Ausgleichungsrechnung I Zufallsvektoren Zufallsvektoren Funktionen eines Zufallsvektors Monte-Carlo-Methode Unscharfe Vektoren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Begriffe Zufallsvektor: mehrdimensionale Zufallsvariable – ein Vektor, dessen Elemente Zufallsgrößen sind Zufallsvektor in der Vermessung: L Beobachtungsvektor l: Realisierung eines Zufallsvektors Elemente im Beobachtungsvektor: Messwerte Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Zufallsvektor Hat einen Erwartungswert und einen wahren Wert Hat wahre, systematische und zufällige Abweichungen Besitzt eine Verteilungs- und Dichte-funktion wie bei Zufallsvariable aber mehrdimensional Dichtefunktion des Zufallsvektors Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

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Ausgleichungsrechnung I Kovarianz ‚Gemeinsame‘ Streuung zweier Zufalls-größen Bei unabhängigen Größen: Cov(X,Y)=0 Positive Kovarianz: Größen verhalten sich tendenziell eher gleich, sonst entgegengesetzt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Kovarianzmatrix Varianzen und Kovarianzen eines Zufallsvektors Auch: Varianz-Kovarianz-Matrix Auch aus empirisch abgeschätzten Kovarianzen, dann mit Cxx bezeichnet Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Korrelation Kovarianz abhängig von der Dimension der beiden beteiligten Größen Normierung durch Division durch Standard-abweichungen: Korrelationskoeffizient (dimensionslos) -1  r (r)  +1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Woher kommt die Korrelation? Viele Einflüsse auf Messungen (Atmosphäre, Aufstellung, Schwerefeld,...) Einflüsse nicht vollständig erfasst Einflüsse wirken auf eine Gruppe von Beobachtungen in ähnlicher Weise  Korrelation Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Arten der Korrelation mathematisch korrelierte Größen: Unabhängige Messgrößen, gemeinsames Berechnungsmodell physikalisch korrelierte Größen: Korrelierte Messgrößen gemischt korrelierte Größen: Korrelierte Messgrößen in gemeinsamem Berechnungsmodell Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Korrelationsmatrix Zusammengefasste Korrelationskoeffizienten Hauptdiagonale: 1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Stochastische Abhängigkeit Beispiel: Würfeln – Wetterprognose Würfeln: Wahrscheinlichkeit unabhängig vom letzten Wurf Wetter: Temperatur stark vom Wetter des Vortrages abhängig Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(X=a|Y=b) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Bedingte Wahrscheinlichkeit (1) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses X = a unter der Bedingung, dass Y = b bereits eingetreten ist. P(X=a|Y=b) X und Y stochastisch unabhängig, wenn gilt P(X=a|Y=b) = P(X=a) Korrelationskoeffizient: Maß für den linearen stochastischen Zusammen-hang Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Bedingte Wahrscheinlichkeit (2) Zwei Komponenten eines Zufallsvektors sind unkorreliert, wenn sie stochastisch unabhängig sind Umkehrschluss nicht immer zutreffend (bei Normalverteilung ist der Umkehrschluss zutreffend) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Anmerkungen zur Korrelation Korrelation betrachtet die Variablen als gleichwertig: Abhängigkeit zwischen X und Y Korrelation beschreibt keine expliziten kausalen Zusammenhänge Korrelation beschreibt nur den linearen Zusammenhang (nicht: Abhängigkeit schlechthin) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Funktionen eines Zufallsvektors Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors Übergang von der Abweichung zur Standardabweichung Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors Gegeben: Messwerte x1,…, xn mit Abweichungen Dx1, …, Dxn Gesucht: Abweichung Dx für Funktion f(x1,…, xn) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Eindimensionaler Fall y=f(x) y0+Dy=f(x0)+Dy=f(x0+Dx) Frage: Wie groß ist Dy bzw. die Standard-abweichung von y Taylorreihe: f(x0+dx)=f(x0)+f‘(x0)dx  Dy = f‘(x0)dx Verallgemeinerung: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Übergang zur Standardabweichung Varianz = Quadratsumme der Abweichung-en dividiert durch Anzahl der Freiheitsgrade sf2 Summieren: Quadrieren: sxi2 sij Wenn die Messgrößen stochastisch unabhängig sind Varianzfortpflanzungsgesetz für stochastisch unabhängige Beobachtungen Einfaches Fehlerfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Kovarianzfortpflanzungsgesetz Parameter nicht stochastisch unabhängig: In Matrizenschreibweise: Mehrere Funktionen: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Monte-Carlo-Methode Varianzfortpflanzungsgesetz und Kovarianz-fortpflanzungsgesetz sind Näherungslösungen (abgebrochene Taylor-Entwicklung) Exakte Lösung: Monte-Carlo-Methode Verteilung der Parameter  eine Realisierung  ein Ergebnis Oft wiederholt  Verteilung des Funktionsergebnisses Genauigkeit der Abschätzung proportional n Versuche, D … konst. Faktor Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Unscharfe Vektoren Vektoren, bei denen die Elemente unscharfe Zahlen sind Charakterisierende Funktion d-Schnitt ist Teilmenge des IRn Funktion ist dann und ist eine unscharfe Zahl Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Zusammenfassung Mehrdimensionale Zufallsereignisse (z.B. geodätische Messungen) werden in Zufallsvektoren zusammengefasst Gemeinsame Streuung von Zufallsereignissen: Kovarianz Zusammengefasst in Kovarianzmatrix Lineare stochastische Abhängigkeit: Korrelation Kovarianzfortpflanzungsgesetz beschreibt Auswirkung von Varianzen auf Funktion Exakte Lösung: Monte-Carlo-Methode Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil