Vorlesung Hydrologie I   SS 2014 Vorlesung Hydrologie I Dr. Fred Hattermann Do 8.15-9.45 Haus 12 Hattermann@pik-potsdam.de 1 1

Inhalts- und Terminübersicht 1. VL 10.04.14 Einführung 2. VL 17.04.14 Wasserkreislauf 3. VL 24.04.14 Strahlung (1.5.14 Feiertag) 4. VL 08.05.14 Komponenten und Prozesse des Wasserkreislaufs 5. VL 15.05.14 Niederschlag I 6. VL 22.05.14 Niederschlag II (29.05.14 Feiertag) 7. VL 05.06.14 Verdunstung 2

Inhalts- und Terminübersicht 8. VL 12.06.14 Versickerung 9. VL 19.06.14 Infiltration 10. VL 26.06.14 Abfluss I 11. VL 03.07.14 Abfluss II 3

7. Abfluss I 4

7. Abfluss II 7.1 Definition und Grundlagen 7.1.1 Definition 7.1.2 Abflussbildung 7.1.3 Abflusskonzentration 7.1.4 Abflussregime 7.2 Abflussmessung 7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie 7.4 Abflussstatistik 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik 7.4.2 Extremwertstatisitk 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel 5

7. Abfluss II 7.4 Abflussstatistik Ziel: Beschreibung der stat. Eigenschaften einer Abflusszeitreihe (an einer Gewässerstelle) und/oder Ableitung der Werte der extremen Abflüsse Für die Bemessung von z.B. Deichen, Schleusen, Karnälen und Rückhaltebecken werden Informationen zur Auftretenswahrscheinlichkeit von Ereignissen bestimmter Intensität benötigt -> Extremwertstatistik Aufgabe der Extremwertstatistik in der Hydrologie (s. Übung) Wie häufig tritt ein Niederschlag bestimmter Intensität und Dauer im Mittel auf? Mit welchem maximalen Durchfluss / Wasserstand muss innerhalb einer Zeitspanne statistisch gerechnet werden? Die statistische Auswertung bereits beobachteter Extremwerte ist eine Möglichkeit, solche Aussagen zu liefern. 6

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Abflussganglinie (Hydrograph) – Definition Darstellung des Abflusses Q über die Zeit t (Ganglinie des Wassers am Pegel).

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik

7. Abfluss II 7.1 Definition und Grundlagen 7.1.1 Definition 7.1.2 Abflussbildung 7.1.3 Abflusskonzentration 7.1.4 Abflussregime 7.2 Abflussmessung 7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie 7.4 Abflussstatistik 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik 7.4.2 Extremwertstatisitk 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel 9

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Deskriptive und analytische Statistik Aufgabe der Statistik ist die Zusammenfassung von Daten, deren Darstellung, Analyse und Interpretation. Man unterscheidet zwischen beschreibender oder diskreptiver und schließender oder analytischer Statistik.

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Die deskriptive Statistik dient der Beschreibung quantitativ-empirischer Daten. Ziel ist es, Daten und die ihnen zugrunde liegenden Muster sinnvoll darzustellen und zusammenzufassen. Beispiele sind: Tabellen (z.B. Häufigkeitstabellen, oft Einteilung in Klassen); Grafiken (z.B. Balkendiagramme oder Histogramme, Kreisdiagramme, Liniendiagramme); Statistische Kennwerte (z.B. Mittelwerte, Streuungsmaße). Im Gegensatz zur deskriptiven Statistik versucht man in der analytischen Statistik, von den Ergebnissen der Stichprobe auf die Grundgesamtheit der Beobachtungsvariablen zu schließen: Auf der Basis der Stichprobenwerte kann man auf die Verteilung der Beobachtungsvariablen schließen; Auf der Basis von Stichprobenwerten kann man Hypothesen überprüfen (ist z.B. die Temperatur in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts signifikant höher als in der Zeit davor?). -> statistische Tests

