Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit Computern METHODIK UND DIDAKTIK Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg Johannes Kepler Universität Linz SS 2007

1.1 Spezifische Lernziele Experimentieren Anlehnung an E(naktiv),I(konisch),S(ymbolisch) Zusätzliche Akzentuierung der aktiven Rolle des Schülers (Prädikat: handelnd) - anschaulich – handeln (Visualisieren) - numerisch – handeln (Tabellen, Listen; Einsetzen von Funktionswerten)

1. Grundfragen 1.1 Spezifische Lernziele Argumentieren und Begründen symbolisch – handeln (z. B. Kurvendiskussion, Prototypen von Funktionen) Verschiedene Exaktheitsniveaus / Präformales Beweisen (z. B. Verketten von Funktionen, funktionierender Bisektionsalgorithmus - quasialgorithmischer Beweis für den Zwischenwertsatz)

1. Grundfragen 1.1 Spezifische Lernziele Einstellungen initiieren und verändern Motivation für mathematische – informatische Inhalte Selbstvertrauen zu eigener Leistung Bedingungen: Mehr Selbsttätigkeit der Schüler Veränderte Lehrerrolle starke Handlungsorientierung des Unterrichts

1. Grundfragen 1.1 Spezifische Lernziele Einstellungen initiieren und verändern Bedingungen: Soziale Parameter: Verstärkte Partner- und Gruppenarbeit in Projekten

1. Grundfragen 1.1 Spezifische Lernziele Modellbilden (Fundamentale Leitidee) Mathematik: Entwickeln – Beschreiben – Bewerten Informatik: Entwickeln – Implementieren - Bewerten

1. Grundfragen 1.1 Spezifische Lernziele Verschiebung von Gewichten Elemente der diskreten Mathematik (z.B. Grundlagen der Logik) Elemente der Stochastik (z.B. Regression) Diskussion von Programmierparadigmen (z. B. Funktional -> Verketten von Funktionen – Frage der Argumente)

1. Grundfragen 1.2 Forderungen an den Unterricht Unterricht als Prozess Mehrperspektivität (Verlagerung der Standpunkt, Gegenüberhalten verschiedener Repräsentationsformen) Unterricht durchsichtiger machen Orientierung an fundamentalen Ideen und Begriffen

1.2 Forderungen an den Unterricht Stärkere Berücksichtigung intra- und interindividueller Komponenten Veränderte stress- und angstbeladene Unterrichts- situationen (d. h. vor allem Veränderung der Prüfungssituation – Umfangreichere Beurteilungs- grundlagen) 1. Grundfragen

2.1Die optimal approximierende Gerade LI: Approximation, Prototypisches Verhalten von Funktionen (Bemerkung F. Schweiger) Aufgabe: Näherungsweises Beschreiben einer reellen Funktion f in der Umgebung eines Punktes P.

2. Unterichtsbeispiele (M) 1. Schritt: Definition der Funktion f 2. Schritt: Betrachten des Funktions- wertes an der Stelle x+u mit u = x-x 0 3. Schritt: Linearisierung (d.h. Abspalten der linearen Funktion und Festlegen auf eine Stelle x 0 =2: y = f(2)+m(x-2)) 4. Schritt: Erzeugung eines Büschels für die Betrachtung unter dem Funktionen- mikroskop (d.h. m = 2 x 0 ±ε)

2. Unterichtsbeispiele (M) 5. Schritt: Mikroskopische Betrachtung der Sachlage in P(x,x 0 )

2.2 Vermutungen über Differentiationsregeln anstellen LI: Approximation, Modellieren Problem: Lässt sich die Idee der Linearisierung (aus Aufgabe 2.1) weiterführen zu Vermutungen über Regeln? 2. Unterichtsbeispiele (M)

