K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) 6.Kapitel: Methode der kleinsten Quadrate anderes wichtiges Verfahren zur Parameterschätzung Problemstellung: - N unabhängige gaussverteilte Zufallsvariablen yi, i=1,…,N - Jedes yi bezieht sich auf ein anderes (exakt bekanntes) xi Jedes yi hat unbekannten Mittelwert I Jedes yi hat bekannte Varianz i2 I vorhergesagt durch Funktion (x;) Aufgabe: schätze  (x;) x yii K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte, genau diesen Satz (y1,…,yN) zu messen: Bestimme : Maximiere Log-Likelihood-Funktion: Identisch zur Aufgabe zu minimieren. Methode der kleinsten Quadrate Verfahren wird verallgemeinert auf beliebige (auch nicht-gaussische) Verteilungen K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Korrelierte yi mit bekannter Kovarianzmatrix Vij: Wichtiger Spezialfall: „Lineare kleinste Quadrate“: kann mit kleinsten Quadraten analytisch gelöst werden - Die LS (least square)-Schätzer sind verzerrungsfrei! haben minimale Varianz (im Sinne der RCF-Grenze) Schreibe: Dann ist Minimum bei: Lösung: wenn exisitiert K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Kovarianzmatrix: ergibt sich als Es gilt: also wird die RCF-Grenze erreicht für gaussverteilte Variablen Da  linear in  ist 2 quadratisch in . Die Hyperfläche beschreibt ein Ellipsoid mit Tangenten K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Beispiel: Geradenanpassung y yii (x;m,c) = mx + c x Annahmen: yi statistisch unabhängig, Fehler i gesucht: wenn alle i =  K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Varianzen: Kovarianz: Fehler für beliebigen Punkt auf der Garaden K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Fehler auf x und y: Rezept: skaliere x,y so, dass x=y minimiere y hi Funktioniert nur für Geraden und wenn alle i gleich x Sonst: ML-Methode: Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Punkt auf der Geraden den Messwert i ergibt ausrechnen K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Fehler auf x und y: Rezept: skaliere x,y so, dass x=y minimiere y hi Funktioniert nur für Geraden und wenn alle i gleich x Sonst: ML-Methode: Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Punkt auf der Geraden den Messwert i ergibt ausrechnen K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05