Klassifizierung der Signale NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 1 Analoges Signal Funktion mit kontinuierlichem Definitions- und Wertebereich meist Amplitude (U, I) in Funktion der Zeit wichtiges Hilfsmittel: Darstellung im Spektrum s(t) t Deterministische Signale gehorchen einer Gesetzmässigkeit (z.B. mathematischer Formel) tragen keine Information (wichtige Test-, Hilfs- und Trägersignale) => Periodische Signale => Transiente oder nicht-periodische Signale Stochastische Signale (Zufallssignale) Beschreibung mit statistischen Grössen (z.B. Amplitudenverteilung) tragen Information oder stellen Rauschen, Störungen dar

Linearer Mittelwert s(t) = s(t-kT) für k=0, ±1, ±2, ... NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 2 s(t) 1 s(t) = s(t-kT) für k=0, ±1, ±2, ... Grundfrequenz f0 = 1/T [Hz] T/m T t IA0I -1 Periode T Linearer Mittelwert (t0 beliebig) Beispiel: A0 = 2/m – 1 (z.B. m=2 => A0 = 0, m=4 => A0 = -0.5) Mittelwertfreies Signal s(t) - A0 (z.B. durch AC-Kopplung beim KO) Mittelwertbildung als TP-Funktion: s(t) A0 Approximation (T=N·Δt)

Leistung Normierte Momentan-Leistung NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 3 Normierte Momentan-Leistung p(t) = u(t) · i(t) @ R = 1 Ohm => p(t) = s2(t) Mittlere normierte Leistung (an 1 Ohm) Periodische Signale haben unendliche Energie (Leistung · Zeit) ! Beispiel Rechtecksignal oben: P = 1 für alle m Effektivwert bzw. rms-Wert (Root Mean Square) Srms = √PT Beispiel: s(t) = Spsin(2πf0t) => PT = Sp2/2 = Seff2 = (Srms)2 => Sp=√2·Srms

Winkelfunktionen NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 4 Die bekanntesten periodischen Signale sind die Winkelfunktionen. s(t) = Sp·sin(2πf0t) oder s(t) = Sp·cos(2πf0t) = Sp·sin(2πf0t+π/2) φ Sp (π/2) (3π/2) (φ) t T/2 T -Sp ejφ = cos(φ) + j·sin(φ) Euler-Formeln: j cos(φ) = ( ejφ + e-jφ ) / 2 j·sin(φ) φ 1 sin(φ) = ( ejφ - e-jφ ) / 2j cos(φ)

Fourierreihe NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 5 Fourier (1768-1830): Jede periodische Funktion s(t) kann durch eine Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden: „gerade“ „ungerade“ wobei linearer Mittelwert, „DC-Anteil“ k≥1 Cosinus-Amplitudenspektrum Linienspektrum Grundlegendes Hilfsmittel der Signalbeschreibung ist die Darstellung im Spektrum (Transformation Zeitbereich <=> Frequenzbereich) k≥1 Sinus-Amplitudenspektrum Beispiel: periodisches, symmetrisches Rechtecksignal (m=2)

Fourierreihe (Betrag/Phase) NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 6 Betrag-/Phasen-Darstellung Zusammenhang mit Cosinus- und Sinus-Koeffizienten Mk Bk φk Ak M·cos(2πkf0t+φ) = M·cos(φ)·cos(2πkf0t) + M·sin(φ)·sin(2πkf0t) Einseitiges Amplituden-/Phasen-Linienspektrum M1 φ3 Beispiel Folie 2 (m=2) M3 M5 f f f0 3f0 φ5 f0 3f0 5f0 φ1

Fourierreihe (komplex) NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 7 Zweiseitige Betrag-/Phasen-Darstellung Zusammenhang mit anderen Fourier-Koeffizienten für k≥1 Beispiel Folie 2: zweiseitiges Linienspektrum s(t) ck 1 t f T T f0 3f0 2

Leistung Satz von Parseval NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 8 Satz von Parseval Harmonische sind orthogonal => Addition der mittleren Leistungen DC- Leistung AC- Leistungen Klirrfaktor Mass für Abweichung von einem reinen Sinus-Signal Mass für Verzerrung bei Verarbeitung oder analoger Übertragung Klirrfaktor-Messgerät: Effektiv-Voltmeter mit tunable Notch-Filter

Numerische Approximation NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 9 Approximation mit N Abtastwerten einer Periode (T=N·Δt, t0=0) DFT k=0, 1, …, N-1 Approximation ck ≈ S[k] / N für k=0, 1, …, N/2 Beispiel N Stützwerte >> N=10000; % Stützwerte pro Periode >> s=[ones(1,N/2) (-1)*ones(1,N/2)]; >> S=fft(s)/N; % c0=S(1), c1=S(2) >> stem(abs(S(1:20))); grid; % Plot 1 T=N·Δt Δt -1