Räuber-Beute-Systeme Judith Fuchslueger, Anna Steinlechner & Iris Wolf

Überblick/Programm Einführung in das Thema Lotka-Volterra-Modell Lösungen Lotka-Volterra-Gesetze Kritik Zusammenfassung

Einführung Fischerei um 1915 Alfred James Lotka (1925) und Vito Volterra (1926) wichtige Grundlage der Theoretischen Biologie (Populationsdynamik) Anwendungen: Fischereidaten, Medizinische Epidemiologie, Wirtschaftswissenschaften, Schädlingsbekämpfung

Lotka - Volterra - Modell N = N(t) Anzahl der Beutelebewesen zeitabhängig a > 0 Reproduktionsrate der Beute ohne Störung und bei großem Nahrungsangebot konstant P = P(t) Anzahl der Räuber d > 0 Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist b > 0 Fressrate der Räuber pro Beutelebewesen = Sterberate der Beute pro Räuber c > 0 Reproduktionsrate der Räuber pro Beutelebewesen

vermehren wird gefressen vermehren (durch Fressen) sterben

Herleitung von Volterra ungestörten Wachstumsraten pro Zeiteinheit dt seien λ1 und λ2 mittlere Anzahl der Begegnungen zwischen Beute und Räuber pro Zeiteinheit dt ist αNP, α aus den positiven, reellen Zahlen genügend große Zahl n an Begegnungen haben Effekt β1 , β2 auf die Populationen N, P

Setze und dt → 0

Konstante Lösungen Durch die nullgesetzten Gleichungen erhält man die Gleichgewichtspunkte und (N*, P*) =

Nicht-konstante Lösungen Integration

Die Lotka-Volterra-Gesetze Periodizität Erhaltung der Mittelwerte Störung der Mittelwerte

1. Periodizität Gesetz der periodischen Zykel: Die Schwankungen der beiden Klassen sind periodisch.

1. Periodizität https://www.youtube.com/watch?v=qp4i_Br8-dE (ab 4:20)

2. Erhaltung der Mittelwerte Die durchschnittlichen Populationen über einen Zyklus mit Periode T sind gegeben durch:

2. Erhaltung der Mittelwerte Die durchschnittlichen Populationsgrößen sind ident mit den Gleichgewichtspunkten, also und

2. Erhaltung der Mittelwerte 1515 Da T die Periode eines Zyklusses ist ist N(0)=N(T) 2. Erhaltung der Mittelwerte Trennung der Variablen Integration von t=0 bis t=T Da N(T) = N(0)

3. Störung der Mittelwerte Werden die beiden Tierklassen gleichmäßig und proportional zur Populationsgröße dezimiert, und ist die Rate Dezimierung der Beute keiner als deren Reproduktionsrate, so wächst der Mittelwert der Beutepopulation, und der Mittelwert der Räuberpopulation sinkt. α … Zerstörungsrate der Beutelebewesen β … Zerstörungsrate der Räuber

Umformen ergibt:

Kritik Nur anwendbar unter Beachtung selten erfüllter Voraussetzungen mathematische Modellierung sehr speziell – in Praxis nur in Abwandlung verwendet

Zusammenfassung https://www.youtube.com/watch?v=iUdjzVFO914

Danke für eure Aufmerksamkeit!