Vermischungsvorgänge Modellierung der Wasserqualität in Fliessgewässern W. Kinzelbach, O. Cirpka SS 06

Molekulare Diffusion (1) Angetrieben durch Brownsche Molekularbewegung Nur wichtig in Grenzschichten und bei Transport über sehr kleine Distanzen Beschreibung durch das Fick‘sche Gesetz Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung Diffusionsgleichung Diffusionskonstante ist Produkt aus mittlerer molekularer Geschwindigkeit und mittlerer freier Weglänge (+ Anfangs- und Randbedingungen)

Molekulare Diffusion (2) Asymptotik Wachstum der Verteilungsbreite proportional Nach Einstein: Molekulare Diffusion ist Random Walk Prozess Z. B. in 1D entlang x-Achse: Schrittweite L in Zeit t, N Schritte in Zeit t (N = t/t) x Beweis durch vollständige Induktion. Aus Richtigkeit für N folgere Richtigkeit für N+1

Turbulente Diffusion (1) Angetrieben durch Turbulenz (Wirbel) Taylor‘s Theorie der turbulenten Diffusion (im mitbewegten Koordinatensystem d.h. <u>=0) Ensemblemittel

Turbulente Diffusion (2) Lagrange‘sche Autokorrelationsfunktion für stationäre Turbulenz 1 t R(t) Lagrangesche Zeitskala Ersetze s = t2 - t1, t = (t1 + t2)/2 Analog für

Turbulente Diffusion (3) Grenzbetrachtungen Für sehr kleine t ist Rx ungefähr 1 also kein Diffusionsprozess da proportional zu t2 Für sehr grosse t (t > TL) Turbulenter Diffusionskoeffizient

Turbulente Diffusion (4) Zwischen beiden Zeitskalen Richardson/Batchelor Betrachte relative Diffusion bezüglich Schwerpunkt 4/3-Gesetz empirisch bestätigt in „grossen“ Strömungen Ursache: Energiedichtespektrum der Wirbel, die Energie von grosser zu kleiner Skala transportieren

Turbulente Diffusion (5) Drei Ausbreitungsstadien Differentielle Advektion Zwischenbereich Asymptotische Fick‘sche Diffusion

Formeln für die turbulente Diffusion (1) Vertikale turbulente Mischung im breiten Fluss Karmankonstante k Log-Profil: z z‘ mit und zb Reynoldsanalogie d.h. Annahme der Analogie zwischen turbulentem Impulstransport und turbulentem Transport des gelösten Stoffes Mittelung von hturb über die Tiefe und k = 0.4 liefert

Formeln für die turbulente Diffusion (2) Transversale turbulente Mischung Empirischer Ansatz in Analogie zur vertikalen Mischung mit e* = 0.2 ... 0.8 Fischer e* = 0.6

Dispersion in scherenden Strömungen Laminarer Fall: Taylor (2D Strömung zw. Platten, Breiteneinheit) b y x Transformation ins mitbewegte Koordinatensystem Vernachlässigung des longitudinalen Diffusionsterms Annahme: Gleichgewicht zwischen longitudinaler differentieller Advektion und lateraler Diffusion

Reynolds-Zerlegung im Raum bei Dispersion in Zeit bei turb. Diffusion

Lösung Einsetzen liefert den Massenfluss über den Querschnitt Identifikation mit einem Fluss-Gradienten-Gesetz liefert die Definition des Dispersionskoeffizienten Dx

Analog: Herleitung des Dispersionskoeffizienten in turbulenter Strömung Ausgangspunkt: Gleichgewicht zwischen longitudinaler differentieller Advektion und transversaler turbulenter Diffusion Im mitbewegten Koordinatensystem x = x – ut gilt: (*) Sowohl vertikales u‘-Profil als auch horizontales u‘-Profil wirken bei der Längsdispersion mit. I. Allg. ist das Querprofil wichtiger, da das log. Tiefenprofil ausgeglichener ist. Gleichung (*) wird deshalb tiefengemittelt

Lösung Zweimalige Integration über y von 0 bis y liefert Daraus folgt der dispersive Massenfluss und durch Vergleich mit der Fluss-Gradienten-Form der Dispersionskoeffizient Dx (**)

Formeln für die Dispersion Formel von Fischer (aus (**) formal durch Einsetzen von konstanter Tiefe) u‘ aus gemessenen Profilen Näherungsformel für (***) Werte für den Rhein: Dx = 100 – 1000 m2/s (***)

Analytische Lösungen der Transportgleichung (1) Momentaner Tracerstoss Permanente Tracereinleitung Tracerstoss der Dauer Dt

Analytische Lösungen der Transportgleichung (2) Stationäre Lösung ( t gegen unendlich in cpermanent) Für x > 0: Für x < 0: Anwendung: Bestimmung des Dispersionskoeffizienten in einem gut durchmischten Ästuar aus Salinitätsverteilung (l = 0) „Upstream“ Dispersion Meer c = c0 x > 0 Ästuar c < c0 x > 0 x = 0

Analytische Lösungen der Transportgleichung (3) Stationäre Lösung für Fahne in Ufernähe Approximation falls: Fahnenbreite Methode zur Messung von ey im Tracerversuch K0 ist eine Besselfunktion) Falls Anfangsbreite >0 u y x s(x)

Probleme der 1D-Behandlung 1D-Modell in natürlichen Flüssen oft nicht bestätigt, Totwasserzonen!! Ausweg: Heterogenes Modell (2 Transportgleichungen) Anwendbarkeit des 1D-Modells erst nach Fliesslänge L mit u < 0 Hauptfluss u = 0 Totwasser

Tiefenmischung in Seen Tiefenmischung in Seen wird behindert durch stabile Dichteschichtung Dichteschichtungen kommen zustande durch: Temperaturgradienten Salinitätsgradienten Stabile Schichtung: Stabil bedeutet: Wasserpaket kehrt nach Auslenkung in die Ausgangslage zurück

Stabilitätsfrequenz (1) Infinitesimale Auslenkung eines Wasserpakets mit Masse m, Volumen V um Strecke z führt zu Auftriebskraft: Das Wasserpaket schwingt mit der Frequenz N (T = 2p/N) N heisst Stabilitätsfrequenz (oder Brunt–Väisälä-Frequenz) z z

Stabilitätsfrequenz (2) Bei negativem N ist die Schichtung instabil Der vertikale Mischungskoeffizient ist ein Funktion von N Falls auch die Salinität an der Dichteverteilung über die Tiefe beteiligt ist, gilt: Berücksichtigt man die Abhängigkeit der Dichte vom Druck, so muss die potentielle Temperatur q statt der tatsächlichen Temperatur T betrachtet werden, d.h. die um den adiabatischen Temperaturverlauf bereinigte Temperaturverteilung (erst im tiefen Ozean wichtig)

Vertikale turbulente Vermischung Turbulente Vermischung wirkt der stabilen Schichtung entgegen Instabile Schichtung erzeugt konvektive Turbulenz und damit Vermischung Bezogen auf die Masse N2 < 0 Turbulenz wird angefacht, N2 > 0 Turbulenz wird gedämpft

Charakteristische dimensionslose Zahl Gradienten-Richardson-Zahl: Vergleicht die relative Wichtigkeit von Turbulenz und Stratifikation Definition: Stratifikation Produktion von Turbulenz

Vertikaler Vermischungskoeffizient Empirische Ansätze haben die Form: Messung von ez aus Spurenstoffprofilen (z. B. Radon) oder Temperaturprofilen