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de-Broglie-Wellenlänge
2. Die Welle-Teilchen-Dualität 2.1. Die de-Broglie-Wellenlänge ...sind e.m.-Wellen ...und masselose Teilchen Photonen: Hypothese: ( de-Broglie 1924, Nobelpreis 1929 ) Umgekehrt haben auch ,,Teilchen” (Elektronen, Atome, Kristalle, Katzen, ...) Wellencharakter mit Nichtrelativistische ,,Teilchen” der Masse m: de-Broglie-Wellenlänge
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e Beispiel: Elektronenbeugung me c2 511 keV U ≪ 511 kV
Beschleunigungsspannung: U 100 V 0,12 nm Gitterkonstanten ( 0,3 0,7 ) nm Kristallbeugung ist möglich (Experiment: Davisson, Germer 1926, Nobelpreis 1937) Kantenbeugung am MgO-Einkristall X-Rays e
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Beispiel: Elektronenbeugung am Youngschen Doppelspalt Zählrate
s ≫ l intensiver Elektronenstrahl Doppelspalt, l, ≫ Spaltbreiten Interferenz von 2 Punktquellen Detektor / Film Exp.: Schwacher Elektronenstrahl Auftreffen von Einzelelektronen Folgerung: Einzelne Elektronen interferieren mit sich selbst!
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passive Ladungssonde Zählrate l Elektronenstrahl Elektronen nehmen jeden möglichen Weg gleichzeitig? Experiment: Detektiere den Weg jedes Elektrons mit passiven Sonden. Beobachtung: Das Zweistrahl-Interferenzmuster verschwindet, sobald die Sonden aktiviert werden. Durch die (,,passive“) Messung wurde die quantenmechanische ,,Kohärenz” zerstört. Jede Messung ändert das gemessene System!
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Kathodenstrahl-Quelle
Realisierung des Doppelspaltexperiments (Düber, Möllenstedt): n O l d ≫ Basislänge s ≫ l I(y) optisches Analogon: Fresnelsches Biprisma N(y) HV Kathodenstrahl-Quelle 0 V HV Metallfaden, O(m)
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(Schrödinger 1926, Nobelpreis 1933)
2.2. Die Wellenfunktion (Zusammenfassung, Details Theorie) Einfachster Fall: Die Bewegung einer Punktmasse m wird durch deren komplexe Wellenfunktion beschrieben. Physikalische Bedeutung: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte am Ort zur Zeit t Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Volumen d3r um zur Zeit t Bewegungsgleichung im Potential V: Schrödingergleichung: ( lineare Dgl.) (Schrödinger 1926, Nobelpreis 1933)
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✔ Lösung für freie Teilchen (V 0): Wellenpaket
( Superposition ebener Wellen) mit nichtlinearer Dispersionsrelation: de Broglies Ansatz: ✔
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Ortsraum und k-Raum (bzw. Impulsraum):
Wahrscheinlichkeitserhaltung: Wahrscheinlichkeitsdichte: Wahrscheinlichkeitsflussdichte: Kontinuitätsgleichung:
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Klassischer Grenzfall ( ):
klassischer Messwert ≙ ,,Erwartungswert“ Ort: Impuls: Impulsoperator (hermitescher) Messoperator Ô: Quantenmechanische Unschärfe der Messgröße Ô: Standardabweichung (vgl. Praktikum)
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2.3. Die Heisenbergsche Unschärferelation
(Heisenberg 1927, Nobelpreis 1932) Wellenbild Unschärferelationen Analogie zur Optik Gilt für alle über Fouriertransformationen verknüpfte Messgrößen Beispiel: Orts / Impuls-Unschärfe (Gleichheit gilt für gaußförmige Wellenpakete) Spezialfall: Energie / Zeit-Unschärfe Anwendung: Lebensdauer angeregter Zustände, radioaktiver Kerne, ... natürliche Linienbreite:
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e Experiment: Elektronenbeugung am Spalt x N x ≪ 1 b ebene Welle
x völlig unbestimmt
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Gedankenexperiment: Auflösungsgrenze des Mikroskops
Punktabbildg. durchs Okular/Auge Objektiv Punktabbildg. durchs Okular/Auge D d x d Objektiv D Rückstoß px x x Teilchen Punktabbildg. Photonen im Kegel ununterscheidbar Beugung Photonen aus Kegel ununterscheidbar kleiner bessere Ortsauflösung größere Impulsverschmierung
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2.4. Potentialkästen Betrachte stationäre Potentiale: (zunächst 1-dimensional) Ansatz: mit Stationäre Schrödingergleichung potentielle Energie Gesamtenergie Operator der kinetischen Energie Lösung ( Theorie) Eigenzustände mit fester (erhaltener) Energie Spektrum der zugehörigen Energieeigenwerte Hier: Anschauliche Darstellung und Computersimulationen
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2.4.1. Rechteckpotentiale E E2 Randbedingung: a
Déjà vu: wie schwingende Saite sinusförmige Eigenmoden, quantisierte Frequenzen E1 E0 E 0 a x Teilchen in unendlich hohem Rechteck-Potentialtopf Es gibt eine Nullpunktsenergie: En wächst quadratisch mit der Quantenzahl n. Anders als Photonen! E↗ Knoten von ↗ Krümmung von ↗. a↘ E wächst quadratisch.
