Geoinformation I Vorlesung 8 WS 2000/2001 Graphen.

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1 Geoinformation I Vorlesung 8 WS 2000/2001 Graphen

2 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 8
Übersicht VRS Liniennetzplan der Bonner Innenstadt Kartogramm des Liniennetzplanes GraphenIsomorphe Graphen Vereinfachung von Netzwerken Definitionen Anwendungsbeispiel Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

3 VRS Liniennetzplan der Bonner Innenstadt
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4 Kartogramm des Liniennetzplanes
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5 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 8
Graphen Knoten Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

6 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 8
Graphen 2 4 1 3 Knoten Kanten Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad A Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

8 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 8
Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad A Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad A Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad A Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad A Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad A Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad kürzester Pfad A Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad kürzester Pfad A Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad kürzester Pfad A Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad kürzester Pfad A Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

17 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 8
Graphen Gerichteter Graph Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

18 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 8
Graphen Nicht zusammenhängend Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

19 Trennende Kante (Isthmus)
Graphen Zusammenhängend Trennende Kante (Isthmus) Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Graphen Trennender Knoten Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Isomorphe Graphen J M L K J M L K J M L K A B C D A B C D A B C D Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

22 Graphisomorphie - Definition
Zwei Graphen sind isomorph, wenn eine bijektive Abbildung existiert, die die Knoten-Kanten-Adjazenzen respektiert. Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

23 Vereinfachung von Netzwerken
Beispiel: Eisenbahnnetz Karte mit geographischen Koordinaten Generalisieren von Verbindungen Entfernung des Kontextes Entzerren von Verbindungen Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Definitionen I Ein ungerichteter Graph G(V,E) ist eine Menge V von Knoten zusammen mit einer Menge E von Kanten. Eine Kante ist eine Menge (ungeordnetes Paar) von je 2 Knoten. e = {x,y} x  V y  V Wenn e = {x,y} dann sind x und e bzw. y und e inzident. Zwei Kanten {x,y} und {y,z} sind adjazent. Ein Pfad ({a1,a2},{a2,a3},{a3,a4}, ... ,{an-1,an}) von a1 nach an ist ein Folge von adjazenten Kanten. Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Definitionen II Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn man zu jedem Paar von Knoten einen Pfad findet; sonst nicht zusammenhängend. Ein Pfad von a nach a heißt Zyklus. Ein Graph heißt zyklenfrei, wenn er keine Zyklen besitzt. Beispiel: Baum (zyklenfrei + zusammenhängend) Grad eines Knotens: Zahl der inzidenten Kanten Beispiel: In Landkarten haben Knoten mindestens den Grad 2. Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Definitionen III Trennende Kante e eines zusammenhängenden Graphen G („Isthmus“): Entfernung von e würde G nicht zusammenhängend machen. Beispiel: Sylt + Hindenburg-Damm Trennender Knoten v eines zusammenhängenden Graphen G: Entfernung von v würde G nicht zusammenhängend machen. Beispiel: Attentat auf das World Trade Center in New York Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Definitionen IV Gerichtete Graphen unterscheiden sich von ungerichteten dadurch, daß die Kanten nicht Mengen (ungerichtet) sondern Paare (gerichtet) sind. C B A zusammenhängend C B A zusammenhängend C B A nicht zusammenhängend kein Pfad von A nach B A nach C C nach B Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Definitionen V Isomorphie zweier Graphen G = (V,E) G‘= (V‘,E‘) G  G‘ gilt, wenn V  V‘ es existieren bijektive E  E‘ (eineindeutige) Abbildungen Ebener Graph: Jeder Knoten hat Koordinaten Die (geraden) Kanten sind paarweise kreuzungsfrei kein ebener Graph ebener Graph Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8

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Anwendungsbeispiel Routenplanung für Autofahrer (Taxifahrer) in der Kölner Innenstadt und Umland auf Basis von Graphen Ziel: UML-Diagramm Frage: Reichen die heute diskutierten Begriffe für diesen Zweck aus? Was fehlt? Szenario: Sylvester/Karneval, Kunde von Kneipe x in Krankenhaus y fahren. Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 8