Histogramm/empirische Verteilung Verteilungen Übungsblatt 2

Histogramm Befehl: Grafiken/Histogramm Variable auswählen Art der Darstellung wählen: “Häufigkeitsauszählung“ (Frequency counts) oder “Dichten” (Densities) Balkendiagramm: Grafiken/Balkendiagramm

Empirische Verteilungsfunktion Um die empirische Verteilungsfunktion darzustellen, gibt es keinen Menübefehl, doch man kann den Befehl direkt eingeben > plot.ecdf(students$Length, verticals = TRUE) und Linien einzeichnen >abline(h = 0.5, col = “red”) >abline(v = 177, col = “blue”)

Verteilungen Beispiel: Binomialverteilung Für viele theoretische Verteilungen kann man, die Dichte als Kurve darstellen, Wahrscheinlichkeiten und Quantile berechnen und Zufallszahlen erzeugen, die einer Stichprobe aus der Verteilung entsprechen. Das funktioniert für alle Verteilungen ähnlich, nur welche Parameter man eingeben muss, hängt von der Verteilung ab. Außerdem gibt es Unterschiede zwischen diskreten und stetigen Verteilungen. Die folgenden Folien beziehen sich auf die Binomialverteilung am Beispiel von 10 Würfen mit einer Münze, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0.5 einen “Erfolg” (d.h. “Kopf”) ergeben.

Dichtekurve einer diskreten Verteilung Befehl: Verteilungen/Diskrete Verteilungen/Binomialverteilung/Grafik der Binomial-Verteilung wähle Anzahl der Versuche wähle Erfolgswahrscheinlichkeit wähle Art der Darstellung Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Verteilungsfunktion Am wahrscheinlichsten sind bei 10 Würfen 5 Erfolge. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist ca. 0.25.

Zufallsstichprobe aus einer Verteilung Wenn man 100 mal die Münze jeweils zehnmal wirft und je zählt, wie häufig “Kopf” vorkam, welche Zahlen könnten dabei herauskommen? Befehl: Verteilungen/Diskrete Verteilungen/Binomialverteilung/Zufallsstichprobe aus einer Binomial-Verteilung Die Stichprobe wird normalerweise automatisch zur aktiven Datenmatrix, dann lassen sich Mittelwert etc. über Statistik/Deskriptive Statistik/Zusammenfassung numerischer Variabler berechnen. lege fest unter welchem Namen diese Datenmatrix abgelegt wird wähle Anzahl der Versuche wähle Erfolgswahrscheinlichkeit wähle Größe der Stichprobe Setze “Anzahl der Beobachtungen” gleich 1.

Quantile und Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Verteilung Anstatt Quantile etc. von Plots abzulesen, kann man sie auch genau ausrechnen. Quantile (analog für STETIGE Verteilungen): Befehl: Verteilungen/…/…/Quantile der Binomialverteilung Unter welchem Wert liegt die Anzahl der Erfolge in 95% aller Fälle (wenn man das Experiment sehr oft macht)? Wahrscheinlichkeiten (nur für DISKRETE Verteilungen): Bei diskreten Verteilungen kann man berechnen, welche Wahrscheinlichkeit jedes mögliche Ergebnis hat. Die Zahlen sind genau die gleichen wie beim Plot der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Befehl: Verteilungen/…/…/Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung

Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion gibt an, welcher Anteil der möglichen Ergebnisse unter einem gegebenen Wert liegt. DISKRET, z.B. Binomialverteilung: Befehl: Verteilungen/…/…/ Wahrscheinlichkeiten der Grenzen der Binomial-Verteilung In wievielen Fällen (d.h. bei welchem Anteil der Fälle, wenn man das Experiment sehr oft macht) wird die Anzahl mindestens 7 sein? (Hier wird also der Anteil der Werte über 7 berechnet.) STETIG, z.B. (Standard-)Normalverteilung: Befehl: Verteilungen/Stetige Verteilungen/Normalverteilung/ Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung Bei welchem Anteil der Fälle ist der Wert höchstens 2? (Parameter der Verteilung)

Poissonverteilung Die Poissonverteilung gibt an, wie wahrscheinlich eine bestimmte Anzahl ist, wenn diese beliebig groß sein kann und die durchschnittliche Anzahl bekannt ist. Es können dafür die gleichen Plots und Berechnungen gemacht werden wie für andere diskrete Verteilungen wie die Binomialverteilung. z.B. Befehl: Verteilungen / Diskrete Verteilungen / Poissonverteilung / Wahrscheinlichkeiten der Grenzen der Poissonverteilung Die Wahrscheinlichkeiten kann man berechnen mit Befehl: Verteilungen / Diskrete Verteilungen / Poissonverteilung /poisson probabilities Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das mindestens 20 Personen an einer Bushaltestelle warten, wenn es normalerweise (durchschnittlich) 5 sind?

Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung, deshalb ist nicht nur die Berechnung der Verteilungsfunktion anders (s. Folie 8), es gibt eine Dichtefunktion anstatt der Wahrscheinlichkeitsfunktion und auch die Plots der Verteilungsfunktion sehen anders aus. Befehl: Verteilungen/Stetige Verteilungen/Normalverteilung/Grafik der Normalverteilung

Weitere stetige Verteilungen Die Befehle für Quantile, Verteilungsfunktion, Grafiken und Zufallsstichproben gibt es analog für alle stetigen Verteilungen. Z.B. Lognormale Verteilung: Befehl: Verteilungen/Stetige Verteilungen/ Lognormale Verteilung/… Gleichverteilung: Befehl: Verteilungen/Steti ge Verteilungen/Gleichverteilung/…