Deformierbare Medien Ideales Gas: Volumenänderung bei kleinem Kraftaufwand möglich. Formänderung ohne Arbeit Ideale Flüssigkeit: Keine Volumenänderung (inkompressibel) Formänderung ohne Arbeit (reale Flüssigkeit: innere Reibung, Oberflächenkräfte) Fester Körper Volumenänderung erfordert (große) Kraft Formänderung unter Kraftwirkung. Extreme: a) elastische Verformung, b) plastische Formänderung. Auch Zwischenformen!

Deformierbare feste Körper Es gibt verschiedene Klassen von Formänderungen:

Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft Dehnungselastizität Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft

Dehnung – Hookesches Gesetz Formel SI Einheit Anmerkung 1 N / m2 Dehnung E Elastizitätsmodul 1 Dehnung, relative Längen Änderung Normalspannung (Kraft / Angriffsfläche)

Beispiele für Elastizitätsmoduli Formel Einheit Erläuterung Spannung 1 Dehnung, relative Längenänderung Elastizitätsmodul, Beispiele: Material Fe Al Glas Holz (Esche) Gummi

Voraussetzung: Das „Hookesches Gesetz“ gelte im Material sowohl bei Dehnung als auch bei Verdichtung

Die Poisson-Zahl Wird das Material verlängert, dann wird sein Durchmesser kleiner, weil das Volumen annähernd konstant bleibt. Das Verhältnis der relativen Änderungen des Durchmessers und der Länge heißt Faktor der Querkontraktion oder Poisson-Zahl. Sie liegt zwischen 0,2 und 0,5.

Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft Die Poisson-Zahl Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft ist die Poisson-Zahl,

Spannung und Dehnung

Elastizitätsmodul Bis zum Punkt A ist die Zugspannung proportional zur Dehnung (Hooksches Gesetz) Elastizitätsmodul E Einheit: Druck, Zugspannung, Elastizitätsmodul: N/m2 (=Pa Pascal) (!) Typische Werte für E: Stahl: (100-200)*109 N/m2 Blei: 20*109 N/m2

Spannungs-Dehnungs-Diagramme

E-Modul und Zugfestigkeit

Scherspannung Das Verhältnis der Scherkraft Fs zur Fläche A heißt Scherspannung Scherwinkel Für kleine Scherwinkel ist die Scherspannung proportional zur Scherung: Schub- oder Torsionsmodul G: Beispiele: Gal=30 GNm-2, Gfe=70 GNm-2, Gstahl=84 GNm-2, GStahl==150 GNm-2

Torsion eines Drahts Die Schubspannung bei einem beliebigen Torsionswinkel beträgt: Flächenelement dA eines Hohlzylinders Die rücktreibende Tangentialkraft ist Entspechend gilt für das rücktreibende Drehmoment Integration liefert das Drehmoment

Festkörper und Flüssigkeiten Die atomaren Baugruppen liegen in beiden Aggregatzuständen auf Kontakt – deshalb ist die Dichte eines Materials in beiden Aggregatzuständen praktisch gleich Aber: Flüssigkeiten sind gegen Scherung bzw. Torsion instabil Flüssig Fest

Druck in Flüssigkeiten Im Unterschied zum Festkörper kann eine Flüssigkeit keine Scherspannung aufbauen (der Schubmodul ist 0) Flüssigkeiten können Behälter beliebiger Form ausfüllen Taucht man einen Körper in eine Flüssigkeit, so wirken Kräfte auf die Oberfläche des Körpers. Flüssigkeiten üben auch Kräfte auf die Behälterwände aus. Gestaltsänderung

Druck auf eine Flüssigkeit oder einen Festkörper Druck p 1 Kraft F 0,5 Volumenänderung ΔV Volumen V

Kompression: Formveränderung durch Druck auf Festkörper und Flüssigkeiten Einheit 1 Die relative Änderung des Volumens –ΔV/V ist proportional zum Druck p K 1/Pa Kompressionsmodul

Kompressionsmodul einiger Materialien Einheit Kompressionsmodul K Wasser 1 Pa Benzol Kupfer

Kompressibilität: Beispiele

Kompressibilität Das Verhältnis von Druck zur relativen Volumenänderung heißt Kompessionsmodul K Der Kehrwert des Kompressionsmoduls heißt Kompressibilität Bei Flüssigkeiten ist die Kompressibilität meist so klein, daß schon geringe Volumenänderungeen eine sehr große Druckänderung bewirken. Einige Werte für Kompressibilitäten: H2O: k=5*10-10 Pa-1 Benzol: k=1*10-9 Pa-1

Hydraulische Kraftverstärkung Druck p 1 Kraft F2 0,5 Fläche A2 Kraft F1 Fläche A1 Der Druck in diesem statischen System ist überall der gleiche

Hydraulische Kraftverstärkung Einheit 1 Pa Konstanter Druck im System 1 N Kraft an der Fläche 2

Hydraulische Presse Für ‘masselose’ Flüssigkeit ist der Druck an jedem Ort in der Flüssigkeit von der gleichen Größe, d.h. p=konst. Werden die Flächen A1 , A2 um die Strecken a1 , a2 verschoben, so ist die gegen bzw. mit der Kraft geleistete (W1) bzw. gewonnene (W2) Arbeit und es gilt dh. der Gewinn/Verlust an Arbeit ergibt sich als Produkt von Flüssigkeitsdruck und Volumenänderung. Das gilt für den Fall, daß die Flüssigkeit inkompressibel ist.