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Deskriptive Statistik: Häufigkeitsverteilung Messwerte qualitativer (kategorischer) Variablen treten meist mehrfach auf. Bei quantitativen (metrischen) Variablen bildet man meist Intervalle oder Klassen, denen die Messwerte zugeordnet werden. Das Ergebnis ist in beiden Fällen eine Häufigkeitsverteilung. Diese Häufigkeitsverteilung lässt sich tabellarisch oder grafisch darstellen: Tabelle Histogramm

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Deskriptive Statistik: Darstellung räumlicher Werte Klimastationen Z.B. Temperaturen [°C]

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Lagemaße: Modalwert = der in der Stichprobe am häufigsten auftretende Wert; Medianwert = sowohl oberhalb als auch unterhalb des Medianwertes liegen 50 % der nach Größe sortierten Werte, er wird deshalb auch Zentralwert genannt; Mittelwert = arithmetisches Mittel oder Durchschnitt, also die Summe der Werte xi durch die Anzahl n der Werte:

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Dispersions- oder Streuungsmaße: Streuungsmaße beschreiben die Streuungsbreite oder Heterogenität der Werte. Bei kleiner Dispersion verteilen sich die Werte eng um den Mittelwert, bei großer weit. Wichtig sind: Range = Variationsbreite oder Spannweite zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Varianz = Die empirische Varianz ist eine Kennzahl für die Dispersion von gemessenen Werten um den Mittelpunkt herum. Je stärker die Messwerte der einzelnen Werte vom Mittelwert abweichen, desto größer ist die Varianz s2 der Variablen. In die Berechnung der empirischen Varianz gehen die quadrierten Abweichungen der einzelnen Werte xi von ihrem Mittelwert ein: Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz.

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Ein statistisches Modell beschreibt die Eigenschaften eines Zufallsprozesses. Fallhöhe [m] Beispiel für deterministisches Ereignis: Fallhöhe eines Balles. Zeit [t] Beispiel für unkorreliertes stochastisches (stat.) Ereignis: Würfeln. Augenzahl Zeit [t] Beispiel für korreliertes stochastisches (stat.) Ereignis : Niederschlagshöhe. Niederschlag [mm] Zeit [t]

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion: Betrachtet man stetige Zufallsvariablen, so kann man die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Realisation (eines Elementarereignisses) nicht bestimmen, dafür aber die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert innerhalb eines Intervalls liegt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die stetige Zufallsvariable X innerhalb von a und b liegt: Die Gesamtfläche unter dem Integral ist auf 1 normiert:

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Wikipedia

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Unterschreitungs- wahrscheinlichkeit Zwischenwahrscheinlichkeit Überschreitungs- wahrscheinlichkeit

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Wahrscheinlichkeit: Anzahl der Fälle, in denen ein Ereignis eintritt, geteilt durch Anzahl der möglichen Fälle Unterschreitungswahrscheinlichkeit PU: PU= P(x ≤ xi) Überschreitungswahrscheinlichkeit PÜ: PÜ= P(x > xi) Beziehung zwischen PU und PÜ: PÜ+ PU = 1 Wiederkehrintervall oder Jährlichkeit: T = 1 / PÜ T ist die durchschnittliche Zeitspanne, innerhalb der ein Ereignis x auftritt, welches einen Schwellenwert xi übertrifft. Meist werden jährliche Extremwerte betrachtet und T wird in Jahren angegeben („Jährlichkeit“). Stationarität: Stationarität einer Variablen bedeutet, dass das zugrundeliegende statistische Modell invariant gegen zeitliche oder räumliche Translationen ist. (s. Übung)

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Verteilungsmodelle: Die meisten Zufallsvariablen können durch Verteilungsmodelle beschrieben werden, wobei für stetige und diskrete Zufallsvariablen unterschiedliche Modelle Anwendung finden. Gleichverteilung: Für eine diskrete Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie gleichverteilt ist, dass alle k möglichen Ereignisse bzw. xi-Werte gleich wahrscheinlich sind: f(xi) = 1/k für alle i = 1, ..., k Für eine stetige Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie gleichverteilt ist, dass der Graph der Funktionsvorschrift einen konstanten Wert hat und parallel zur x-Achse verläuft.