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Teilchen in endlich hohem Rechteck-Potentialtopf
Computer-Exp.: Teilchen in endlich hohem Rechteck-Potentialtopf E V0 E2 E1 E0 E 0 a x Teilchen dringt in energetisch verbotenen Bereich V E ein; dort fällt die Wellenfunktion exponentiell ab. Es gibt nur noch endlich viele diskrete Energiezustände mit En V0 . Oberhalb der Ionisationsenergie V0 entsteht ein Energiekontinuum freier Zustände.
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Teilchen im harmonischen Potential
x E E 0 Teilchen im harmonischen Potential E3 Harmonischer Oszillator Qualitativ: Unendliche Folge von Kastenpot. wachsender Höhen Unendl. Folge diskreter Niveaus Exp. Dämpfung in verbotenen Bereichen Es gibt eine Nullpunktsenergie Energiequantenzahl n Knoten Theorie Im harmonischen Oszillator-Potential unterscheiden sich benachbarte Energie-Niveaus um das Energiequantum Dabei ist die klassische Eigenfrequenz des Oszillators. Plancksche Quantenhypothese: Übergänge durch Absorption oder Emission von Energiequanten (z. B. Photonen oder Phononen)
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2.5. Der Tunneleffekt 2.5.1. Potentialstufen x E V0
V0 Potentialstufen Rechteckstufe enthält die wesentliche Physik Form der Stufe Details x E V0 Untersuche die monoenergetischen harmonischen Teilwellen des Wellenpakets
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Überlagerung: einlaufend reflektiert
klassisch x quantenmechanisch x Überlagerung: einlaufend reflektiert verbotene Zone: exponentielle Dämpfung V0 E x R, T Reflexions-, Transmissionskoeffizienten für Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
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einlaufend reflektiert
: klassisch x quantenmechanisch x einlaufend reflektiert auslaufend E V0 x Bemerkung: Gilt auch bei negativen Potentialstufen. Wellenpaket Überlagerung aller harmonischen Teilwellen.
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2.5.2. Potentialbarrieren E V0
x E V0 Rechteckbarriere enthält die wesentliche Physik Barrierenform Höhe und Breite x E V0 a Untersuche die monoenergetischen harmonischen Teilwellen des Wellenpakets
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exponentielle Dämpfung
: klassisch x quantenmechanisch x exponentielle Dämpfung getunnelte Welle V0 E x
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Interferenz der reflektierten Teilwellen
: klassisch x quantenmechanisch x E V0 x 1 2 3 R T Interferenz der reflektierten Teilwellen Tunneleffekt
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z z Exp. Test des Tunneleffekts (1): Feldemission des Wasserstoffs
Coulombfeld Proton Elektron z Emission z E Vextern Eexternz VCoulomb Vtot E0 E1 E2 e e Tunneleffekt
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Experimenteller Test des Tunneleffekts (2): -Zerfall von Kernen
-Teilchen Helium-Kern (2 Protonen 2 Neutronen), Ladung 2e Atomkern Ladung Ze starke Kernkraft r r E VCoulomb Vtot Tunneleffekt VKern
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Exp. Test des Tunneleffekts (3): Tunnelschwingung des NH3-Moleküls
z Bindungsenergie des N-Atoms in H3-Ebene: V z V 0 H Tunneleffekt Symmetrische Bindungsposition Stabile Bindungsposition
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