Flüssigkeiten unter dem Einfluß der Gravitationskraft Die Masse der Flüssigkeits säule mit Grundfläche A und Höhe H ist Die Gewichtskraft beträgt Die Kraft durch die gesamte Säule ist (p0=äußerer Druck) Der Druck am Boden der Säule ist Ändert man p0 so ist die Änderung überall in der Flüssigkeit gleich (Pascalsches Prinzip)

Flüssigkeitsmanometer

Flüssigkeitsbarometer

Bodendruck in Gefäßen

Bodendruck in Gefäßen (Erklärung)

Auftrieb

Die Auftriebskraft F(h1) h1 p(h1) h2 p(h2) F(h2) Drucke in Höhe der Ober- und Unterseite des Körper Kräfte auf die Ober- und Unterseite des Körpers Die Differenz dieser Kräfte ist die Auftriebskraft

Die Auftriebskraft 1 N Einheit Druckkraft auf die obere Fläche A in Tiefe h1 Druckkraft auf die untere Fläche A in Tiefe h2 Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die dem Volumen des eingetauchten Körpers entspricht

Bedingung fürs Schwimmen: ρK < ρFl Die Dichte des Körpers ist kleiner als die des Mediums: Die Auftriebskraft minus der Gewichtskraft beschleunigt den Körper nach oben

Bedingung fürs Schweben: ρK = ρFl Die Dichte des Körpers ist gleich der des Mediums: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft – es gibt keine beschleunigende Kraft

Bedingung fürs Sinken: ρK > ρFl Die Dichte des Körpers ist größer als die des Mediums: Die Gewichtskraft minus der Auftriebskraft beschleunigt den Körper nach unten

Kräfte an einem Körper

Auftriebsmethode nach Archimedes Heureka ??? Goldene Krone ??? Wiegen in Luft Archimedes 287-212 BC Hiero II, König von Syrakus 306-215 BC Wiegen in Wasser

Problem des Archimedes

Gesetz des Archimedes

Ideale stationäre Strömungen

Die Volumenstromstärke Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt Zeit dt 10 5 ds A dV

Die Volumenstromstärke Einheit 1 m3/s Volumenstromstärke A 1 m Querschnittsfläche des Rohres v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit Zeit dt 10 ds A 5 dV

Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Die Kontinuitätsgleichung besagt: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt Zeit dt 10 5

Die Kontinuitätsgleichung dV dV Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich

Die Kontinuitätsgleichung Einheit 1 m3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt 1 m3/s Division durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt

Der menschliche Blutkreislauf Wird die Kontinuitätsgleichung auf den menschlichen Blutkreislauf angewandt, so wird die geringe Fließgeschwindigkeit in den Kapillaren verständlich, ohne die lebensnotwendige Diffusionsvorgänge nicht in ausreichendem Maße stattfinden können. Der Durchmesser der Aorta beträgt ungefähr 2,3cm . In einer Minute strömen ungefähr 5 Liter Blut durch die Aorta strömen, so ergibt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von 20,8 cm · s-1. Geht man von einer Gesamtquerschnittsfläche der Kapillaren von 4800 cm2 aus, so erhält man eine mittlere Strömungsgeschwindigeit von 0,017 cm ·s-1.

Kontinuitätsgleichung

Der Bernoulli Effekt Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck Der Bernoulli-Effekt Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck

Versuch zur Bernoulli-Gleichung Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit: Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit

Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg Die Wege ds1 und ds2 werden in der Zeit dt zurückgelegt

Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen Volumen links Volumen rechts 1 J Kraft mal Weg Arbeit gegen den Druck A1 A2 Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt

Kontinuitätsgleichung beim Übergang Einheit 1 m3/s Kontinuitätsgleichung, v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten 1 m3 Konstante Volumina Zeit dt 10 A1 5 A2 Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich

Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen Volumen links Volumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren 1J A1 A2 Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller

Die „Überraschung“ der Bernoulli Gleichung Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten? A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird

…und um ein Volumen dV zu beschleunigen Volumen links Volumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung 1J Energieerhaltung dV dV Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt

Die Bernoulli-Gleichung 1 J Die Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt 1 Pa Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab p1, p2 Drucke in beiden Bereichen v1, v2 1m/s Geschwindigkeiten in beiden Bereichen ρ 1 kg/m3 Dichte des strömenden Mediums

Druckverteilung in Rohren

Druckverteilung in Rohren Zur Messung der Durchflussmenge in einem Rohr wird eine Verengungsstelle eingebaut und der Druckabfall gegenüber dem freien Rohr gemessen (Venturirohr) Wie groß ist der Wasserstrom (ρ = 1000 kg/m3), wenn bei einer Verengung von d1 = 80 mm auf d2 = 60 mm der Druck um 666.7 mbar absinkt?

Druckverteilung in Rohren Aus der Kontinuitätsgleichung folgt: Damit erhält man aus der Bernoulli-Gleichung Der Volumenstrom ist somit

Bernoulli-Gleichung

Energieänderungen

Energieänderungen

Energiebilanz

Bernoulli-Gleichung

Gesetz von Torricelli

Loch im Wassertank

Fragen zu deformierbaren Medien An einem 1m langen Stahldraht (E=1011N/m2) der Querschnittsfläche 1mm2 wird ein 1kg schweres Gewicht aufgehängt. Wie groß ist die Längenänderung? Welche Masse könnte man maximal an ein Stahlseil (Rm=520MNm-2) mit einem Durchmesser von 6mm hängen? Eine Kugel (Vkugel=10-7 m3) wird in eine mit Wasser (k=5*10-10 Pa-1) gefüllte Kiste (Vkiste=10-3 m3) geschossen. Wie groß ist die Druckänderung?