6. Grundlegende Gleichungen Umweltmeteorologie Prof. Dr. Otto Klemm 6. Grundlegende Gleichungen Prof. Dr. Otto Klemm

Ideale Gasgleichung (Zustandsgleichung) Rd = 287.04 J kg-1 K-1

I. Hauptsatz der Thermodynamik (Erhaltung von Wärme)

Navier - Stokes – Gleichung (Erhaltung von Impuls) = Druckgradient- beschleunigung Erdbeschleunigung Reibung Coriolis

X Navier - Stokes - Gleichung Sonderformen: statische Atmosphäre es findet keine horizontale Bewegung statt = Druckgradient- beschleunigung Erdbeschleunigung Reibung Coriolis

Kontinuitätsgleichung (Erhaltung von Masse) Masse bleibt erhalten vereinfachte Schreibweise: Für mikro- und mesoskalige Prozesse kann gezeigt werden, dass gilt: Dichtefluktuationen werden häufig vernachlässigt.

Kontinuitätsgleichung (Erhaltung von Masse) Das Konzept gilt grundsätzlich auch z.B. für Spurengase: Allerdings müssen zusätzlich diffusiver Transport (i.d.R. turbulent!) und mögliche Senken und Quellen (z.B. chemische Reaktionen) berücksichtigt werden Änderung einer Konzentration Quellen und Senken Advektionsterm Reibung hier kommt Turbulenz in´s Spiel!

Kontinuitätsgleichung (Erhaltung von Masse) Es gilt: Schubspannung µ ist die dynamische Zähigkeit in der Dimension eines Diffusionskoeffizienten

Kontinuitätsgleichung (Erhaltung von Masse) Nun zerlegen wir diese Gleichung in ihre mittleren und turbulenten Terme: nach Bildung des zeitlichen Mittels, Reynolds-Zerlegung, und mit folgt:

„Schließung“ Diese Bilanzgleichung (oder analoge Gleichungen für Wärme, Impuls, u.a.) enthält eine Kovarianz. Die Kovarianz nennt man in diesem Zusammenhang ein statistisches Moment. Wenn wir dieses analytisch lösen wollen, erhalten wir eine Reihe weiterer statistischer Momente in der Form Die Gleichung ist i.d.R. nicht analytisch lösbar. Nun kann man entweder die Kovarianz messen (Eddy-Kovarianz-Verfahren) oder man prognostiziert / parameterisiert sie. Einige Hilfsmittel für prognostische Verfahren haben wir bereits kennen gelernt.

„Schließung“ Mit Schließung bezeichnet man das Verfahren, wie man das Gleichungssystem löst. Eine Schließung erster Ordnung z.B. erhält die Momente erster Ordnung usw. Es wird zum Beispiel prognostiziert. Dies resultiert bereits in 3 Gleichungen mit 6 Unbekannten. Eine Schließung nullter Ordnung enthält keine Prognosevariable, d.h. der Wind oder Konzentrationen werden direkt parameterisiert.

„Schließung“ Schließungen wurden bis zur dritten Ordnung realisiert. Es gibt auch Schließungen z.B. 1.5-facher (oder 2.5-facher) Ordnung. Hier wird ein Teil der Momente erster Ordnung beibehalten (z.B. nur für die vertikale Richtung). Zusätzlich kann man die Schließungs-Ansätze in lokale und nicht-lokale einteilen. Lokale Schließung bedeutet, dass eine Unbekannte (z.B. eine Kovarianz) an einem Punkt gelöst wird und das Ergebnis auf den Raum extrapoliert wird. Die Eigenschaften der Turbulenz ändern sich also nicht im Raum.

„Schließung“ Eine sehr weit verbreitet angewandte Schließungstechnik schließt diese Parameterisierung ein (erste Ordnung, lokale Schließung): statt der Konzentration C kann jedes andere Skalar verwendet werden wie z.B. Temperatur, Impuls, etc. K hat die Einheit m2 s-1 K: „turbulenter Diffusionskoeffizient“, „Austauschkoeffizient“, „eddy diffusivity“, K wird analog zum molekularen Diffusionskoeffizienten in Formulierungen wie den Fickschen Gesetzen angewandt. Aber Vorsicht: K ist keine Konstante ! Die Diffusionstheorie ist komplett unterschiedlich! Es gibt erhebliche Einschränkungen !

„Schließung“ Für K gibt eine große Anzahl an Parameterisierungen. Z.B. für eine neutral geschichtete Grenzschicht: K wird häufig gleich angenommen für unterschiedliche Skalare. Ausnahme, z.B.: