Kapitel 5 Statistische Bewertung von Regressionsbezie-hungen

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1 Kapitel 5 Statistische Bewertung von Regressionsbezie-hungen

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Hackl, Einführung in die Ökonometrie

3 Einkommen und Konsum: Zuwachsraten
PCR_D4: Privater Konsum, real, Zuwachsrate PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real, Zuwachsrate 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Hackl, Einführung in die Ökonometrie

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

5 Dimensionen der Bewertung
Globale Bewertung: Kann das Modell den datengenerierenden Prozess der abhängigen Variablen als Ganzes erklären? Globale Kriterien: Bestimmtheitsmaß Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Logarithmierte Likelihoodfunktion Informationskriterien, zB Akaike‘s AIC-Kriterium Inferenz der Regressionsparameter t-Test F-Test ANOVA-Tafel Hackl, Einführung in die Ökonometrie

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Residuen y = Xb + u = Xb + e = ŷ + e Residuen: e = y - Xb = y – ŷ = y – X(X‘X)-1X‘y = y - Py = [I – X(X’X)-1X’]y = My P: Projektionsmatrix M: residuenerzeugende Matrix Hackl, Einführung in die Ökonometrie

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Konsumfunktion, Forts. Hackl, Einführung in die Ökonometrie

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Schätzer der Varianz s2 ist ein erwartungstreuer Schätzer Der ML-Schätzer unterschätzt; der Bias beträgt Hackl, Einführung in die Ökonometrie

9 Residuen: Eigenschaften
e = y - Xb = y – ŷ = My Eigenschaften (inhomogene Regression): iei = 0 Achtung! Diese Eigenschaften setzen eine inhomogene Regression voraus! Streuungszerlegung: Ergibt sich durch Dividieren durch n und Subtrahieren von Hackl, Einführung in die Ökonometrie

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Bestimmtheitsmaß Definition: Anteil der durch das Regressionsmodell erklärten Varianz (der Varianz der geschätzten Y) an der Gesamtvarianz der Beobachtungen von Y Anteil der Varianz der abhängigen Variablen, die durch das Modell erklärt wird oft in Prozenten angegeben Alternative Schreibweise Hackl, Einführung in die Ökonometrie

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
R2: Eigenschaften Wegen gilt: R2=1 bedeutet: ; alle Residuen sind Null! R2=0 bedeutet: alle Regressionskoeffizienten haben den Wert Null! R2 soll einen möglichst hohen Wert haben Einfache Regression: Multiple Regression: R2 kann durch Hinzufügen eines Regressors nicht kleiner werden! Achtung! Bei homogener Regression ist R2<0 möglich! Hackl, Einführung in die Ökonometrie

12 Beispiel: Konsumfunktion
Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

14 R2: Alternative Darstellung
Aus ergibt sich Es bedeuten: TSS: Gesamtvariation (total sum of squares) ESS: (durch die Regression) erklärte Variation (explained sum of squares) RSS: residuale (nicht erklärte) Variation (residual sum of squares) Wir können schreiben: TSS = y‘M0y, analog ESS, mit Hackl, Einführung in die Ökonometrie

15 Adjustiertes Bestimmtheitsmaß
Erweiterung eines Modells um einen Regressor: R2 wird größer Zunahme von R2 bedeutet nicht notwendigerweise, dass der neue Regressor zur Erklärung beiträgt! Adjustiertes Bestimmtheitsmaß: Gut zum Vergleichen von Modellen Bei großem n ist (n-1)/(n-k) ≈ 1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Andere Kriterien Meist Funktionen von se2 Logarithmierte Likelihoodfunktion Akaike‘s Informationskriterium Schwarz Informationskriterium Hackl, Einführung in die Ökonometrie

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

19 Bewertung der Parameter
Frage: Trägt der Regressor Xi zur Erklärung bei? Test von H0: bi = 0 gegen H1: bi>0 oder H1: bi≠0: (t-Test) Konfidenzintervall für bi Tragen alle Regressoren zur Erklärung bei? Test von H0: b2 = … =bk (F-Test) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
t-Test Verteilung der OLS-Schätzer b: Für den Schätzer bi gilt: mit dem i-ten Diagonalelement aii aus (X‘X)-1 s√(aii) bzw. s√(aii) heißt Standardfehler von bi Test von H0: bi=0 gegen H1: bi≠0: Entscheidung mittels p-Wert: Hackl, Einführung in die Ökonometrie

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
F-Test Test von H0: b1=…= bk gegen H1: H0 trifft nicht zu F ist exakt oder näherungsweise verteilt nach F(k-1, n-k) Entscheidung mittels p-Wert Hackl, Einführung in die Ökonometrie

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
Konsumfunktion p-Wert = P{F > | H0} F-Statistik Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

24 Konfidenzintervall für bi
KI zur Konfidenzzahl g mit Perzentil der t(n-k)- oder der Normalverteilung Beispiel: Konsumfunktion C = a + bY + u 95%iges Konfidenzintervall für marginale Konsumneigung b: – (1.978) (0.0461) ≤ b ≤ (1.978) (0.0461) oder ≤ b ≤ 0.809 Hackl, Einführung in die Ökonometrie