Stetige Zufallsgrößen Darstellung durch Dichtefunktion f Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen : b Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen Ist stetig mit Dichtefunktion , so definiert man: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b): Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Normalverteilung: Definition Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern , kurz X~N , falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt: Erwartungswert Varianz Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Normalverteilung Beschreibung: „Glockenkurve“ Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Anwendung der Normalverteilung Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodell in vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei Metrische Größen einer Population Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen Natürliche Variabilität Messfehler Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Schwankungsbereiche der Normalverteilung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Beispiel zur Normalverteilung Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen: Studie: Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Quantile der Normalverteilung: Beispiel Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit m=10 und =25. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (X > 20) P (5 < X < 20) P (-2 < X < 15) Beispiel: Fehler bei Messung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 i.i.d. Zufallsgrößen seien unabhängig und identisch verteilt. Man schreibt auch dafür: i.i.d. steht für „independent and identically distributed“. Ist und , so gilt: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Grenzwertsätze Bei einer Stichprobenziehung werden n Personen gefragt oder n unabhängige Experimente durchgeführt. Man ordnet jedem Versuch eine Zufallsgröße Xn zu. Die n Zufallsgrößen sind dann i.i.d. Von Interesse ist dann u.a. die Verteilung des Stichprobenmittels Gesetz der großen Zahlen: Ist m der Erwartungswert einer ZG X, so liegt das der Mittelwert mit wachsendem n nahe bei m Zentraler Grenzwertsatz: ist für große n annähernd normalverteilt. Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle Poisson-Verteilung: Zählen seltener Ereignisse Wahrscheinlichkeitsfunktion Beispiele: Zahl der Fischvergiftungen pro Zeiteinheit Zahl der Spontantumoren pro Zeiteinheit historisch: Zahl der Todesfälle durch Hufschlag pro Jahr und Regiment Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Beispiel für Possion-Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Lebensdauerverteilungen Exponentialverteilung Beispiel: Lebensdauern Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Zusammenfassung: Verteilungen Wahrscheinlichkeitsmodelle dienen dazu, bestimmte (unsichere) Phänomene zu charakterisieren. Das Wahrscheinlichkeitsmodell ist abhängig von der zu charakterisierenden Größe. In der Literatur gibt es eine Vielzahl solcher Verteilungen. Man unterscheidet diskrete und stetige Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsmodelle). Wichtige Kennzahlen von Verteilungen sind Erwartungswert und Varianz. Verteilungen haben meist Parameter, die durch das Problem gegeben sind, oder aus Daten geschätzt werden. Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Statistische Erhebungen Bei der Erhebung von Daten unterscheidet man: Befragungen z.B. Befragung der Landwirte über das Verhalten der Tiere im Stall Experimente z.B. Versuch, welches Arzneimittel am besten zur Heilung führt Beobachtungen Auftreten einer Krankheit Erhebungen zu Tieren in einer Tierklinik Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Unterscheidungseinheiten / statistische Einheit / Merkmalsträger Individuen, die einer Erhebung zugrunde liegen Einzelne Tiere Einzelne Herden Einzelne Landwirte Haushalte Beispiele: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Merkmale (Variablen) Eigenschaften Untersuchungseinheiten z.B. Krankheitsstatus Blutparameter Geschlecht Anzahl der Kühe (bei Untersuchungseinheit Landwirt) Merkmalsausprägungen mögliche Werte des Merkmals Messergebnisse / positive Zahlen krank / gesund Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Charakterisierung von Merkmalen quantitative Merkmale unterscheiden sich durch ihre Größe Alter, Gewicht, Milchleistung, Temperatur, Anzahl Keime, Schadstoffgehalt, … qualitative Merkmale unterscheiden sich durch ihre Art Geschlecht, Namen, Rassen, Haltungsform Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Merkmalswerte Die gemessenen, erfragten oder beobachteten Ausprägungen des Untersuchungsmerkmals sind die Merkmalswerte. Sie stellen die Daten der Erhebung dar. Wiederkauverhalten: z.B. in Stunden pro Tag Arzneimittel: Dosis 1, Dosis 2, Dosis 0 (Placebo) Befund: gesund, fraglich, erkrankt Keimzahlen: Anzahl in 1000 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Skalen Metrische Skala: Die Werte unterliegen einer Rangfolge und die Abstände zwischen den Werten der Skala lassen sich interpretieren. Gewicht, Keimzahlen, Schadstoffmessung Ordinalskala: Die Werte unterliegen einer Rangfolge, aber die Ab- stände zwischen den Werten der Skala lassen sich nicht interpretieren. Bewertung (Noten), Gesundheitszustand Nominalskala: Die Werte unterliegen keiner Rangfolge und sind nicht Vergleichbar Geschlecht, Rasse, Haltungsform Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Deskriptive Statistik Ziel: Beschreibung von Daten mit möglichst geringem Informationsverlust Eigenschaften und Strukturen sichtbar machen Graphisch und durch Kennwerte Eindimensional und mehrdimensional Zunächst keine Schlüsse auf die Grundgesamtheit Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Rohdaten und Datenmatrix Die Daten liegen in der Regel als Datenmatrix vor: Zeilen entsprechen Untersuchungseinheiten Spalten entsprechen Merkmalen Elemente der Matrix sind die Merkmalsausprägungen Fragen mit Mehrfachnennungen als Einzelne binäre Merkmale definieren Hinweise zur Eingabe unter: www.stat.uni-muenchen.de/stablab/Excel.html Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Beispiel: Daten zu Mastenten (Ausschnitt) - Ändern - Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Eindimensionale Statistische Kennwerte Lagemaßzahlen Wo liegt die Masse der Daten? Wo liegt die Mehrzahl der Daten? Wo liegt die Mitte der Daten? Welche Mehrmalsausprägung ist typisch für die Häufigkeitsverteilung? Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Statistische Kennwerte Über welchen Bereich erstrecken sich die Daten? Wie groß ist die Schwankung der Ausprägungen? Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Eindimensionale Häufigkeitsverteilung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Der Modus Definition: Häufigster Wert Eigenschaften: oft nicht eindeutig nur bei gruppierten Daten oder bei Merkmalen mit wenigen Ausprägungen sinnvoll stabil bei allen eindeutigen Transformationen geeignet für alle Skalenniveaus Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Beispiel Modus Modus = 4 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Der Median Definition: Wert für den gilt 50% der Daten sind kleiner oder gleich med 50% der Daten sind größer oder gleich med med = sind geordnete Werte Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Eigenschaften des Median anschaulich stabil gegenüber monotonen Transformationen geeignet für ordinale Daten stabil gegenüber Ausreißern Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Beispiel Median Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Das Quantil (Perzentil) Definition: Wert für den gilt Anteil p der Daten sind kleiner oder gleich xp Anteil 1-p der Daten sind größer oder gleich xp Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Fünf-Punkte Zusammenfassung Minimum, 25%-Quantil, Median,75%-Quantil,Maximum Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Der Mittelwert (arithmetisches Mittel) bekanntestes Lagemaß instabil gegen extreme Werte geeignet für Intervallskalierte Daten Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Beispiel Mittelwert Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006