Die Poisson-Verteilung: Mittelwert und Standardabweichung

Inhalt Spezielle Verteilungen: Die Gauß-Verteilung Die Poisson-Verteilung Erwartungswert Standardabweichung Verwandtschaft mit der Gaußverteilung

Ein aktuelles Beispiel für Poisson-verteilte Zahlen Bei unveränderten Bedingungen folgen die in gleichen Zeitintervallen beobachteten Unfallzahlen einer Poisson-Verteilung

Voraussetzungen In gleichen Zeitintervallen werden Ereignisse abgezählt. Die erhaltenen Zahlen sind Poisson-verteilt, wenn die Ereignisse voneinander unabhängig eintreten die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in allen Zeitintervallen gleich bleibt

Beispiele Wöchentliche Anzahl der Gewinne einer Klasse, z. B. 6 Richtiger, im Lotto Beim Einkauf: Zahl der nach mehreren Zeitintervallen gezählten Personen vor der Kasse (falls nicht gerade eine weitere eröffnet wurde oder in einer benachbarten Schule die große Pause begann usw.) Anzahl radioaktiver Zerfälle in aufeinander folgenden Zeitintervallen ( „Zählraten“ ) Anzahl der in einem Volumen beobachten Moleküle eines Gases zu unterschiedlichen Zeiten

Anzahl der in einem Volumen befindlichen Moleküle eines Gases 2 1,5 0,5 Gas 1,0 Die nach jeweils 2 s im kleinen Kasten beobachtete Anzahl der Teilchen (=Moleküle) ist Poisson-verteilt

Mittelwert und Standardabweichung einer Poissonverteilung Erwartungswert λ zu N Beobachtungen von xn Ereignissen im Zeitintervall Standardabweichung der N Ereignisse xn Bei Erwartungswerten > 10 unterscheidet sich eine Poissonverteilung kaum von einer Gaußverteilung mit µ = λ, σ = Wurzel ( λ ): In einer Poissonverteilung ist mit dem Erwartungswert λ immer auch die Varianz λ bzw. Standardabweichung Wurzel (λ) bekannt!

Poisson-Verteilungen für unterschiedliche Parameter λ λ = 1 λ =5 λ =5 λ =10 Für Parameter („Erwartungswerte“) λ > 10 ist die Poisson- annähernd eine Gauß-Verteilung mit µ = λ und σ = Wurzel (λ)

Verwandtschaft mit der Gaußverteilung Für Erwartungswerte > 10 ist die Poisson- annähernd eine Gaußverteilung mit µ = λ und σ = Wurzel (λ) die der Poisson- entsprechende Gauß-Verteilung ist durch nur einen Parameter (λ) festgelegt ! den zweiten Parameter der Gaußverteilung, σ, bekommt man gewissermaßen von der Natur geschenkt! Dann gilt, wie für die Gauß Verteilung, 68% der Messwerte liegen innerhalb λ ± Wurzel(λ) 95% λ ± 2 ·Wurzel(λ) 99,7% λ ± 3 ·Wurzel(λ)

Aktuelles Beispiel Zahl (λ) Δ U. 2599 477 V. 596 208 T. 5 Zahl der Unfälle 2011 Zahl der Verletzten 2011 Zahl der Totesfälle 2011 Unter der vereinfachenden Annahme, die Daten von 2011 seien die Erwartungswerte λ, werden die Unterschiede Δ zwischen 2010 und 2011 beurteilt . Welche der Zahlen zeigen eine Änderung im Verkehrsaufkommen bzw. Fahrverhalten, welche hätten auch 2010 nicht überrascht?

Analyse mit Hilfe der Änderung in % der Fälle Zahl (λ) Δ Δ % U. 2599 477 20 V. 596 208 30 T. 5 100 Differenz in % des Messwerts Die Zahl der Todesopfer stieg mit 100% der Fälle am stärksten, die der Verletzten um 30%, die Unfallzahlen um 20% Aber: Die Änderung in Prozent ist zur Beurteilung der Wahrscheinlichkeit unerheblich, das geeignete Maß ist Δ / σ

Analyse mit Hilfe der Standard- abweichungen der Verteilungen Zahl (λ) Δ σ =Wurzel(λ) Δ / σ U. 2599 477 51 9 V. 596 208 24 T. 5 2,2 Analyse mit Hilfe der Standard- abweichungen der Verteilungen Differenz in Vielfachen der Standardabweichung Bei unveränderten Bedingungen sind Differenzen kleiner als die Dreifache Standardabweichung zu erwarten

Test bezüglich der Todesfälle Zahl (λ) Δ σ =Wurzel(λ) Δ / σ U. 2599 477 51 9 V. 596 208 24 T. 5 2,2 Eine Variation zwischen 0 und 5, d. h. eine Abweichung um 2σ, liegt im Rahmen des bei unveränderten Bedingungen Möglichen: Das Maß Δ / σ ist zur Beurteilung der Wahrscheinlichkeit geeignet

Test bezüglich der Zahlen der Verletzten und der Unfälle Δ σ =Wurzel(λ) Δ / σ U. 2599 477 51 9 V. 596 208 24 T. 5 2,2 Test bezüglich der Zahlen der Verletzten und der Unfälle Eine Abweichung um 9 σ ist unter gleichen Bedingungen praktisch ausgeschlossen

Zahl (λ) Δ σ =Wurzel(λ) Δ / σ U. 2599 477 51 9 V. 596 208 24 T. 5 2,2 Ergebnis Der Anstieg der Zahlen der Unfälle und Verletzten um Δ = 9 σ liegt weit außerhalb des durch Zufalls-Schwankungen zu Erwartenden. Er zeigt zwischen 2010 und 2011 eine Änderung im Verkehrsaufkommen bzw. Fahrverhalten. Dagegen liegt der erfreuliche Wert von 0 Toten des Jahres 2010 mit Δ = 2 σ innerhalb der bei gleich bleibenden Bedingungen statistisch zu erwartenden Schwankungen.

Zusammenfassung Die Zählung diskreter Ereignisse werde mehrfach wiederholt Die Anzahl von in gleichen Zeitintervallen beobachteten Ereignissen ist Poisson-verteilt, wenn die Ereignisse voneinander unabhängig einander eintreten die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in allen Zeitintervallen gleich bleibt In einer Poissonverteilung ist Der Mittelwert der „Erwartungswert“ λ Die Varianz λ Die Standardabweichung der Beobachtungen Wurzel (λ) Für Erwartungswerte > 10 ist die Poisson- annähernd eine Gaußverteilung mit µ = λ und σ = Wurzel (λ) , daher gilt: 68% der Messwerte liegen innerhalb λ ± Wurzel(λ) , 95% µ ± 2 ·Wurzel(λ), 99,7% µ ± 3 ·Wurzel(λ) Zur Beurteilung der Wahrscheinlichkeit von Zufallsdaten ist die Änderung in Prozent ungeeignet, das geeignete Maß ist das Verhältnis Abweichung Δ vom Mittelwert zur Standardabweichung: Δ / σ

finis A: Die Standardabweichung der Anzahl liegt bei ± 8 × 1011, bei 23 Stellen ist eine Änderung auf der 11. Stelle unerheblich: Die Anzahl der Moleküle in makroskop. Volumina bleibt praktisch konstant! s 2 1,5 0,5 Gas 1,0 Q: Weshalb ist es unwahrscheinlich, an einem „Luftloch“ gesundheitlichen Schaden zu erleiden? Anzahl (= Mittelwert) der Moleküle in einem mol: Avogadro Zahl 6.0221415 × 1023