1. Schritt: Definition der beiden Tangentenfunktionen tf und tg 2. Schritt: Summe aus tf und tg mit u = x-x 0, a=f (x0), b=g(x0) m=f (x 0 ), n=g (x 0 ) 3. Schritt: (m+n) u Verm.: (f+g) =f+g 4. Schritt: Linearisierung - (a.n+b.m) u Vermutung: (f.g) = f. g+ g. f

2.3 Zur Beschreibung von Punktmengen – Einpassen einer Geraden (y = k x) LI: Approximation, Präformales Beweisen, Verschiedene Exaktheit, Modellieren Problem: Einpassen einer Geraden (y = k x) in eine Menge von m(=3) Punkten des 2. (Soll beim Schüler eine Motivationslage schaffen, die Arbeitsweise eines CAS zu hinterfragen) 2. Unterichtsbeispiele (M)

1. Schritt: Definition der Funktion f (mit P 1 (3,3), P 2 (4,4) und P 3 (5,3)) 2. Schritt: Vereinfachen führt zu einer quadratischen Funktionsausdruck in k

2. Unterichtsbeispiele (M) 3. Schritt: Extremwertaufgabe Notwendige und Hinreichende Bedingung für ein Minimum

2. Unterichtsbeispiele (M) 2.4 Entwickeln – Beschreiben – Bewerten LI: Approximation, Modellieren Aufgabe: Aus einem Testbericht wurde die folgende Tabelle für verschiedene PKWs entnommen: Entwickle ein Modell für die funktionale Abhängigkeit des Kraftstoffverbrauchs von der Geschwindigkeit.

2. Unterichtsbeispiele (M) 1. Schritt: Übertragen der Werte aus der Tabelle

2. Unterichtsbeispiele (M) 2. Schritt: Beschreibung 01 - Quadratische Regression (Einpassen einer quadratischen Funktion)

2. Unterichtsbeispiele (M) 3. Schritt: Beschreibung 01 - Quadratische Regression Grafische Darstellung

2. Unterichtsbeispiele (M) 4. Schritt: Beschreibung 02 - Einpassen einer Polynomfunktion vom Grad 4

2. Unterichtsbeispiele (M) 5. Schritt: Beschreibung 02 – Polynomfunktion vom Grad 4 Grafische Darstellung

2. Unterichtsbeispiele (M) 6. Schritt: Beschreibung 03 - Einpassen einer Polynomfunktion vom Grad 4 Ermittlung der Koeffizienten durch Lösen des angegebenen Gleichungssystems

2. Unterichtsbeispiele (M) 7. Schritt: Bewertung des Graphen führt zu Beschreibung 04 - Einpassen zweier quadratischer Funktionen

3. Strukturmodell 3.1 Informatische Konzepte Programmierparadigmen (am Beispiel funktional) hier: Modularisierung / Modulprinzip 3.2 Pädagogische – Psychologische Konzepte (vgl. 1.1 /1.2)

3.1 Entwickeln – Implementieren – Bewerten LI: Modellieren durch Funktionen, Modularisieren Aufgabe: Implementierung eines logischen Systems (Konjunktion, Disjunktion, Negation) durch funktionale Kodierung

3. Unterichtsbeispiele (INF) 1. Schritt: Definieren der Funktionen des logischen Systems

3.2 Entwickeln – Implementieren – Bewerten LI: Funktion (Argumente, Verkettung), Algorithmisches Denken Aufgabe: Auf der Suche nach Gesetzmäßigkeiten (Äquivalenzen) illustriert am Beispiel De Morgan 3. Unterichtsbeispiele (INF)

1.Schritt: Verketten der zuvor definierten Funktionen 2.Schritt: Gegenüberstellung der Outputs (Tabellen)

3. Unterichtsbeispiele (INF) 3. Schritt: Verifizierung der Äquivalenz mittels 4 x 3 - Tabelle

3. Strukturmodell Abschließende (positive) Bemerkungen zu Informatische Konzepte – Modularisierung / Die Funktion als Baustein Schaffung eines Systems Konstruktives Exaktifizieren