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Wichtigstes statistisches Modell: Normalverteilung Mit Mittelwert (Erwartungswert) µ, Streuung (Varianz) σ2 und Standardabweichung σ. Für die Standardnormalverteilung ist µ = 0 und σ = 1. - σ µ + σ

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Normalverteilung: Die Normalverteilung ist ein Verteilungsmodell für stetige Zufallsvariablen und wurde von Carl Friedrich Gauß entwickelt -> „Gaußsche Glockenkurve“. Wichtig: Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert (Erwartungswert) µ mit einer Streuung σ. Die Streuung bestimmt dabei die Breite der Verteilung. Normalverteilungen mit gleichem µ und σ sind identisch. Modalwert = Median = Mittelwert Im Bereich µ - σ bis µ + σ liegen ca. 68 % der Werte. Im Bereich µ - 2σ bis µ + 2σ liegen ca. 95.5 % der Werte.

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Vertrauensbereich für einen Beobachtungswert: Im Bereich µ - 1.96*σ bis µ + 1.96*σ liegen ca. 95 % der Werte. Im Bereich µ - 2.58*σ bis µ + 2.58*σ liegen ca. 99 % der Werte. Im Bereich µ - 3.29*σ bis µ + 3.29*σ liegen ca. 99.9 % der Werte. Beispiel: µ = 3, σ = 1 => 95% der Werte liegen zwischen 3 +/- 1.96 * 1

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik 1. Moment: Erwartungswert von Z: Für Normalverteilung gleich dem Mittelwert 2. Moment: Varianz von Z Kovarianz zweier Zufallsvarialen Z1 und Z2: Korrelation zweier Zufallsvariablen:

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Gleiche Varianz, unterschiedliche Mittelwerte Gleiche Mittelwerte unterschiedliche Varianz

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Die Z-Transformation Für viele Verfahren wird die Umwandlung der untersuchten Variablen einer gegebenen Normalverteilung in die Standard-Normalverteilung vorausgesetzt. Sie erfolgt durch: mit = Mittelwert und s = Standardabweichung

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Aber: Viele natürlichen Zufallsvariablen sind nicht normalverteilt. Eine häufig vorkommende Verteilung natürlicher Zufallsvariabler, welche per Definition nur positiv sein können (z.B. der Permeabilität von Böden), ist die Lognormalverteilung:

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Transformation in eine Normalverteilung: Viele statistische Methoden setzen eine Normalverteilung der untersuchten Größe voraus. Liegt diese nicht vor, können verschiedene Verfahren angewandt werden, um eine schiefe Verteilung in eine Normalverteilung umzuwandeln: Logarithmische Transformation: Beispiel: Linkssteile Verteilungen Kehrwerttransformation: Beispiel: Rechtssteile Verteilungen Quadratwurzeltransformation: Beispiel: Vorliegen kleiner ganzer Zahlen bei einer Zählung Potenztransformation: Beispiel: Bei Rechtsgipfligkeit

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Häufigkeitsverteilung: Aufteilung der Daten in Abflussklassen -> absolute und relative Häufigkeit: Histogramm Kumulative Häufigkeit: Integration über die Absolute Häufigkeit -> Dauerlinien Eine Dauerlinie ist die grafische Darstellung statistisch gleichwertiger Einzelbeobachtungen (Messwerte) in der Reihenfolge ihrer Größe. Mit Hilfe von Dauerlinien werden die Unter- beziehungsweise Überschreitungshäufigkeiten der Messwerte in einem bestimmten Zeitraum beschrieben. Eine Dauerlinie entsteht durch Sortierung der Messwerte ihrer Größe nach, meist beginnend mit dem kleinsten Wert, wobei die Abszisse die Zeitachse darstellt. Wikipedia

