Geoinformation II Vorlesung 2 SS 2001 AVL-Bäume.

Geoinformation II Vorlesung 2 SS 2001 AVL-Bäume

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 2
Übersicht I Einfacher Segmentschnitt I Verwaltung der aktiven Elemente letzte Stunde zur Erinnerung: Algorithmus Scan-Line Datenstrukturen für T und S Binärer Suchbaum Exkurs: AVL-Bäume AVL-Baum (Definition) AVL-Baum: Beispiel Balancefaktor Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Übersicht II AVL-Baum: Beispiel Einfügen von Knoten Löschen von Knoten L-Rotation LR-Rotation Exkurs: AVL-Bäume in Kürze Vollständige Bäume Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen Fibonacci-Zahlen Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Übersicht III Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen Maximale Höhe von AVL-Bäumen Das Wichtigste zu AVL in Kürze 4 Fälle im Überblick Zurück zur GIS Vorlesung Eine Variante des AVL-Baums für die Haltepunkte ... Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfacher Segmentschnitt I
P2 P1 P3 P4 P2 P3 P4 P1 g g` P2 P1 P3 P4 S1 = det ( P1,P3,P4) Def.: Vor.: Alle Determinanten sind  0: S2 = det ( P3,P1,P2) g und g` schneiden sich genau dann, wenn S1, S2 S3 = det ( P2,P3,P4) sowie S3, S4 jeweils verschiedene Vorzeichen S4 = det ( P4,P1,P2) haben. Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Verwaltung der aktiven Elemente
F B S2 S3 C S4 D A S1 E B E C D Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

letzte Stunde Scan-Line Hauptideen Projektion auf x-Achse Beschränkung auf aktive Elemente Ordnung der aktiven Elemente durch Scan-Line Beschränkung auf Nachbarn zum Schluß: 2-Segment-Schnitt (müßte Ihnen bekannt sein) heute: Datenstrukturen für Scan-Line Polygon-Overlay Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

zur Erinnerung: Algorithmus Scan-Line
Input: S: eine Menge von Segmenten Output: die Schnittpunkte der Elemente von S Sei T = Endpunkte der Segmente von S nach x-Koordinaten sortiert (Haltepunkte) L =  // aktive Segmente von S while T   do bestimme und entferne den nächsten Punkt pT x ist x-Koordinate von p case: p ist linker Endpunkt von s fuege_ein(s,x,L) sl = vorgaenger(s,x,L) sr = nachfolger(s,x,L) schnitt(sl,s,T); schnitt(s,sr,T); p ist rechter Endpunkt von s sl = vorgaenger(s,x,L) sr = nachfolger(s,x,L) entferne(s,x,L) schnitt(sl,sr,T) p ist Schnittpunkt von s und t vertausche(s,t,L,x) // t < s sl = vorgaenger(t,x,L) sr = nachfolger(s,x,L) schnitt(sl,t,T) schnitt(s,sr,T) Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Datenstrukturen für T und S
Datenstrukur für T AVL-Baum siehe diskrete Mathematik zur Erinnerung: was ist ein AVL-Baum erstens ein Suchbaum und zwar ein ausgeglichener Suchbaum Datenstruktur für L AVL-Baum? Vorgänger und Nachfolger Variante des AVL-Baums alle Informationen sind in Blättern (nicht in inneren Knoten) die Blätter bilden eine doppelt verkettete Liste Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Binärer Suchbaum Ein binärer Baum B ist ein binärer Suchbaum, falls er leer ist oder die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: die beiden Unterbäume sind binäre Suchbäume die Beschriftungen der Knoten des linken Suchbaums sind kleiner als die Beschriftung der Wurzel die Beschriftungen des rechten Suchbaums sind größer als die Beschriftung der Wurzel n <n >n Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

siehe Vorlesung Nr. 9 Diskrete Mathe I
Exkurs: AVL-Bäume siehe Vorlesung Nr. 9 Diskrete Mathe I

AVL-Baum (Definition)
Ein binärer Baum heißt ausgeglichener Baum oder AVL-Baum (nach Adelson-Velskij und Landis), falls sich für jeden Knoten k die Höhen h der beiden Teilbäume um höchstens 1 unterscheiden. Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

AVL-Baum: Beispiel Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Balancefaktor Balancefaktor bal(k) bal(k) = h(rechter Teilbaum von k) - h(linker Teilbaum von k) Für AVL-Bäume gilt: bal(k) Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

