Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 10th Lecture / 10. Vorlesung University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 D Kassel Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 2 ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode Solution of Boundary Value Problems (BVP) / Lösung von Randwertproblemen (RWP) Lord Kelvin 1848: Method of Images / Spiegelungsmethode Linienladung parallel vor geerdetem Zylinder Punktladung vor geerdeter Kugel Punktladung vor geerdeter Ebene Punktladung vor geerdeter Ecke

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 3 ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode Medium Boundary Value Problem (BVP) – Randwertproblem (RWP)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 4 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 5 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Medium Problem / Problem: Solution / Lösung: Image Charge / Spiegelladung

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 6 ES Fields – Method of Images / ES Felder – Spiegelungsmethode Medium Solution by Applying the Method of Images / Lösung durch Anwendung der Spiegelungsmethode Image Charge / Spiegelladung

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 7 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 8 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Medium – – – – – – – PEC / IEL Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz) Field Lines of E / Feldlinien von E Without the Method of Images we have to Solve the Following Integral Equation for the Unknown Induced Electrostatic Surface Charge / Ohne die Spiegelungsmethode muss man die folgende Integralgleichung für die induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte lösen Unknown / Unbekannt +

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 9 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Medium – – – – – – – + PEC / IEL Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz) Field Lines of E / Feldlinien von E If D is known from the Method of Images / Falls D über die Spiegelungsmethode bekannt ist η e (R) is Defined by the Normal Component of D / η e (R) ist definiert über die Normalkomponente von D !

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode Medium – – – – – – – PEC / IEL Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz) Field Lines of E / Feldlinien von E Hz

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Total Electric Charge at the xy Plane at z=0 / Gesamtladung auf der xy Ebene bei z=0

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Method of Images – Applications / ES Felder – Spiegelungsmethode – Anwendungen Earth / Erde Singular Point / Singulärer Punkt Ionosphere / Ionosphäre Vertical Stream / Vertikalstrom Dipole Layer / Dipolschicht

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables – Example / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen – Beispiel Separation of Variables / Separation der Variablen !

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Laplace Equation / Laplace-Gleichung 3-D / 3D 2-D / 2D Elliptic Partial Differential Equation / Elliptische partielle Differentialgleichung Laplace Equation in Cartesian Coordinates / Laplace-Gleichung in Kartesischen Koordinaten Function of Three Variables / Funktion von drei Variablen Function of Two Variables / Funktion von zwei Variablen

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Laplace Equation / Laplace-Gleichung Solution Strategy:Reduce the Partial Differential Equation (PDE) to an Ordinary Differential Equation (ODE) and Find a Solution of the PDE by Solving the ODE Lösungsstrategie:Reduziere die partielle Differentialgleichung (PDG) auf eine gewöhnliche (ordinäre) Differentialgleichung (GDG) und finde eine Lösung der PDG durch Lösung der GDG Ansatz of Separation / Separationsansatz Function of two Variables: x and y / Funktion von zwei Variablen: x und y Function of x only / Nur eine Funktion von x Function of y only / Nur eine Funktion von y Product of two Functions / Produkt aus zwei Funktionen

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Laplace Equation / Laplace-Gleichung Ansatz of Separation / Separationsansatz Inserted in the Above Laplace Equation Yields / Eingesetzt in die obere Laplace-Gleichung ergibt

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Separation Condition / Separationsbedingung

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Separation Condition / Separationsbedingung We Obtain Two ODE / Wir erhalten zwei GDG With / Mit Solutions of these Equations are / Lösungen dieser Gleichungen sind For k = 0 these Solutions Degenerate to / Für k = 0 diese Lösungen degenerieren zu

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen We Obtain Two ODE / Wir erhalten zwei GDG

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Solutions of the 2-D Laplace Equation in the Cartesian Coordinate System / Lösungen der 2D-Laplace-Gleichung im Kartesischen Koordinatensystem

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables / ES Felder – Separation der Variablen (...)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Superposition of Modes / ES Felder – Separation der Variablen – Superposition von Moden (...) For Example, Consider the Solution / Betrachte beispielsweise die Lösung This Functions is Zero for / Diese Funktion ist gleich null für Superposition of Modes to Ensure Boundary Conditions / Superposition von Moden zur Erfüllung von Randbedingungen: Each solution of the Laplace equation – eigen solution, mode – obtained by the separation of variables displays lines (surfaces) of vanishing potential. At these lines (surfaces) we could place a Dirichlet boundary with Φ e (x,y) = 0 V / Jede Lösung der Laplace-Gleichung – Eigenlösung, Mode –, die man über die Methode der Separation bestimmt, weist Linien (Flächen) mit dem Null-Potential auf. Auf diesen Linien (Flächen) kann man eine Dirichlet-Rand mit Φ e (x,y) = 0 V platzieren.

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...) then it follows / dann folgt We Set / Wir setzen: but / aber

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Superposition of Modes / ES Felder – Separation der Variablen – Superposition von Moden (...)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...) ?! Adjust die Coefficients A n, n = 1,2,…, in Order to Ensure the Inhomogeneous Dirichlet Boundary Condition Φ e (x,b) = U 0 at the Top Boundary. / Die Koeffizienten A n, n = 1,2,…, sind so zu bestimmen, dass die inhomogene Dirichlet-Randbedingung Φ e (x,b) = U 0 am oberen Rand erfüllt wird.

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...) 1. Determine / Bestimme 2. Multiply Both Sides with / Multipliziere beide Seiten mit Adjust die Coefficients A n, n = 1,2,…, in Order to Ensure the Inhomogeneous Dirichlet Boundary Condition Φ e (x,b) = U 0 at the Top Boundary. / Die Koeffizienten A n, n = 1,2,…, sind so zu bestimmen, dass die inhomogene Dirichlet-Randbedingung Φ e (x,b) = U 0 am oberen Rand erfüllt wird.

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...) 3. It Follows for m = n / Es folgt für m = n Kronecker Delta / Kronecker-Delta Orthogonal Eigenfunctions / Orthogonale Eigenfunktionen

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...) Solution / Lösung Infinite Series / Unendliche Reihe Complete Solution / Komplette Lösung with the Coefficients / mit den Koeffizienten

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...) nth Mode / n-ter Mode Modes / Moden Modes / Moden

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...) nth Mode / n-ter Mode Modes / Moden Modes / Moden

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...) Modes / Moden Modes / Moden

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – Kapazitätsabschwächer Movie / Film:

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – Kapazitätsabschwächer Induced Charge on the Output Electrode by Gauss' Integral Law with an Integration Surface Enclosing the Electrode. Width of the Electrode in the z Direction: w / Ladung ist negativ auf der unteren Platte

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – Kapazitätsabschwächer

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – Kapazitätsabschwächer

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – Kapazitätsabschwächer Frequency Dependent! / Frequenzabhängig! Signal Generator / Signalgenerator

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – Kapazitätsabschwächer nur der 1. Term bleibt übrig Untersuchen für d.h., für lineare Abhängigkeit

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – Kapazitätsabschwächer d.h., für lineare Abhängigkeit

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung End of the 10th Lecture / Ende der 10. Vorlesung