Eine Einführung in die VaR-Berechnung Referent: Klaus Bohl Frankfurt MathFinance Institute, 20. Dezember 2000

Fakten und Zahlen aus der Praxis Agenda Fakten und Zahlen aus der Praxis Grundlagen interner Modelle (GS I, MaH) VaR Eine Alternative zum VaR

Organisationsstruktur in der Commerzbank Unternehmensbereich Konzernsteuerung Zentraler Stab Risikocontrolling (ZRC) Zentraler Stab Kredit (ZKA) Risk Commitee (RC) Fachbereiche Marktrisiko Bonds Marktrisiko Equities Marktrisiko Treasury Methoden und Policies Operationales Risiko Gruppen Marktdaten Marktgerechtigkeitsprüfung Fachbereiche Commercial Banking Prophylaxe/ Work out Investment Banking Zentraler Stab Recht (ZRA) Interne Revision Dt. Bank: Group Risk Board (seit Feb. 2000), Leitung durch ein Vorstandsmitglied, Verantwortliche für Kredit-, Markt- und operationale Risiken sind in diesem Board vertreten Balaba:Dezentrale Risikomanagementeinheiten, welche die Risiken steuern. Verwendet werden Verfahren und Methoden, die ein zentrales Risikocontrolling vorgibt. Dieses ist auch zuständig für SRK Budgets. Dresdner Bank: Konzernstab Risikocontrolling ist zuständig für alle Risikoarten. Business Area Controlling Teams liefern relevante Informationen "aus einer Hand". WestLB: Bereiche Zentrales Kreditmanagement und Risk Management Support & Control Commerzbank:Risk Comitee (RC) ist Gremium für konzernweite Risiken.Methods und Policies: Markt- und Crdit VaR Methoden entwickeln, Einführung Neuer Produkte, Messung des Konzernrisikos, ZKA: Kreditportfoliosteuerung, Konzernausfallrisiko, Branchen und Länderrisiko Dezentrale Risikomanagementeinheiten sind in allen Banken zusätzlich vorhanden Risikomanagement

Geschäftsberichte 1999 im Vergleich Deutsche Bank Dresdner Bank Commerzbank WestLB Balaba Helaba Risikobericht erstmals pflichtmässig im Geschäftsbericht - Welche Risikoarten werden unterschieden? - Wie ist die Organisationsstruktur? Angaben zu Marktpreisrisiken - Value-at-Risk bzw. Money-at-Risk Zahlen - Anerkennung für Internes Modell? Angaben zu Operativen Risiken

Bilanzsummen 1999 im Vergleich Name (Mrd EURO) Bilanzsumme Vielfaches der Helaba Deutsche Bank 839.865 7.3 HypoVereinsbank 503.255 4.4 Dresdner Bank 396.846 3.5 West LB 393.754 3.4 Commerzbank 372.04 3.3 Bayerische Landesbank 281.229 2.5 Helaba 114.722 1

VaR- bzw. MaR-Zahlen 1999 im Vergleich Äpfel mit Birnen: -Konfidenzniveau, Haltedauer und Historie sind entscheidene Einflussgrössen, Angaben jeweils ganz unterschiedlich: - Balaba und Dt.Bank hochskaliert Dt. Bank: Angaben allg. + spez. Risiko zusammen, 1 Tag hier auf 10 Tage hochskaliert, Sonstiges = Aktien+Rohwaren, Bankers Trust erhöht VaR um 10 Mio EUR (1 Tag) DreBa: 10T Angabe, Devisen=Devisen undRohwaren BalaBa: 107,3 Mio Gesamt auf 1 Tag, aber 90 Tage Historie bei Handelsbeständen, 250 Tage bei strat Positionen, Balaba Dt.Bank DreBa Helaba Zinsen 177 90 75 33 Währungen 118 21 14 3 Sonstige 44 41 125 2 West LB: 99%, 10Tage, Derivatives und Fixed Income 39,0 Treasuy 49,7 Equities 26,6 Emerging Markets 15,6, Sonstige 5,6 Commerzbank 99%, 10Tage Treasury und Devisen 36,8, Global Bonds 13,7, Global Equities 7, UB Investment Banking 43,1