AVL-Baum: Beispiel +1 -1 +1 +1 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

AVL-Baum: Beispiel +2 +1 +1 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 +1 8 20 3 11 17 33 26 39 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 26 39 17 20 33 +1 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 +1 20 26 39 33 17 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 17 20 +1 26 39 33 30 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 17 20 +1 30 26 39 33 +1 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 +1 20 -1 17 26 39 33 30 +1 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 +2 20 26 39 33 30 +1 -1 17 Ausgeglichenheit ist verletzt Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 +2 20 26 39 33 30 +1 -1 17 Ausbalancieren durch Rotation Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 +2 8 20 -1 3 11 17 33 +1 26 39 R- Rotation 30 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 +2 20 26 39 33 30 +1 -1 17 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 +2 8 20 -1 3 11 17 33 +1 26 39 30 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 +2 20 26 30 39 33 17 L- Rotation Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 +2 20 17 26 30 39 33 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 +2 8 20 3 11 17 26 33 30 39 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 11 3 8 26 39 20 33 17 30 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten Einfügen von k = 30 +1 14 8 26 39 20 33 30 3 11 17 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Einfügen von Knoten +1 14 8 26 3 11 20 33 17 30 39 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Löschen von Knoten +1 Löschen von k = 8 14 +1 8 20 3 11 17 33 26 39 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Löschen von Knoten +1 Löschen von k = 8 14 26 39 17 20 33 +1 8 3 11 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Löschen von Knoten +1 Löschen von k = 8 14 -1 26 39 17 20 33 +1 11 3 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Löschen von Knoten +1 Löschen von k = 11 14 -1 26 39 17 20 33 +1 11 3 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Löschen von Knoten +1 Löschen von k = 11 14 26 39 17 20 33 +1 3 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Löschen von Knoten +2 Löschen von k = 11 14 26 39 17 20 33 +1 3 L- Rotation Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Löschen von Knoten +2 Löschen von k = 11 14 26 39 17 20 33 +1 3 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Löschen von Knoten +2 Löschen von k = 11 14 +1 3 20 17 33 26 39 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Löschen von Knoten 20 17 3 14 26 33 39 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Löschen von Knoten 20 14 33 3 17 26 39 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

L-Rotation Knoten x wird eingefügt und verletzt dadurch die Ausgeglichenheit an einem höher gelegenen Knoten k1 Notwendige Korrektur durch L-Rotation (symmetrisch: R-Rotation): Umhängen von zwei Kanten Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

L-Rotation +1 k1 k2 T1 T2 T3 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

L-Rotation +2 T1 T2 T3 k1 k2 +1 x Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

L-Rotation T1 T2 T3 k1 k2 x +1 +2 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

L-Rotation +2 T1 T2 T3 k1 k2 +1 x Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

L-Rotation k2 k1 T3 T1 T2 x Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

LR-Rotation x wird eingefügt und verletzt dadurch die Ausgeglichen- heit an einem höher gelegenen Knoten k1. Notwendige Korrektur durch LR- Rotation (symmetrisch: RL-, RR- und LL- Rotation): Umhängen von vier Kanten Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

LR-Rotation -1 k1 k2 T4 k3 T1 T2 T3 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

LR-Rotation -2 k1 +1 k2 +1 T4 k3 T1 T2 T3 x Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

LR-Rotation -2 k1 T1 k2 x +1 T3 k3 T2 T4 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

LR-Rotation -2 k1 T1 k2 x +1 T3 T4 k3 T2 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

LR-Rotation -2 k1 +1 k2 +1 T4 k3 T1 T2 T3 x Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

LR-Rotation -2 k1 T1 k2 x -1 T3 k3 T2 T4 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

LR-Rotation -2 k1 T1 k2 x -1 T3 T4 k3 T2 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

LR-Rotation -2 k1 -1 k3 -1 k2 T4 T3 T1 T2 x Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

LR-Rotation k3 -1 k1 k2 T2 T3 T1 T4 x Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Exkurs: AVL-Bäume in Kürze
siehe Vorlesung Nr. 10 Diskrete Mathe I

