquadrat Dx

13 Wie bestimmt (misst) man den Impuls
eines Wellenpakets ?

14 Wellenfunktion : Impulsmessgrößen
Impulsmessgrößen werden bestimmt, indem man zuerst die Fourier- transformierte der Wellenfunktion bestimmt Normierung Mittelwert Standardabweichung

15 Orts- und Impulsmessung
Je breiter die Wellenfunktion im Ortsraum desto schmäler im Impulsraum, und umgekehrt

16 Beispiele : Wahrscheinlichkeit klein Wahrscheinlichkeit groß

17 Beispiele : Wahrscheinlichkeit klein Wahrscheinlichkeit groß

18 Quantenmechanische Messung
In der Quantenmechanik kann ein beliebige Messung beschrieben werden durch Messgröße Messoperator Ortsmessung … Impulsmessung … Beweis

19 Quantenmechanische Messung
Impulsmessung Kinetische Energie Kinetische Energie hängt mit mittlerer Krümmung der Wellenfunktion zusammen

20 Aufgabe : Ordnen Sie die Energie der Wellenfunktionen n = 1,2,3

21 Aufgabe : Welche Wellenfunktion hat die höhere Energie: (a) oder (b); (a) oder (c) ?