Kriging & al. Ralf Lindau Seminar – 5. Juli 2010

Projekte OMDI 1 : Optimal merging of water vapour retrievals from different instruments NNW-Kriging von AMSU (NOAA-15 -16)und SSM/I (F13,14,15) OMDI 2 : Modification and implementation of the Kriging software at DWD computers GRAS : Climate Monitoring using GRAS-SAF data within CM-SAF GNSS (GlobNavSatSys) Receiver for Atmosphereic Sounding. Champ limp sounding Geringe Beobachtungsdichte weil jeweils zwei Satelliten notwendig sind Tägliches Kriging schwierig, Match-up Differenzen Umrechnung von zeitlichen und räumlichen Differenzen OMDI 3 : Optimierte Bestimmung von korrelierten Fehlern in Wasserdampfschätzungen aus Satellitendaten Berücksichtigung horizontaler Fehlerkovarianzen in der Kovarianzmatrix beim Kriging OMDI 4 : Kriging of Layered Precipitable Water with known input errors Bisher: Inputfehler statistisch abgeleitet. Jetzt: Gegebene Satellitenfehler nutzen. Bisher: Erst LPW integrieren, dann TPW kriggen Jetzt: Erst LPW kriggen, dann integrieren Seminar – 5. Juli 2010

Kriging-Ansatz Es gibt n Beobachtungen xi an den Orten Pi. Mache eine Vorhersage x0 für den Ort P0 . Konstruiere die Vorhersage aus einem gewichteten Mittel der Beobachtungen xi. Berücksichtige dabei die Fehler Dxi. Bestimme die Gewichte li. Seminar – 5. Juli 2010

Matrix und Input Korrelationslänge Var / n Seminar – 5. Juli 2010

Varianzzerlegung Seminar – 5. Juli 2010

Datenunabhängigkeit Wenn Daten unabhängig sind, gibt Varianz / n den Fehler des Mittelwertes. Alternativ: Bilde nu Unterkollektive und betrachte die Varianz der Mittelwerte dieser Unterkollektive Varu. Falls die ursprünglichen n Werte wirklich unabhängig waren, bleibt Varianz / n erhalten. Var / n = Varu / nu Seminar – 5. Juli 2010

Erhaltung von Var/n Fasse jeweils zwei Beobachtungen zu einem Mittelwert zusammen. Wieviel Varianz wird dadurch zerstört? Wenn die Unterkollektivmitglieder unabhängig sind, wird die Hälfte der Varianz herausgemittelt, die andere Hälfte bleibt also erhalten. Und die Beobachtungsanzahl hat sich auch halbiert. Sind die Beobachtung dagegen abhängig, wird weniger Varianz als die Hälfte zerstört und mehr als die Hälfte erhalten. Var / n wächst. Die Daten sind also fehlerhafter als es zunächst schien. Seminar – 5. Juli 2010

Die fünf Satelliten (2 AMSU, 3 SSM/I) sind unabhängig. Varianz mm2 weggemittelt + innere 0.00 + 6.77 4.39 + 2.38 6.12 + 0.65 „Unabhängige“ 81 5 2 Fehler 0.09 0.60 0.65 Die fünf Satelliten (2 AMSU, 3 SSM/I) sind unabhängig. Die einzelnen Pixel nicht. Seminar – 5. Juli 2010

OMDI 3 Fehlerkovarianzen z.B. [Dx1 Dx2] verschwinden bei unabhängigen Daten. Satellitendaten sind nicht unabhängig, denn sie beruhen auf einem einzigen Retrieval. Überschätzt das Retrieval an einem Ort, so neigt es auch in der Nachbarschaft zur Überschätzung, weil die physikalischen Bedingungen ähnlich (schwierig) sind. Zur Bestimmung der Fehlerkovarianzen benötigt man zwei unabhängige Satelliten.  Seminar – 5. Juli 2010

Fehlerkovarianz D = ((x1 + Dx1) – (x2 + Dx2))2 D = 2 Var – 2 Cov + Err1 + Err2 - 2 ErrCov Seminar – 5. Juli 2010

Fehlerkovarianz D = ((x1 + Dx1) – (x2 + Dx2))2 D = 2 Var – 2 Cov + Err1 + Err2 - 2 ErrCov S = (x1 + Dx1)2 + (x2 + Dx2)2 S = 2 Var + Err1 + Err2 Seminar – 5. Juli 2010

Fehlerkovarianz D = ((x1 + Dx1) – (x2 + Dx2))2 D = 2 Var – 2 Cov + Err1 + Err2 - 2 ErrCov S = (x1 + Dx1)2 + (x2 + Dx2)2 S = 2 Var + Err1 + Err2 S – D = 2 Cov + 2 ErrCov Seminar – 5. Juli 2010

OMDI 4 Input Erst jede Schicht kriggen, dann integrieren. Wie lautet dann der Fehler des TPW? Zunächst: Einzelne Schichten kriggen. Z.B. Schicht 39 (940 hPa, 1. Januar 2008) Programm läuft (inklusive kleiner DWD Zusatzaufgaben: Datumsgrenzproblem) „In“ Gebirgen ist richtigerweise LPW = 0 Man kann also ohne Probleme über alle Schichten (bis nominell 1050 hPa) integrieren, ohne Fehler zu machen: Output Seminar – 5. Juli 2010

Vergleich sum(lpw) mit tpw Oben: Originaldaten Vergleich Integral(LPW) mit TPW des Satelliten Test, ob unsere Integrationsmethode, der des Satellitenalgorithmus entspricht. Widerspricht DWD Angaben, dass man nur bis zum Bodendruck integrieren darf. Unten: Gekriggte Daten 42 Schichten kriggen, dann integrieren. Vergleich Sum(Krig(LPW)) mit Krig(TPW) Seminar – 5. Juli 2010

Fehlerfortpflanzung FFF;-) Var/n: Definition Gesamtwasserdampfgehalt Die partiellen Ableitungen von w eingesetzt: FFF;-) Wenn alle Schichten gleiche Massen (dp) umfassten, gälte: Wenn alle Fehler gleich wären, gälte: Var/n: Seminar – 5. Juli 2010

Fehler für abhängige Schichten Jeweils zwei Schichten sind abhängig. Diese zwei Schichten sind gleich mächtig: Alle Schichten gleich mächtig: Alle fi=1 Alle qi gleich: n=2nu Seminar – 5. Juli 2010

Err(sum(krig(lpw))) sum(lpw) Quotient 1.4 mm tpw 2.8 mm Seminar – 5. Juli 2010

Fazit Diagnose: Der Fehler von sum(lpw) wird um den Faktor 2 bis 3 unterschätzt. Grund: die 42 Schichten sind eben nicht unabhängig. Interpretation des Faktors: Die wahre vertikale Auflösung ist um den Faktor 4 bis 9 kleiner als die nominelle (42 Schichten) Seminar – 5. Juli 2010