VaR- bzw. MaR-Zahlen 1999 im Vergleich Äpfel mit Birnen: -Konfidenzniveau, Haltedauer und Historie sind entscheidene Einflussgrössen, Angaben jeweils ganz unterschiedlich: - Balaba und Dt.Bank hochskaliert Dt. Bank: Angaben allg. + spez. Risiko zusammen, 1 Tag hier auf 10 Tage hochskaliert, Sonstiges = Aktien+Rohwaren, Bankers Trust erhöht VaR um 10 Mio EUR (1 Tag) DreBa: 10T Angabe, Devisen=Devisen undRohwaren BalaBa: 107,3 Mio Gesamt auf 1 Tag, aber 90 Tage Historie bei Handelsbeständen, 250 Tage bei strat Positionen, Balaba Dt.Bank DreBa Helaba Zinsen 177 90 75 33 Währungen 118 21 14 3 Sonstige 44 41 125 2 West LB: 99%, 10Tage, Derivatives und Fixed Income 39,0 Treasuy 49,7 Equities 26,6 Emerging Markets 15,6, Sonstige 5,6 Commerzbank 99%, 10Tage Treasury und Devisen 36,8, Global Bonds 13,7, Global Equities 7, UB Investment Banking 43,1

Internes Modell gemäß Grundsatz I Dt. Bank Für alle Marktrisikopositionen (allg. + spez. Kursrisiko) DreBa Für alle Marktrisikopositionen (allg.) seit 1998 Helaba Für Zinsänderungsrisiken (allg.) seit 1998 Commerzbank Ausbau des Konzepts (Prüfung geplant) WestLB Ausbau des Konzepts Balaba Ausbau des Konzepts Hinweise aus Traber-Artikel (WM Heft 20/2000) 1998 gab es 15 Anträge, davon wurden 9 Interne Modelle genehmigt Multiplikator liegt zwischen 3,1 und 5,0 (Median 4,4) (seit Frühjahr 2000: Eine Bank mit Multiplikator 3,0) Laut Grundsatz I müssen eigenentwickelte Risikomodelle für die aufsichtsrechtlichen Meldungen geprüft werden, sogenannte Interne Modelle. Dabei wird der Zuschlagsfaktor festgelegt Helaba hat 3,2 also sehr niedrigen Zuschlagsfaktor Angaben aus Traber-Bericht 1998 gab es 15 Anträge 2 Anträge vor der Prüfung zurückgezogen 4 Prüfungen fielen negativ aus Restliche 9 Zulassungen zum Teil befristet

Risikomesssysteme – Drei Problemkreise IT Daten 40 % 40 % Mathematische Modellierung 20 % Vgl. Traber, Uwe [2000]

Bei der Betrachtung der Bestände sind die Begrifflichkeiten von Handelsrecht, MAH und Grundsatz I zu unterscheiden Geschäftsbestand Non- Trading- Book GS I Trading- Book Handels- bestand Handels- recht Nicht- Handels- bestand Handels- geschäfte Nicht-Handels- geschäfte MAH

Interne Modelle - organisatorische Anforderungen der Aufsicht Anforderungen aus: MaH Grundsatz I - BIZ Angemessene Aufsicht durch Geschäftsleitung Adäquates Risikomanagementsystem Angemessenes Internes Kontrollsystem Verantwortung der Geschäftsleitung Portfolio- struktur Abwicklung Interne Geschäfte Positions- abstimmungen Internes Modell Ergebnis- ermittlung Ergebnis- überleitung zur GuV Revision Personal Markt-konformitäts-kontrollen

Wirtschaftlichkeit und interne Modelle Zwischen den Kosten einer Informationsrechnung und dem Nutzen der durch sie vermittelten Informationen muss ein angemessenes Verhältnis bestehen. (Aus: Busse von Colbe, W./Ordelheide, D.: Konzernabschlüsse, 6. Auflage, 1993, S. 42) Zu erfassende Risikofaktoren gemäss GS I: Bei der Bestimmung der potentiellen Risikobeträge sind alle nicht nur unerheblichen Marktrisikofaktoren in einer dem Umfang und der Struktur des Geschäftes des Instituts angemessenen Weise zu berücksichtigen. (§ 35 Abs. 1)

Grundlagen interner Modelle (GS I, MaH)

MaH Mindestanforderungen an das Betreiben von Handelsgeschäften der Kreditinstitute 2.4 Qualifikation und Verhalten der Mitarbeiter Absatz 3: Die Gehälter der Mitarbeiter des Risiko-Managements und des Risiko-Controllings sowie der Abwicklung sollten so bemessen sein, dass qualifiziertes Personal gefunden und gehalten werden kann.

