Diskrete Mathe 9 Vorlesung 9 SS 2001 Geoinformation Vorlesung 9 SS 2001 Voronoi-Diagramme: Bestimmung der Tangente bei der Konstruktion des trennenden Kantenzuges

Übersicht I Bestimmung der Tangente Extrempunkte von CH(P1)  CH(P2) Tangente von CH(P1)  CH(P2) Nochmals zur konvexen Hülle CH Tangente Nachfolger - Bestimmung Nachfolger Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Übersicht II Extrempunkte 2 vertikal monotone Kantenzüge Tangente Bestimmung des Nachfolgers Konvexe Hülle Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Bestimmung der Tangente im Detail Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Extrempunkte von CH(P1) bzw. CH(P2) max y max y min y min y Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Tangente von CH(P1)  CH(P2) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Tangente von CH(P1)  CH(P2) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Extrempunkte: Funktioniert das immer ? Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P2 minimal ist. Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Tangente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P2 minimal ist. Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Extrempunkte Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

2 vertikal monotone Kantenzüge Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Tangente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P2 minimal ist. Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Nachfolger - Bestimmung Winkel minimal P1 P2 P3 P4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Nachfolger P1 Winkel minimal P2 P3 P4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen Betrachte die oberen Extrempunkte P1 und Q1 und die Nachfolger P2 und Q2 im Uhrzeigersinn, und sei P1 höher als Q1 Bestimme das Minimum der mit P1P2, P1Q1 und P1Q2 assoziierten Winkel Fälle: P1 Q1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig P1 P2 minimal: ersetze P1 durch P2 und P2 durch P3 (wandere auf der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) P1 Q2 minimal: ersetze Q1 durch Q2 und Q2 durch Q3 (wandere auf der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) weiter mit 2. Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Bestimmung des Nachfolgers P1 P2 Winkel nicht minimal Q1 Q2 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Bestimmung des Nachfolgers P1 P2 Winkel minimal Q1 Q2 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Bestimmung des Nachfolgers P1 P2 Q1 Q2 P3 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Bestimmung des Nachfolgers Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Bestimmung des Nachfolgers Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

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Konvexe Hülle Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9