Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen

Der Euklidische Raum Ein n-dimensionaler Euklidischer Raum sei mit bezeichnet. Ein Vektor in diesem Raum ist ein n-Tupel, also eine geordnete Liste reeller Zahlen: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Spezielle Vektoren Ein Vektor kann sowohl als Punkt im euklidischen Raum als auch als gerichtete Linie (vom Ursprung zu diesem Punkt), also als Richtungsvektor, interpretiert werden. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Anmerkungen zum Euklidischen Raum Der Euklidische Raum ist die Grundlage der klassischen euklidischen Geometrie (Geometrie der Bewegungen: Translation, Drehung, Spiegelung oder auch elementare Geometrie), erstmals systematisch beschrieben in den Elementen des Euklid (365v.Chr. – 300 v.Chr.). Insbesondere gelten hier die klassischen Gesetze der Trigonometrie (Winkelsumme, Sinussatz, Kosinussatz,..., Kongruenzsätze, Ähnlichkeitssätze) und insbesondere auch das Euklidische Parallelenaxiom: „Liegt ein Punkt P nicht auf einer Geraden g, dann gibt es zu g genau eine Parallele p durch den Punkt P.“ Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Nichteuklidische Räume Wer die Geometrie versteht, der versteht alles in der Welt. Galileo Galilei (1564-1642) Erst im 19. Jahrhundert gelang es, eine Reihe alternativer Geometrien wie die elliptische Geometrie oder die hyperbolische Geometrie systematisch zu beschreiben, in denen das euklidische Parallelenaxiom nicht gilt, sehr wohl aber die anderen Hilbertschen Axiome der Geometrie. Insbesondere die Sätze zur Winkelsumme im Dreieck, zum Flächeninhalt, zum Umfang eines Kreises, der Sinus- und Kosinussatz, u.v.a.m. gelten dann nicht wie in der klassischen euklidischen Geometrie. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Operatoren auf Vektoren im Euklidischen Raum Addition: Multiplikation mit einem Skalar : Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Rechenregeln für Vektoroperationen im Euklidischen Raum Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Betrag eines Vektors (engl. norm) Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Skalarprodukt im Euklidischen Raum (inneres Produkt, Punktprodukt) Im Euklidischen Raum ist ein Skalarprodukt definiert: Es gelten folgende Regeln: Die letzte Regel sagt: Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander (sind orthogonal, engl. perpendicular) wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Orthogonale Projektion eines Vektors Die orthogonale Projektion w eines Vektors u auf einen Vektor v ist gleich Eine solche Projektion liefert eine orthogonale Dekomposition von u in w und (u-w), d.h. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Geometrische Interpretation des Skalarproduktes u-w u u f f v w v Der Vektor u wird orthogonal auf den Vektor v projiziert. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Das Kreuzprodukt zweier Vektoren u,v im R3 ist definiert als ein Vektor mit folgenden Eigenschaften: w v f û Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Eigenschaften des Vektorprodukts Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Lineare Unabhängigkeit von Vektoren und Basis eines Vektorraumes Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: Andernfalls nennt man die Vektoren linear abhängig. Wenn ein Satz von Vektoren linear unabhängig ist, dann nennt man diese Vektoren eine Basis des durch sie aufgespannten Euklidischen Raums. Jeder Vektor v dieses Raumes kann dann als Linear-kombination der Basisvektoren geschrieben werden: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Eine Basis für deren Basisvektoren paarweise gilt Spezielle Basen Eine Basis für deren Basisvektoren paarweise gilt heißt orthogonal. Gilt zusätzlich dann heißt diese Basis orthonormal. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Weitere Regeln Für eine orthonormale Basis und einen beliebigen Vektor p=(p0,p1, ...,pn-1) gilt: Sehr häufig genutzt wird die Standardbasis e, bei welcher der i-te Basisvektor ei in jeder Komponente Null ist, mit Ausnahme der i-ten Komponente, die gleich Eins ist – im dreidimensionalen: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Matrizen Unter einer Matrix vom Typ (m,n) oder mxn-Matrix versteht man ein rechteckiges Schema von Zahlen mit m Zeilen und n Spalten. Dabei sind die Elemente mjk reelle (oder auch komplexe) Zahlen. M heißt quadratisch, wenn m=n gilt. Vektoren sind spezielle Matrizen vom Typ (m,1), genannt Spaltenvektoren oder (1,n), genannt Zeilenvektoren. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Spezielle Matrizen Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Transponierte(transpose) adjungierte und adjunkte (adjoint) Matrizen Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Weitere spezielle Matrizen Sei M eine (nxn)-Matrix. M* bezeichne die adjungierte Matrix (für reelle Matrizen gilt MT=M*): (i) A heißt genau dann selbstadjungiert, wenn M = M* (ii) A heißt genau dann schiefadjungiert, wenn M = -M* (iii) A heißt genau dann unitär (orthogonal), wenn MM* = M*M = E (iv) A heißt genau dann normal, wenn MM* = M*N Die Matrizen (i)-(iii) sind normal. Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Eigenschaften unitärer (orthogonaler) Matrizen Wenn M eine unitäre (orthogonale) Matrix ist, dann gilt: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Orthonormale und orthogonale Matrizen Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Operationen auf Matrizen Addition Für zwei (mxn)-Matrizen M und N gilt Rechenregeln: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Operationen auf Matrizen Multiplikation Skalar-Matrix Ein Skalar a und eine Matrix M können multipliziert werden, so daß das Produkt Rechenregeln: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Operationen auf Matrizen Matrix-Matrix Für die (pxq)-Matrix M und die (qxr)-Matrix N (also für verkettete Matrizen) ist das Produktmatrix T eine (pxr)-Matrix mit Rechenregeln: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Determinanten einer Matrix Für quadratische Matrizen sind Determinanten definiert: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Spur (Trace) einer Matrix Unter der Spur tr M der (nxn)-Matrix versteht man die Summe der Hauptdiagonalelemente: Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Weitere Eigenschaften der Determinante Für (3x3)-Matrizen existiert ein interessanter Weg die Determinante zu berechnen. Bezeichnen wir die Spalten-vektoren mit Eine Basis ist genau dann rechtshändig (right-handed), wenn ihre Determinante positiv ist Ist die Determinante negativ nennen wir das die Basis linkshändig (left-handed) Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Rechenregeln für Determinanten Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Inverse einer Matrix Rechenregeln M-1 existiert nur für quadratische Matrizen M, deren Determinante ist. Dann gilt M-1 M = M M-1 = E Rechenregeln Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002

Eigenwerte und Eigenvektoren Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen SS 2002