Trigonometrie Mathe mit Geonext

Hintergrund Griechisch: - trigonon = Dreieck - metron = Maß Die Trigonometrie ist ein wichtiges Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik.

Hintergrund Warum nimmt das Dreieck in der Geometrie so eine wichtige Rolle ein?

Hintergrund Aus Dreiecken lassen sich beliebige Vielecke zusammensetzen Somit kann man Berechnungen an beliebigen Vielecken oft auf Dreiecksberechnungen zurückführen

Einstieg In der Realschule werden geometrische Probleme vorwiegend zeichnerisch bzw. durch Konstruktion gelöst.

Einstieg Konstruktion eines Dreiecks: Welche Bestimmungsstücke gibt es? Wie viele werden zur Konstruktion eines Dreiecks benötigt?

Einstieg Kongruenzsätze: Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie, in den drei Seiten (sss-Satz = Seiten-Seite-Seiten-Satz), oder in einer Seite und zwei Winkeln (wsw = Winkel-Seiten-Winkel-Satz und sww = Seite-Winkel-Winkel-Satz), oder

Einstieg in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws = Seiten-Winkel-Seiten-Satz), oder in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (Ssw = Große-Seite-Kleine-Seite-Winkel-Satz) übereinstimmen.

Einstieg Es gibt vier Ähnlichkeitssätze: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. (W:W-Satz) Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz)

Einstieg Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz) Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. (S:s:W-Satz)

Einstieg Bis zur 10.Klasse werden in der Realschule geometrische Probleme hauptsächlich graphisch gelöst . Darunter leidet aber die Genauigkeit der Ergebnisse.

Einstieg Mess- und Zeichengenauigkeit bei Strecken und Winkeln: Strecken: höchstens 0,5mm Winkel: höchstens 0,5°

Einstieg

Tangens 

rechtwinkliges Dreieck

Tangens Definition: In einem Dreieck mit γ = 90° gilt:

??? Aufgabe: An einer Passstraße steht ein Schild an dem du die Höhe von 1300m gegenüber NN ablesen kannst. Auf dem Tacho hast du abgelesen, dass du 1500m weit gefahren bist. Du willst wissen unter welchem Winkel du bergauf gefahren bist! Selbst bist du bei einer Höhe von 1000m gegenüber NN gestartet.

Sinus

Sinus Definition: Im rechwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt:

??? Aufgabe: Auf einer Landkarte erkennst du, dass eine Straße eine Steigung von 18% besitzt. Mit deinem Lineal misst du die Strecke zwischen Start- und Zielpunkt. Durch maßstabsgetreues Umrechnen kommst du auf eine Weglänge von 4,8 km. Welche Strecke musst du tatsächlich fahren, um am Ziel anzukommen?

Kosinus

Kosinus Definition: Im rechtwinkligen Dreieck mit γ= 90° gilt:

Fazit Fehlende Bestimmungsstücke können berechnet werden Man kann geometrische Probleme nicht nur konstruktiv, sondern auch algebraisch lösen Die algebraische Lösung ist genau

Aber: Bis jetzt haben wir nur ein ganz bestimmtes Dreieck betrachtet! Das rechtwinklige Dreieck

Was gilt für beliebige Dreiecke?

??? Aufgabe: Zu den wichtigsten Vorhaben der Chemnitzer Verkehrskonzeptes gehört der Neubau einer Straßenbahntrasse vom Zentrum in das größte Wohngebiet der Stadt. Bei der Planung werden die Maße der bisherigen Streckenführung benutzt. Berechne die Länge der neuen Straßenbahntrasse, die vereinfacht als geradlinig angenommen werden darf.

Lösung

Lösung

Lösung

Sinussatz Für beliebige Dreiecke gilt der Sinussatz:

Einschub Der Satz von Pythagoras: Gilt nur für rechtwinklige Dreiecke!

Wir suchen aber Beziehungen für beliebige Dreiecke.

Kosinussatz Für jedes beliebige Dreieck gilt der Kosinussatz: