Die Schrödinger-Gleichung Zeitunabhängige (stationäre) Form -- harmonische Schwingungen Verwendet man, wenn V von der Zeit nicht abhängt E … Gesamtenergie des Systems Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger Geboren: 12.08.1887 in Wien Gestorben: 04.01.1961 in Wien
Die Schrödinger-Gleichung Zeitabhängige Form -- Wellengleichung
Formale Analogie zwischen der KM und QM
Lösung der Schrödinger-Gleichung Falls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung gelöst. Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung - Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen Die Wellenfunktion Y hat keine physikalische Bedeutung Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems.
Übung Analogie:
Harmonischer Oszillator
Harmonischer Oszillator mit Dämpfung
Harmonische Schwingungen A = B :
Gedämpfte Schwingungen
Keine Randbedingungen – alle Energien sind möglich Freies Elektron (V=0) E Energie-Spektrum Keine Randbedingungen – alle Energien sind möglich
Elektron im Potentialtopf (1D) V x a Energie-Spektrum E n 25C 5 16C 4 9C 3 4C 2 1C 1 Randbedingung ist vorhanden -- Energiespektrum ist diskret
Elektron im Potentialtopf (1D) Lösung für die Wellenfunktion y |y|2 x/a
Elektron im Potentialtopf (3D) Orthogonale Lösung
Wasserstoffatom Spherisch-symmetrisches Problem n=3 Lösung gibt es nur für: n=2 E1=-13.6 eV n=1
Wasserstoffähnliche Atome H, He+, Li++ (1 Elektron) Spektralserien des Wasserstoffs … Lyman … Balmer … Paschen … Brackett … Pfund
Spektralserien des Wasserstoffs Lyman (UV): n l (nm) 2 121,5 3 102,5 4 97,2 91,2 Balmer: n l (nm) 3 656,3 4 486,2 5 434,1 364,6 Paschen (IR): n l (mm) 4 1,875 5 1,282 6 1,094 0,820
Potentialbarriere (Tunnel-Effekt) Keine Randbedingung I II I II
Tunnel-Effekt Quanten-mechanischer Effekt Klassisch: nur yI (einfache Welle und ihre Reflexion) Anwendung Tunnel-Diode STM