K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) 3.Kapitel: Monte-Carlo-Methoden Wichtiges Werkzeug der Statistik 3.1 Zufallszahlengeneratoren eigentlich: Pseudozufallszahlen (Computer=deterministische Maschine) Gleichverteilte Zufallszahlen: z.B. linearer kongruenter Generator Ij = (a Ij-1 + c ) mod m uj = Ij / m Kriterien für Generatoren: - große Periode Gleichverteilung keine Korrelationen K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) 3.2 Generatoren für beliebige Verteilungen: Transformationsmethode U(0,1) : gleichförmige Verteilung f(x) : beliebige Verteilung f(x) dx = U(0,1)(u) du wenn Umkehrfunktion der kumulierten Verteilung f(x), F-1(u) bekannt ist, dann ist x = F-1(u) gemäß f(x) verteilt b) Rückweisungsmethode, ‘hit-or-miss’ würfele ui zwischen 0 und c > max(f) würfele xi zwischen xmin und xmax wenn ui < f(xi) akeptiere xi gehe nach 1. c) Verbesserte Rückweisungsmethode: wähle ui aus Fkt. die f annähert K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) 3.3. Monte-Carlo-Integration gesucht: ui gleichverteilt in [a,b] Varianz von IMC Varianz bestimmt dur ch Varianz von g Varianzreduzierte Methode: Importance sampling xi verteilt nach f(x), f(x) ähnlich wie g K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) Kapitel 4: Parameterschätzung (x1,…,xn) heißt Stichprobe einer Verteilung f(x) Stichprobenraum: alle möglichen Werte von (x1,…,xn) Stichprobenverteilung: fsample(x1,…,xn) = f(x1) … f(xn) Zentrales Problem: finde Eigenschaften von f(x) wenn man eine Stichprobe gemessen hat. Konstruiere Funktionen der xi um Eigenschaften von f zu schätzen Solche Funktionen heißen Schätzer (estimator) Bezeichung: ist ein Schätzer für (= wahrer Wert eines Parameters von f) K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) Kriterien für gute Schätzer: 1. Konsistenz: Im Grenzwert großer Stichproben (große n) tendiert gegen 2. Bias-Freiheit 3. Effizienz: Schätzer ist effizienter als ein anderer, wenn er einen kleineren ‘Mean Squared Error’ (MSE) hat, d.h. wenn kleiner ist. 4. Robustheit (gegenüber falschen Daten) 5. Einfachheit Bias (Verzerrung): Schätzer ist bias-frei (verzerrungsfrei) wenn b = 0 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05