Berechnung stationärer Strömungen in Fließgewässern Olaf A. Cirpka, Eawag W+T Wolfgang Kinzelbach, ETH IfU

Variablen + Relationen Durchfluss Q [m3/s] Laterale Zuflüsse q [m2/s] Fließgeschwindigkeit u = Q/A [m/s] Querschnittsfläche A [m2] Abflusstiefe h [m] Gewässerbreite b [m] Sohlgefälle I0 [-] Reibungsgefälle IE [-] Benetzter Umfang U [m] Hydraulischer Radius rhyd = A/U [m]

Definition von Höhen h Abflusstiefe u2/(2g) Geschwindigkeitshöhe H0 spezifische Energiehöhe z Geodätische Höhe des Talweges HE Energiehöhe

Reibungsansätze Darcy-Weisbach Gauckler-Manning-Strickler Rohrhydraulik Reibungsbeiwert l [-] Gauckler-Manning-Strickler Beiwert l hängt von rhyd ab Neuer, dimensionsbehafteter Koeffizient Strickler Koeffizient kSt [m1/3/s] Manning’s n [s/m1/3]

Typische Reibungsbeiwerte kst [m1/3/s] n [s/m1/3] gerader Fluss mit glatter Sohle 30-40 0.025-0.033 mäandrierend, verkrautet 20-30 0.035-0.050 mit vielen Büschen und Becken 7-14 0.070-0.150 grasiges Vorland 20-40 0.025-0.050 Vorland mit Büschen 6-30 0.035-0.160 bewaldetes Vorland mit Unterholz 5-12 0.080-0.200

Normalabfluss Gleichförmiger Abfluss: h(x) = h x Reibungsgefälle = Sohlgefälle Wird über lange Fließstrecken ohne Änderungen erreicht

Normalabflusstiefe Newton Verfahren h f f(h) f(hi) hi+1

Gegliederter Querschnitt linkes Vorland rechtes Vorland Flussschlauch Überströmung von Vorländern: größere Rauhigkeit als in Flussschlauch geringere Abflusstiefe Niedrigere Geschwindigkeit

Normalabfluss in gegliederter Querschnitten linkes Vorland rechtes Vorland Flussschlauch Gleiches Energieliniengefälle in Flussschlauch und auf Vorländern: IE,F = IE,V = I0 Berechne für jeden Abschnitt Fläche, Umfang und Durchfluss Addiere alle Teilabflüsse Umkehrung h(Q) erfordert Iteration

Ungleichförmiger stationärer Abfluss Veränderung mit dem Fließweg Ursachen der Ungleichförmigkeit: Rückstau Änderung des Gefälles Änderung des Profils Änderung der Rauhigkeit Erfordert Integration der stationären Saint-Venant Gleichungen (Volumen- und Impulsbilanz)

Annahmen Erhalt von Volumen und Impuls in einer infinitesimal dünnen Flussscheibe Eindimensionale Betrachtung Gleichförmige Geschwindigkeitsverteilung über den Querschnitt: Reibung nach Gauckler-Manning-Strickler

Impulserhalt 1: Speichergröße und Flüsse Impulsdichte s = ru Gesamtimpuls im Querschnitt Impulsflussdichte in Längsrichtung: konvektive Impulsübertragung plus hydrostatische Druck Gesamtimpulsstrom [Kraft]

Impulserhalt 2: Quellen/Senken Reibung an der Sohle Beschleunigung durch Sohlgefälle (Druckkräfte auf die Sohle bei Veränderung des Querschnitts)

Impulserhalt 3: Bilanzgleichung Allgemeine Bilanzgleichung: Einsetzen der Terme:

Impulserhalt 4: Divergenz des Impulsstroms Hier für konstantes Profil Gilt nur, wenn Zustandsgrößen stetig differenzierbar sind!

Saint Venant Gleichungen Stationäre Strömung:

Anmerkung zu den Saint Venant Gleichungen Bei graduellen Veränderungen der Zustandsgrößen sind die Impulsgleichung und die Energiegleichung identisch Bei Diskontinuitäten ist dies nicht mehr erfüllt: Gesamtimpulsstrom ist an der Diskontinuität kontinuierlich (Kräftebilanz) Mechanische Energie bleibt nicht erhalten (lokale Verluste)

Berechnung von Durchfluss und Abflusstiefe Umformung: Einsetzen:

Berechnung von Durchfluss und Abflusstiefe Froude Zahl: kritische Froude-Zahl: 1

Berechnung von Durchfluss und Wassertiefe Durchflussberechnung immer stromabwärts erfordert Flussrandbedingung am Zufluss Wasserstandsberechnung abhängig von Froude-Zahl Fr<1 (strömender Abfluss): Integration stromaufwärts erfordert Randbedingung am Ausfluss Fr>1 (schießender Abfluss): Integration stromabwärts erfordert 2. Randbedingung am Zufluss

Berechnung der Wassertiefe Strömender Abfluss: Schießender Abfluss: Werte Term in der Klammer an x  0.5x aus Erfordert Iteration

Randbedingungen Normalabfluss IE = I0 Kritischer Abfluss Fr = 1 Wasserstand (Stauziel), ev. als Funktion des Durchflusses (Schlüsselkurve) h = hfix

Strömender Abfluss unterstromiger Rand: Stauziel strebt Normalabfluss an Stauziel

Strömender Abfluss unterstromiger Rand: kritische Höhe strebt Normalabfluss an Fr = 1

Schießende Strömung oberstromiger Rand: kritische Höhe strebt Normalabfluss an Fr = 1

Wechselsprung schießende Strömung + Stauziel strömend Stauziel Fr = 1

Lage des Wechselsprunges Berechne strömenden Abfluss stromaufwärts Berechne schießenden Abfluss stromabwärts Am Wechselsprung sind die beiden Gesamtimpulsströme identisch An allen anderen Stellen ist die Lösung mit dem höheren Gesamtimpulsstrom die richtige

Ungleichförmiger Abfluss bei gegliedertem Querschnitt Stationäre Strömung (korrekt): u variiert über den Querschnitt

Korrekturfaktor b für die kinetische Energie wird in St. Venant-Gleichungen eingesetzt hängt von Wassertiefe ab Gegliederter Querschnitt: u jeweils im Flussschlauch und auf Vorländern über den Querschnitt konstant Gleiches Energieliniengefälle

Berechnung von b für gegliederten Querschnitt

Beispielberechnung Selber Reibungsbeiwert für Vorländer und Flussschlauch Stärkster Effekt bei beginnender Vorlandüberflutung

Stationäre Saint Venant Gleichungen Alle weiteren Umformungen wie für u konstant über den Querschnitt Berechne b in den Iterationsschritten mit