7. Abfluss II 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik Wikipedia

7. Abfluss II 7.1 Definition und Grundlagen 7.1.1 Definition 7.1.2 Abflussbildung 7.1.3 Abflusskonzentration 7.1.4 Abflussregime 7.2 Abflussmessung 7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie 7.4 Abflussstatistik 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik 7.4.2 Extremwertstatisitk 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel 32 Coles S (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, Heidelberg.

7. Abfluss II 7.4.1 Extremwertstatistik Graphisches Verfahren: Bestimmung der Jahresextreme Ordnen der Extremabflüsse der Größe nach (groß nach klein): Rangzahl m=1 Zuordnung einer empirischen Wahrscheinlichkeit nach „ plotting-Formel“ z.B.: Eintragen der (Extremabfluss, Pü) – Wertepaare in Wahrscheinlichkeitspapier Normalverteilung oder log. Normalverteilung Anpassen einer Ausgleichskurve + Extrapolation Ablesen der Extremabflüsse für gesamtes Pü (=1/T) Extrapolation bis maximal dreifachen Wert der Dauer der Beobachtungszeitreihe 33

7. Abfluss II 7.4.1 Extremwertstatistik Mathematisches Verfahren: Aufstellen der Stichprobe (als höchste Jahreswerte oder Werte über Schwellenwert -> partielle Serie) Auswahl einer passenden Verteilungsfunktion Fx Berechnung der stat. Parameter von Fx aus der Stichprobe Überprüfung der Anpassung von Fx und Summenhäufigkeit  extreme Werte sollen stimmen (optisch! oder stat. Tests) eventuell zurück zu 1) mit anderer Funktion Berechnen der gewünschten Pü(x) Extrapolation bis maximal dreifachen Wert der Dauer der Beobachtungszeitreihe 34

7. Abfluss II 7.4.1 Extremwertstatistik Aufstellen der Stichprobe: Die Stichprobenwerte müssen statistisch unabhängig voneinander sein. Deshalb beschränkt man sich bei der Hochwasserstatistik auf eine bestimmte Auswahl von Ereignissen (Hoch- oder Niedrigwassern). Man wählt beispielsweise eine Stichprobe mit den Jahreshöchstwerten (jährliche Serie, Annuelle Maxima AM) oder eine partielle Serie von Hochwassern, welche einen bestimmten Schwellenwert überschreiten (Peak over Threshold POT). Für die gewählte Stichprobe kann die empirische Häufigkeitsverteilung bestimmt werden.

7. Abfluss II 7.4.1 Extremwertstatistik Anpassung der Wahrscheinlichkeitsverteilung: Will man nun Aussagen über die Wahrscheinlichkeit des Unterschreitens und des Überschreitens bestimmter Hochwasserabflüsse treffen, muss man von der diskreten empirischen Verteilung zu einer theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung übergehen, d. h. man versucht, von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen. Prinzipiell gibt es viele verschiedene Verteilungsfunktionen, welche die Voraussetzungen für die Anwendung in der Hochwasserstatistik erfüllen. Es gibt aber keine theoretische Verteilungsfunktion, welche für alle Stichproben die besten Resultate gewährleistet. 30

7. Abfluss II 7.4.1 Extremwertstatistik Generelle Extremwertverteilung Wenn man zufällig Verteilung erzeugt, welche nicht notwendigerweise Normalverteilt sind, dann sind die Mittelwerte der Verteilungen annähernd Normalverteilt (Grenzwertsatz der Statistik). Wenn man die Extremwerte dieser Verteilungen aufträgt, dann nähern sich diese einer von drei Typen von Verteilungen, welche in einer Formel dargestellt werden können, wobei die Variablenwerte der Formel bestimmen, welcher der drei Grundtypen die Verteilung eher ähnelt (-> Generelle Extremwertverteilung oder Generalized Extreme Value (GEV) distributions). Es können z.B. annuelle Maxima (AM) oder Werte über einem Grenzwert (peaks over a threshold POT) untersucht werden.