Die drei Klassen der VaR-Methoden Definition des VaR Die drei Klassen der VaR-Methoden Beispiele

Statistische Grundbegriffe für MaR-Modelle Auf Basis der Analyse der Zinsentwicklung des letzten Jahres können wir mit 99%iger Wahrscheinlich- keit sagen, daß unser Verlust von heute in 10 Tagen nicht höher als x Mio EUR sein wird. Haltedauer: Zeitraum, den man zur Liquidation bzw. vollständigen Ab- sicherung der Handelsposition braucht ( z.B. 1 Tag, 10 Tage). Historischer Beobachtungszeitraum: Wie weit in die Vergangenheit werden die Marktschwankungen (Volatilitäten) der Risikofaktoren analysiert (z.B. 250 Handelstage)? Konfidenzniveau: Beschreibt die Wahrscheinlichkeit (z.B. 99%), mit der eine nachfolgend zu berechnende, in Geldeinheiten gemessene Verlustobergrenze nicht überschritten wird. Korrelationen: Das Gesamtrisiko des Portfolios ist geringer als die Summe der Risiken der einzelnen Positionen (Diversifikation)

VaR – Mathematische Definition Seien die Risikofaktoren (Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Maß P) eines beliebigen Portfolios und die dazugehörige Loss-Funktion in Abhängigkeit der Realisierungen der Risikofaktoren. Dann ist der VaR zum Sicherheitsniveau von 99%. Somit ist der VaR das kleinste 99%-Quantil der Verlustverteilung.

Verteilung der Delta-Gamma-Approximation Unter der Normalverteilungsannahme für die Risikofaktoren hat die Taylorapproximation 2.Ordnung eine Verteilung wie die Summe einer Linearkombination von unabhängigen nicht-zentral Chi-quadrat- und einer unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen. (Handbook of Statistics 1980)

Eine Alternative zum VaR Definition des ML Eigenschaften des ML

Maximum Loss – Mathematische Definition Seien wie vorhin die Risikofaktoren und die betrachtete Loss-Funktion. Es wird nun die Loss-Funktion auf die volumenmäßig kleinste (meßbare) Konfidenzmenge im Faktorraum eingeschränkt und deren Maximum als Maximum Loss bezeichnet. Ist C nicht eindeutig bestimmt, könnte das Supremum über alle C herangezogen werden. Sind die Risikofaktoren gemeinsam normalverteilt, dann ist die Konfidenzmenge ein Ellipsoid.

Maximum Loss – Konfidenzellipsoid Im dreidimensionalen Faktorraum kann ein 99%-Konfidenzellipsoid so aussehen:

Maximum Loss – Subadditivität Sind A und B zwei disjunkte Porfolios mit Loss-Funktionen LossA und LossB, dann gilt Beweis:

Maximum Loss >= VaR Das kleinste -Quantil der Verlustverteilung ist nicht größer als der Maximum Loss über einem –Konfidenzbereich. Beweis:

Literaturhinweise Artzner, Philippe/Delbaen, Freddy/Eber, Jean-Marc/Heath, David: Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, Vol.9, No.3 (July 1999), p. 203-228 www.GloriaMundi.org: All about Value-at-Risk by Barry Schachter. Grundsatz I. Rechtsverordnung zu §§10, 10a KWG. Hull, John: Options, Futures and other Derviatives. Fourth Edition, 2000 RiskMetricsTM-Monitor. First quarter 1996. RiskMetricsTM-Technical Document. Fourth Edition, 1996 Traber, Uwe: Die Prüfung und Zulassung bankinterner Marktrisikomodelle nach § 32 Grundsatz I, in: WM Heft 20/2000

Ein frohes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch ins neue Jahr wünscht ihnen im voraus Klaus Bohl, Frankfurt am Main, 20. Dezember 2000