11. Grundlagen der Quantenmechanik Klassische Mechnik Quantenmechanik Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion Komplexwertig Y(r,t) Evolutions gleichung Hamilton Gleichungen Schrödingergleichung Mess grössen Operatoren Funktionen von r,p Mögliche Messwerte: Eigenwerte

Komplexwertige Wellenfunktion Y(x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Wiederholung komplexe Zahlen: Imaginärteil Realteil x wt Beobachtbar: Vektorlänge Unsichtbar: Rotation mit t

Komplexwertige Wellenfunktion Y(x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: Y(x)=Aeikx + B e-ikx löst: Mit Zeitabhängigkeit:

Darstellung einer Ebenen Welle im Ort Realteil Imaginärteil Y(x) = eikx = sin(x) + i cos(x) -> |Y(x)|2 = const. = 1 Alternative Darstellung: Farbkodierung der komplexen Zahlen |Y(x)|2 = const. = 1 Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html

Aufbau eines Wellenpaketes Y(x) = å eikx d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion

Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten V(x)= 0 für 0·x¸L 1 sonst Y(x)=Aeikx + B e-ikx Y(x·0)=Y(x¸L)=0 Randbedingung 1 Rand- bedingung 2 Y(x=0) = 0 ) A+B=0 ) Y(x)=A(eikx - e-ikx)=2iA sin(kx) Y(x=L) = 2iA sin(kL) = 0 ) kL= np (n=1,2,3 ...) Quantenzahlen n Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: Unschärfe Relation Ort/Impuls k= np/L (n=1,2,3 ...) Nullpunktsenergie Woher kommt die Quantisierung?? Zeitentwicklung der Zustände? hängt von En (n2) ab! Mögliche Energienivieaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

Aufenthaltswahrscheinlichkeit Real Imaginärteil Aufenthaltswahrscheinlichkeit http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/stationary.html

Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: Unschärfe Relation Ort/Impuls k= np/L (n=1,2,3 ...) Nullpunktsenergie Woher kommt die Quantisierung?? Zeitentwicklung der Zustände? 5) Was passiert wenn man andere Energie, Wellenfunktion erzwingt? z.B. Barriere aufziehen? Mögliche Energienivieaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

Teilchen in 2 dim Potentialtopf (kx , ky) = (0.86 , 0.5) (sx , sy) = (2l , 2l)        http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm

Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT??

Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) Stationäre Schrödingergleichung x E(x) (II) Bereich (II): (I) Bereich (I): V(x)=0 ) 11.4. Potentialstufe YI(x)=A eikx + B e-ikx E0 a2 YII(x)=C eiax + D e-iax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)

Stationäre Schrödingergleichung (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung 11.4. Potentialstufe x E(x) E0 Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): a2 YII(x)=C eiax + D e-iax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) Fall a) E<E0 ik+a ik-a a reel ) C=0 weil sonst YII(x!1) divergiert C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-a (A+B) ) Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

Stationäre Schrödingergleichung x E(x) 11.4. Potentialstufe (I) (II) Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx E0 Bereich (II): a2 YII(x)=C eiax + D e-iax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) Potentialwall reflektiert vollständig Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) Energieerhaltung??? D E D t > ~ ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) Fall a) E<E0 ik+a ik-a a reel ) C=0 weil sonst YII(x!1) divergiert C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-a (A+B) ) Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

Stationäre Schrödingergleichung x E(x) 11.4. Potentialstufe (I) (II) Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx E0 Bereich (II): a2 YII(x)=C eiax + D e-iax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) Fall b) E>E0 klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter

Stationäre Schrödingergleichung (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung 11.4. Potentialstufe x E(x) E0 Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): a2 YII(x)=C eiax + D e-iax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) Fall b) E>E0 YII(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

Stationäre Schrödingergleichung x E(x) 11.4. Potentialstufe (I) (II) |D|2 Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx |A|2 E0 Bereich (II): a2 |B|2 YII(x)=C eiax + D e-iax Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0) Wellenfunktion YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) Fall b) E>E0 YII(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) Stationäre Schrödingergleichung x E(x) 11.4. Potentialstufe (I) (II) |D|2 Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx |A|2 E0 Bereich (II): a2 |B|2 YII(x)=C eiax + D e-iax Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0) Wellenfunktion Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)

Wellenpaket, Potentialstufe Klassisches Teilchen würde mit 1/2Ekin weiterlaufen! Ort E = ½ Ekin Impuls + auf Stufe zu - reflektiert

Wellenpaket, Potentialstufe BERGAB! Klassisches Teilchen würde beschleunigt weiterlaufen!

Potentialstufe in 2 Dimensionen Farbcode: Farbe: Phase Sättigung: Amplitude

Idee: kann man die Welle “freisetzen”?? Stationäre Schrödingergleichung 11.5. Tunneleffekt x E(x) (I) (II) E0 Idee: kann man die Welle “freisetzen”??

Stationäre Schrödingergleichung 11.5. Tunneleffekt (I) (II) (III) x a E0 YI(x)=A eikx + B e-ikx YII(x)=C eiax + D e-iax YIII(x)=A‘ eikx Randbedingungen: YI(0)=YII(0) , YII(a)=YIII(a) Höhe 0.3eV, Breite 1nm Transmissionskoeffizient (E<E0) für aa >>1 (dicke Barriere)

Makroskopisch irrelevant Transmission hängt ab von: Barrierenhöhe (Exponentiell) Barrierenbreite Masse Makroskopisch irrelevant

Wie lange braucht das Teilchen? Ekin<E Fragen: Energieerhaltung ??? Wie lange braucht das Teilchen?

Wellenfunktion und Transmission als Funktion der Barrierenhöhe (I) (II) (III) x E0 a

Tunneln eines Wellenpaketes Überhöht V = 2E, d = l     http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/tunnel.htm#Potential%20barrier

Tunnels eines Gauss Wellenpaketes im Ortsraum Mittlere Energie des Wellenpaketes

Orts und Impulsraum:

Mittlere Energie nahe an Schwellenhöhe Durch Mehrfachreflexionen wird ein Teil der Wellenfunktion für einige Zeit unter der Barriere gefangen