Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/06 2.2.

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1 Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/06 2.2.

2 Andere Krypto-Probleme Bit-Commitment [BC]: Alice möchte ein Bit verschliessen, an Bob geben, so dass Bob keine Information über das Bit erhält Alice trotzdem festgelegt ist Packe Zettel mit Bit in einem Safe, behalte Schlüssel Coin-Flipping [CF]: Alice und Bob möchten über einen Kommunikationskanal ein faires Zufallsbit ziehen 1,2-Oblivious-Transfer [OT]: Alice hat 2 Bits, Bob soll genau ein Bit lernen, Alice nicht erfahren, welches

3 Anwendungen BC: Z.B. Auktionen OT: Private Berechnung von Funktionen CF: On-line Spiele

4 BC und CF Wenn BC möglich, dann auch CF: Alice wirft eine Münze, Wert x, Commitment an Bob Bob wirft eine Münze, Wert y, sendet zu Alice Alice öffnet Commitment Zufallsbit x©y

5 Klassische Unmöglichkeit OT: Bob kann immer Information über beide Eingaben erhalten BC: Wenn Alice Bob Nachricht ohne Information sendet, kann Alice immer ihr Bit wechseln CF: Entweder: Für alle Nachrichten von Alice gibt es jeweils eine Nachricht von Bob,...., so dass Bob gewinnt, dann kann Bob perfekt betrügen Oder: umgekehrt, Alice kann perfekt betrügen

6 BB84 Bit Commitment Commit: Alice wählt Basis |0i, |1i ODER (|0i+|1i)/2 1/2, (|0i-|1i)/2 1/2 Alice sendet 100 zufällige Elemente der Basis, entspr. Bits x 1,...,x 100 Bob misst die erhaltenen Zustände, jeweils zufällig in einer der Basen Reveal: Alice sagt Basis, sendet x 1,...,x 100 Bob testet, ob seine Messergebnisse korrekt auf den Qubits, wo er in der richtigen Basis gemessen hat, und Messergebnisse sonst unkorrelliert

7 Ist das Protokoll korrekt? Bekommt Bob Information? Kann Alice mogeln? Bob erhält 100 Qubits, jedes ist zufällig aus |0i, |1i ODER selbe Situation mit (|0i+|1i)/2 1/2, (|0i-|1i)/2 1/2 Behauptung: Beide Fälle ununterscheidbar!

8 Dichtematrizen Sei ein Zustand | i= i=1...n i |ii gegeben purer Zustand h | transponierter und komplex konjugierter Vektor Dichtematrix: | i h | Matrix hat Rang 1 Eigenwert 1 mit Eigenvektor | i Spur 1 Hermitesch und positiv semidefinit

9 Gemischte Zustände Ensemble: Menge von Zuständen mit Wahrscheinlichkeiten, {| i i,p i }; p i =1 Dichtematrix dazu: p i | i i h i | Klar: Matrix ist Hermitesch Spur ist 1 (Spur ist linear) Ist positiv semidefinit

10 Dichtematrizen Dichtematrix: Matrix ist Hermitesch Spur ist 1 (ist linear) Ist positiv semidefinit Definiere Quantenzustände als Dichtematrizen Anwendung einer unitären Operation: U U* Messung: per Linearität definiert

11 Dichtematrizen Für jedes : es gibt eine Basis, in der diagonal ist, EW auf Diagonale, EW reell, zwischen 0 und 1 In dieser Basis ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Wenn purer Zustand ist, dann ist Diagonale (00010000)

12 Dichtematrizen und Ensembles Zu jedem Ensemble gibt es genau eine Dichtematrix Umgekehrt? Bob erhält 100 Qubits, jedes ist zufällig aus |0i, |1i ODER selbe Situation mit (|0i+|1i)/2 1/2, (|0i-|1i)/2 1/2 Behauptung: Beide Fälle ununterscheidbar! Dichtematrizen:

13 Ist BB84 BC sicher? Bob erhält keine Information in der Commit Phase Aber kann Alice mogeln? Alice präpariert 100 EPR-Paare, schickt je eines der Qubits zu Bob Für Bob kein Unterschied erkennbar Bob misst EPR-Paare (in zuf. Basis) Alice behauptet gewünschte Basis, misst ihre Qubits in dieser Basis, und nennt Bob Messergebnisse Behauptung: Übereinstimmung auf gewählter Basis, keine Korrelation auf anderer:

14 Beschreibung von Teilsytemen Sei also | AB i gegeben Im normalen Formalismus Teilsysteme nicht beschreibbar, z.B. EPR-Paare Dichtematrix AB auf Zuständen im Hilbertraum H­ G ist Matrix mit |H| |G| Zeilen und Spalten Operation partielle Spur: trace B (|ai hb|­|cihd| = |ai hb| ¢ trace |ci hd|

15 Beschreibung von Teilsytemen Eigenschaften: A ist Dichtematrix A ­ B AB im allgemeinen A ist der Zustand des A-Teilsystems trace B ( A ­ B )= A Beispiel: EPR-Paar