7. Abfluss II 7.4.1 Extremwertstatistik Generelle Extremwertverteilung Für den POT Ansatz müssen Grenzwerte (u) festgelegt werden, z.B. das 95er oder 99er Perzentil, und Ereignisse (q) über dem Grenzwert werden einer spezellen GEV angepasst, der sogenannten Generalized Pareto Distribution (GPD) (Coles 2001): General Pareto Distribution: Entwickelt für das Wiederkehrinterval T: Coles S (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, Heidelberg.

7. Abfluss II 7.4.1 Extremwertstatistik 30

7. Abfluss II 7.4.1 Extremwertstatistik Anpassungstests (Test der Güte der Anpassung der Verteilung) z.B. Kolmogorov-Smirnov-Test: Es wird der Betrag der max. Abweichung zwischen der empirischen Wahrscheinlichkeit und dem zugehörigen Funktionswert der angepassten VF aus der Stichprobe bestimmt. Die Nullhypothese (angepasste VF repräsentiert die Stichprobe) wird abgelehnt, wenn die Abweichung D einen kritischen Betrag überschreitet. D ist von der gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit α und dem Stichprobenumfang n abhängig. D= max | emp. PÜ(x) – F(x) | Aussagekraft des K-S-Tests im Bereich kleiner PÜ gering! Deshalb: weitere Testverfahren visueller Vergleich unterschiedlicher angepasster VF

7. Abfluss II 7.4.1 Extremwertstatistik Beispiel: Abflussstatistik des Rheines bei Rees

7. Abfluss II 7.1 Definition und Grundlagen 7.1.1 Definition 7.1.2 Abflussbildung 7.1.3 Abflusskonzentration 7.1.4 Abflussregime 7.2 Abflussmessung 7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie 7.4 Abflussstatistik 7.4.1 Allgemeine Abflussstatistik 7.4.2 Extremwertstatisitk 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel 43

7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Anzahl von Naturkatastrophen weltweit Number Natural catastrophe Geophysical event Hydrological event Significant events Meteorological event Climatological event © 2014 Munich Re, Geo Risks Research, NatCatSERVICE

q (18°C) - q (15°C) = 2.5 g/m³ (= 19,4 %) 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Zusammenhang Temperatur - Luftfeuchte Clausius-Clapeyron: saturated moisture content in the atmosphere is a non-linear function of temperature q [g/m³] q (18°C) - q (15°C) = 2.5 g/m³ (= 19,4 %) Temperature [°C] 10 15 18 20 Saturated moisture content [g/m³] 4.8 9.4 12.9 15.4 17.3

7. 5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in abs. und rel 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in abs. und rel. Luftfeuchte in Europa P. Hoffmann, PIK

7. 5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in abs. und rel 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in abs. und rel. Luftfeuchte in Deutschland Absolute Humidity Relative Humidity Data: DWD, Modelling: PIK Hattermann et al. 2012a&b

7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in Großwetterlagen in Deutschland Very humid west wind pattern (origin: Atlandic) Very humid Vb-weather pattern (origin: Mediterranean) Data: DWD, Modelling: PIK Hattermann et al. 2012a&b

Daily precipitation > 20 mm Daily precipitation > 30 mm 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in Starkniederschlägen Daily precipitation > 20 mm Daily precipitation > 30 mm Data: DWD, Modelling: PIK Hattermann et al. 2012a&b

7. 5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in sim. und beob 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in sim. und beob. Hochwassern in Deutsland Obeserved Simulated Observed positive negative Simulated positive negative Hattermann et al. 2012a&b

Vielen Dank!