Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 30.01.2007 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603.

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1 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 30.01.2007 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein E-Mail: marklein@uni-kassel.demarklein@uni-kassel.de Tel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.tet.e-technik.uni-kassel.de URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlhttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

2 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 2 3.7 Spezielle Methoden der Feldberechnung (S. 178, CW, 9. Aufl.) 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178, CW, 9. Aufl.) Anordnungen Punktladung Linienladung Zylinderschalen Form der Äquipotenzial- flächen Kugelschalen Elektrische Feldstärke Elektrischer Feldstärkevektor Potenzial

3 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 3 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178, CW, 9. Aufl.) Materialisierung: Einbringen von Leitern (Material) auf Äquipotenzialflächen Potenzialflächen können durch Leiter ersetzt werden, der auf gleiches Potenzial gelegt ist, ohne dass das Feld dadurch verändert wird. Verfahren ist sinnvoll anwendbar dort, wo Felder analytisch berechenbar sind und aus den sich ergebenden Potenzialflächen technisch interessante Analogien ableiten lassen. Feld einer Punktladung mit Hohlkugel (Innen-/Außenschicht): Influenz von Ladungen Feld einer Kugelschale mit Positiver Gesamtladung +Q Feld einer Punktladung umgeben Von einer Kugelschale (Schirmung) mit negativer Gesamtladung -Q Bild 3.26. Prinzip der Materialisierung; Superposition Material zwischen den Ladungsschichten trennen führt zu einer Kugel mit Gesamtladung +Q (Gaußscher Satz) und identischem Feld zur Punktladung, Kugelinneres ist feldfrei. Zweite Kugel mit Punktladung +Q im Zentrum ist außen feldfrei (Schirmung!). Gedankenexperiment Das elektrische Feld einer Punktladung besitzt konzentrische Äquipotenzialflächen in Kugelform. Für jede beliebige Kugelfläche kann ohne Auswirkung auf das elektrische Feld eine Fläche aus elektrisch leitendenden Material eingefügt werden. Bei einer positiven Punkladung verteilen sich durch Influenz negative el. Ladungen auf der inneren Kugeloberfläche und positive el. Ladungen auf der äußeren Kugeloberfläche gleichmäßig auf der Kugelschale.

4 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 4 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178, CW, 9. Aufl.) Weitere Beobachtungen (qualitativ): - Feldlinien des el. Feldes stehen senkrecht auf den Äquipotenzialflächen wo das el. Potenzial konstant ist - Damit verschwindet die Tangentialkomponente der Feldstärke auf der Oberfläche des el. Leiters (sonst Ladungsverschiebung durch Feldkräfte), d.h. Feldlinien des el. Feldes stehen senkrecht auf el. Leiter Feld einer Punktladung mit Hohlkugel (Innen-/Außenschicht): Influenz von Ladungen Feld einer Kugelschale mit Positiver Gesamtladung +Q Feld einer Punktladung umgeben von einer Kugelschale (Schirmung) mit negativer Gesamtladung -Q Bild 3.26. Prinzip der Materialisierung; Superposition

5 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 5 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178, CW, 9. Aufl.) Doppelleitung Vorgaben: - Leiter sehr dünn mit Radius ρ 0 - Abstand der Leiter ist d Bild 3.27. Feld zweier Linienladungen entgegen gesetzten Vorzeichens; Doppelleitung (vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.27, S. 179)

6 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 6 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178, CW, 9. Aufl.) Doppelleitung: Potenzial der Doppelleitung als Überlagerung der Potenziale zweier Linienladungen, mit unterschiedlichem Vorzeichen im Aufpunkt und mit den Radien zu den Ladungen. (3.37) Aus dem Feldbild entsprechend dem Prinzip der Materialisierung - Äquipotenziallinien und E-Feldlinien sind Kreise (aus der Geometrie: Satz von Apollonius) - Mittelpunkt wandert zwar, kann aber für kleine Radien als konzentrisch zur Linienladung angenähert werden

7 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 7 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178, CW, 9. Aufl.) Doppelleitung mit den Linienladungen +λ, -λ

8 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 8 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 179, CW, 9. Aufl.) Doppelleitung: Kapazitätsbelag Ausgehend von zwei Linienladungen, Potenziale auf den Oberflächen noch unbekannt: Potenzial auf Hülle des linken Leiters Potenzial auf Hülle des rechten Leiters für Kapazitätsbelag dieser Ladungsanordnung: für Auswertung von

9 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 9 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 179/180, CW, 9. Aufl.) Doppelleitung: Kapazitätsbelag für Kapazitätsbelag dieser Ladungsanordnung: (3.38)

10 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 10 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 180, CW, 9. Aufl.) Feld zweier Linienladungen gleichen Vorzeichens Zwei sehr lange Linienladungen gleicher Größe und gleichen Vorzeichens: Materialisierung: Potenzialflächen können durch Leiter ersetzt werden, der auf gleiches Potenzial gelegt ist, ohne dass das Feld dadurch verändert wird: hier: Doppelleitung Feldbild dazu: Bild 3.28. Feld zweier Linienladungen gleichen Vorzeichens; (Feldlinien - - - -, Potenziallinien -----) (vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.28, S. 180) vergrößert

