Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basen Zu Übung 1, WS 2010/2011

Inhalt Test von Werten auf die Eigenschaft „Wachstumsfunktion“ durch Logarithmieren Zusammenhang zwischen den Ergebnissen bei der Logarithmierung mit unterschiedlichen Basen

Wachstumskurve Wachstumskurve aus Aufgabe 1

Logarithmus zur Basis 10 zur Wachstumskurve Logarithmus zur Basis 10 der Wachstumskurve aus Aufgabe 1

Interpretation der Geraden nach dem Logarithmieren Die Gerade nach dem Logarithmieren zeigt, dass die Kurve eine Exponentialfunktion der Zeit darstellt Folge: Zu jeder Zeit ist der Zuwachs der Population proportional zur momentanen Anzahl der Individuen Anmerkung. Dieses Wachstumsgesetz gilt auch für Kapital bei konstanter Verzinsung

Ansteige des Logarithmus zur Basis 10 Δy = 1,63 Δx = 15 Der Logarithmus zur Basis 10 zeigt eine Gerade mit Anstieg Δy / Δx = 1,63/15, also log y = 0,11 ·t

Funktion der Wachstumskurve zur Basis 10 Zuwachs im Zeitintervall, als Exponenten zur Basis 10 geschrieben folgt Wachstumskurve zur Basis 10 Faktor b = 0,11

Wachstumskurve Wachstumskurve zur Basis e Wachstumskurve zur Basis 10 Bei Wechsel der Basis ändert sich der Faktor vor der Zeit

Relativer Zuwachs pro Zeit bei Basis e Funktion Ableitung Zuwachs bei Basis e Der relative Zuwachs Δy / y pro Zeiteinheit wird entweder unmittelbar aus dem Diagramm oder über die Ableitung der Funktion ermittelt

Relativer Zuwachs pro Zeit bei Basis10 Funktion Ableitung Zuwachs bei Basis 10 Beachte: Bei einer von e unterschiedlichen Basis enthält die Ableitung y‘ den Faktor ln(Basis), also ln(10) bei Basis 10

Vergleich der Ergebnisse zu Basis e und Basis 10 Zuwachs bei Basis e Zuwachs bei Basis 10 Beziehung zwischen a und b Der Zuwachs pro Zeit ist unabhängig von der Basis, deshalb, daraus folgt eine Beziehung zwischen den Faktoren in den Exponenten zu unterschiedlichen Basen: Bei einer von e unterschiedlichen Basis unterscheiden sich Faktoren im Exponenten den Faktor ln(Basis), also ln(10) bei Basis 10

Vergleich der Ergebnisse zu Basis e und Basis 10 im Beispiel der Aufgabe Faktor zur Basis 10 a = b · ln10 = 1,63/15 = 0,25 Faktor zur Basis e Beachte: Bei einer von e unterschiedlichen Basis unterscheiden sich Faktoren im Exponenten den Faktor ln(Basis), also bei Basis 10 um ln(10) =2,30

Zusammenfassung Folgt nach dem Logarithmieren von Werten eine Gerade, dann folgen sie einer „Wachstumsfunktion“ Die Gerade zeigt sich bei beliebiger Basis Folge: Zu jeder Zeit ist der Zuwachs der Population proportional zur momentanen Anzahl der Individuen Der Koeffizient a der Exponentialfunktion y = exp(a·t) zeigt bei Basis e den relativen Zuwachs Δy / y pro Zeiteinheit Bei Basen ungleich e enthält der relative Zuwachs pro Zeiteinheit noch den ln der Basis, z. B. bei y = 10^(a·t) folgt Δy / y =a· ln(10)

finis