Übersicht Vollständige Bäume Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen Fibonacci-Zahlen Maximale Höhe von AVL-Bäumen Das Wichtigste zu AVL in Kürze 4 Fälle im Überblick „Überleitung“ Güte von Algorithmen Groß-Oh-Notation Inklusion Komplexität - Beispiele Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Vollständige Bäume Ein binärer Baum heißt vollständig, wenn alle Blätter die gleiche Höhe haben. Ein vollständiger binärer Baum gegebener Höhe enthält die maximale Anzahl von Knoten. Wie groß ist die maximale Anzahl der Knoten eines vollständigen Baumes gegebener Höhe? Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Vollständige Bäume Anzahl innere Knoten Blätter Baum Höhe 1 1 2 1 2 3 3 4 ... h 2h-1-1 2h-1 S = 2h-1 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Vollständige Bäume Satz: Ein vollständiger binärer Baum der Höhe h enthält h-1 Blätter und 2h-1 Knoten* (innere Knoten + Blätter!). Beweis: 1) Induktionsanfang: h= 1 Der Baum besteht nur aus der Wurzel, die auch das einzige Blatt ist: 21-1 = 20 = Blatt 21-1 = = Knoten 2) Induktionsschritt: h  h + 1 Höhe h Höhe h + 1 2h-1 Blätter h Blätter 2h-1 Knoten h-1 innere Knoten S: 2h + 2h - 1 = 2h+1-1 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Minimale Knotenanzahl von AVL-Bäumen
N(h) sei die minimale Anzahl von Knoten eines AVL- Baumes der Höhe h. h = 1 N(1) = 1 h = 2 N(2) = 2 h = 3 N(3) = 4 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Allgemeiner Fall: 1 N(h-2) N(h-1) worst case der Höhe h: N(h) = N(h-1) + N(h-2) + 1 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Fibonacci-Zahlen fib(0) = 0 fib(1) = 1 fib(2) = 1 ... fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) Abschätzung von fib: Sei Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Satz: N(h) = fib(h+2) - 1 Beweis: 1) Induktionsanfang: h = 1 fib(1+2) - 1 = fib(3) - 1 = = 1 2) Induktionsschritt: h  h + 1 N(h+1) = 1 + N(h) + N(h-1) = 1+ fib(h+2) fib(h+1) - 1 = fib(h+3) - 1 = fib([h+1]+2) - 1 1 N(h-1) N(h)

Maximale Höhe von AVL-Bäumen
Daraus folgt nach Umformung der Abschätzung: Ein AVL-Baum mit n Knoten hat höchstens die Höhe 1,44...  log(n) + const Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Das Wichtigste zu AVL in Kürze
1. Die { L, R, RL, LR } - Rotationen finden Anwendung, wenn bei der Rückkehr von den eingefügten/gelöschten Knoten zur Wurzel des Baumes ein Balance-Faktor {-2, +2 } gefunden wird. 2. Die Wiederherstellung der AVL-Eigenschaft involviert höchstens 3 Knoten + Verweise auf die Nachfolger  Prinzip der Lokalität (Das Problem kann auch nur auf dem Weg von einem Blatt zur Wurzel des Baumes auftreten.) 3. Es finden nur vertikale Verschiebungen der involvierten Knoten statt. Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Die Form eines Baumes hängt von der Eingabefolge ab: Eingabe von {1, 2, 3} Eingabefolge: 2, 1, 3 2 1 3 2 1 3 Eingabefolge: 2, 3, 1 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Eingabefolge: 1, 2, 3 1 2 1 2 3 2 1 3 L-Rotation Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Eingabefolge: 3, 2, 1 -2 1 2 3 R-Rotation 2 1 3 Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Eingabefolge: 3, 1, 2 R 2 2 1 2 3 1 2 3 L 2 1 3 L-R-Rotation Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Eingabefolge: 1, 3, 2 2 2 L 3 2 1 3 2 1 R 2 1 3 R-L-Rotation Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

4 Fälle im Überblick Woher rührt die Verletzung der Balance am Knoten ? R LR RL L Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

Zurück zur GIS Vorlesung

Eine Variante des AVL-Baums
mit einer doppelt verketteten Liste der Blätter für die Menge der aktiven Elemente Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

für die Haltepunkte ... ...mit den Operationen Einfügen eines gefundenen Schnittpunktes Finden und Entfernen des nächsten (also minimalen) Elements ... ... genügt ein „normaler“ AVL-Baum obwohl man mit Kanonen auf Spatzen schießt besser: ein Heap bei Interesse: Vorlesung 2 (heute), Diskrete Mathematik Lutz Plümer - Geoinformation Semester - SS Vorlesung 2

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