11 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 11 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178, CW, 9. Aufl.) Doppelleitung mit den Linienladungen +λ, +λ

12 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 12 Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 180, CW, 9. Aufl.) Bild 3.29. Bündelleiter, bestehend aus zwei Doppelleitungen Der Abstand zwischen ist jeweils a ! Gegeben: Bündelleitung mit Achsabstand a, Leiterradius ; Linienladungen Leiterabstand D und Radius der Doppelleitung Bild 3.29. Doppelleitung, bestehend aus zwei Leiterbündeln (vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.29, S. 181) Leiterbündel Doppelleitung

13 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 13 Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 180, CW, 9. Aufl.) Für einzelne Doppelleitung gilt nach Gl. (3.38) Potenzial der Bündelleitung aus Überlagerung der Potenzialfunktion zweier Doppelleitungen nach Gl. (3.37) Allgemein im Aufpunkt P : Gesucht:Kapazitätsbelag der Bündelleitung? Lösung: Bündelleitung -> 2 Doppelleitungen: (1) und (2)

14 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 14 3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178, CW, 9. Aufl.) Bündelleitung aus zwei Doppelleitungen mit den Linienladungen +λ, +λ, -λ, -λ

15 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 15 Feldverteilung der Doppelleitung +λ, -λ, Doppelleitung +λ, +λ, und des Bündelleiters +λ, +λ, -λ, -λ Doppelleitung +λ, -λ Doppelleitung +λ, +λ Bündelleiter +λ, +λ, -λ, -λ

16 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 16 Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 180, CW, 9. Aufl.) Für (Leiter links) gilt Allgemein im Aufpunkt P : Für (Leiter rechts) gilt Kapazitätsbelag 2 λ, da 2 el. Linienladungen

17 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 17 Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 180, CW, 9. Aufl.) Bild 3.29. Doppelleitung, bestehend aus zwei Leiterbündeln (vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.29, S. 181) Für (Leiter links) gilt Leiter links:

18 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 18 Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 180, CW, 9. Aufl.) Für (Leiter rechts) gilt Bild 3.29. Doppelleitung, bestehend aus zwei Leiterbündeln (vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.29, S. 181) Leiter rechts:

19 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 19 Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 181, CW, 9. Aufl.) Da Potenzial pro Bündel per Schaltungszwang identisch, ist gleichgültig, auf welchen Leiter der Aufpunkt gelegt wird (Symmetrie in ) Ladung pro Elektrode ist Kapazitätsbelag mit

20 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 20 Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 181, CW, 9. Aufl.) Lösung: Durch Vergleich Damit folgt Doppelleitung Bündelleitung a) ρ 0 so bestimmen, dass Kapazität von Bündel- und Doppelleitung gleich sind!

21 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 21 Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 181, CW, 9. Aufl.) b) Feldstärke an der Oberfläche, also im Abstand r 0 von der Achse eines Leiters? Lösung Feldverlauf an der Leiteroberfläche ist bei beiden Anordnungen wie beim Einzelleiter, erst mit größerem Abstand nimmt der Einfluss der Nachbarleiter zu. Beim Einzelleiter gilt nach Gl. (3.26) Kapazitätsbelag der DL Da Kapazität aus zwei Leitern gebildet wird, und λ die Ladung auf einem Leiter beschreibt, gilt hier analog für den Bündelleiter: Kapazitätsbelag der BL

22 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 22 Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 181, CW, 9. Aufl.) c) Wie verhalten sich die Oberflächenfeldstärken bei gleichem Materialaufwand? mit den Zahlenwerten folgt Effektive Leiterquerschnitte müssen gleich sein: Lösung: Fläche eines Leiters der Doppelleitung Fläche zweier Leiter der Bündelleitung

23 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 23 3.7.2 Die Kästchenmethode (S. 183, CW, 9. Aufl.) Feldlinien und Äquipotenziallinien bekannt -> Kapazität bekannt Bild 3.28. Feld zweier Linienladungen gleichen Vorzeichens; (Feldlinien - - - -, Potenziallinien -----) (vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.28, S. 180)

24 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 24 3.7.2 Die Kästchenmethode (S. 183, CW, 9. Aufl.) Serienschaltung von Kapazitäten Plattenkondensator Quadratische Kästchen

25 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 25 3.7.2 Die Kästchenmethode (S. 183, CW, 9. Aufl.) Beliebiger zweidimensionaler Fall: Kästchenmethode Weitere Methoden (höhere Semester): - Elektromagnetische Feldtheorie I / II / III (teilweise angeboten von Dr.-Ing. R. Marklein) - Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I / II (angeboten von Dr.-Ing. R. Marklein) -> Computational Electromagnetics

26 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 26 Ende der Vorlesung