Konstruktion der Voronoi-Diagramme I Geoinformation II Vorlesung 5 SS 2000 Konstruktion der Voronoi-Diagramme I

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Übersicht I Voronoi Regionen (Wdhg.) Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen (Wdhg.) Konstruktion des Voronoi-Diagramms Was ist das schwierigste Teilproblem? Split Rekursion I Rekursion II Merge Teilschritte von „Divide and Conquer“ VD( P2 ) VD( P1 ) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Übersicht II Merge Konstruktion des trennenden Kantenzuges Konvexe Hülle von P1 und P2 Konstruktion der Nord- und Südspitzen Vereinigung Löschen der überflüssigen Segmente Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Kosten Länge des Kantenzuges im Worst Case Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n) * O(n) = O(n2) ? „Investitionen müssen sich amortisieren“ Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Voronoi Regionen (Wdhg.) beschränkte Voronoi Regionen unbeschränkte Voronoi Regionen Die konvexe Hülle ver- bindet die unbeschränkten Voronoi Regionen Jede Voroni-Region ist konvex! Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen (Wdhg.) Vereinfachende Annahme: aus der gegebenen Punktmenge liegen keine 4 Elemente auf einem gemeinsamen Kreis Jeder Voronoi-Knoten hat genau drei Kanten Das Voronoi-Diagramm von n Punkten hat höchstens 2n – 4 Knoten und 3n – 6 Kanten (linear!) Die Knoten mit unbeschränkten Regionen bilden die konvexe Hülle Der „duale Graph“, bei dem benachbarte Punkte miteinander verbunden werden, bildet eine Delaunay-Triangulation Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten Split: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2 Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von VD(P1) und VD(P2) Merge: Verknüpfe VD(P1) und VD(P2) Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist, dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal Die gewünschte Laufzeit O(n * log n) wird erreicht, wenn „ Split“ and „ Merge“ nicht mehr als O(n) Schritte benötigen, Was ist das schwierigste Teilproblem? Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Was ist das schwierigste Teilproblem? - Split Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Was ist das schwierigste Teilproblem? - Rekursion I Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Was ist das schwierigste Teilproblem? - Rekursion II Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Teilschritte von „Divide and Conquer“ Input: Sortiere aufsteigend nach x-Koordinate Split: Bestimme den Median Zerlege in annähernd gleich große Teilmengen links und rechts des Medians Merge Konstruktion des trennenden Kantenzuges Abschneiden überflüssiger Kanten Bildung der Voronoi-Regionen (wie bei Overlay-Algorithmus) Einfachster Fall von Merge: die Teilmengen enthalten je einen Punkt der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte dieser Punkte Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Split P P1 P2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 VD( P2 ) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 VD( P1 ) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

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Konstruktion des trennenden Kantenzuges Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? monoton in Nord-Süd-Richtung jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle beginnen wir also mit den beiden (grünen und roten) „Nordspitzen“ Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Konvexe Hülle von P1 und P2 max y max y min y min y Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Konvexe Hülle von P1 und P2 max y max y min y min y Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Konstruktion der Nord- und Südspitzen die konvexe Hülle ist Abfallprodukt der Erzeugung des Voronoi-Diagramms synchrone Herleitung beider Strukturen die konvexe Hülle ergibt sich aus den Teilstrukturen durch Einfügen zweier zusätzlicher Kanten diese verbinden die roten und grünen Nord- und Südspitzen miteinander die neuen Spitzen ergeben sich aus den Minima/Maxima der alten rot-grünen Spitzen Datenstruktur wie bei Overlay (doppelt verkettete Kanten) zusätzlicher Aufwand: O(1) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Mittelsenkrechte bilden Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischen den aktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Schnittpunkte suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Schnittpunkte suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

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Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte der aktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel- senkrechten vom Anfang Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Vereinigung Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Löschen der überflüssigen Segmente Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Löschen der überflüssigen Segmente Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Datenstruktur für Voronoi-Diagramm Doppelt verkettete Kantenliste Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 Kosten wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges? Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Länge des Kantenzuges im Worst Case O(n) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 O(n) * O(n) = O(n2) ? war jetzt alles umsonst? Kantenzug ist monoton Voronoi-Regionen sind konvex Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5 O(n) * O(n) = O(n2) ? Keine Kante öfter als zwei mal anfassen! Voronoi-Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5

„Investitionen müssen sich amortisieren“ Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“ Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten  O(n) Konvexität der Voronoi-Regionen  höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken! Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 5