Wesen und „Unwesen“ der binären, dezimalen und hexadezimalen Zahlen Zahlensysteme Wesen und „Unwesen“ der binären, dezimalen und hexadezimalen Zahlen

Grundlagen der Zahlensysteme Mit Ausnahme der römischen und ostasiatischen Zahlenzeichen basieren die Zahlensysteme auf einem Stellensystem, d.h. jede Stelle wird durch eine darstellbare Ziffer mit definiertem Wert dargestellt. Beispiel: Dezimalsystem Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Jede Stelle einer Zahl repräsentiert eine Zehnerpotenz: 1024 1*103 0*102 2*101 4*100

Basis: 10 Dezimalzahl-System Jede Stelle einer Dezimalzahl wird durch eine Ziffer von 0 – 9 dargestellt. Der Wert ergibt sich aus dem Ziffernwert multipliziert mit der Zehnerpotenz der betreffenden Stelle. Die letzte Stelle (rechts = 1. Stelle) beginnt mit der Potenz 100. Die 2. Stelle repräsentiert die Potenz 101 usw. Die n. Stelle repräsentiert die Potenz 10(n-1).

1 2 8 Dezimalzahl-System 1 * 102 2 * 101 8 * 100 Beispiel: 1 * 102 2 * 101 8 * 100 Ziffer Zehnerpotenz Ziffer Zehnerpotenz Ziffer Zehnerpotenz d.h.: 128 = 8*100 + 2*101 + 1*102

Basis: 2 Binärzahl-System Jede Stelle einer Dezimalzahl wird durch eine Ziffer von 0 – 1 dargestellt. Der Wert ergibt sich aus dem Ziffernwert multipliziert mit der Zweierpotenz der betreffenden Stelle. Die letzte Stelle (rechts = 1. Stelle) beginnt mit der Potenz 20. Die 2. Stelle repräsentiert die Potenz 21 usw. Die n. Stelle repräsentiert die Potenz 2(n-1).

1 0 1 1 Binärzahl -System 1 * 23 0 * 22 1 * 21 1 * 20 Beispiel: 1 * 23 0 * 22 1 * 21 1 * 20 Ziffer Zweierpotenz Ziffer Zweierpotenz Ziffer Zweierpotenz Ziffer Zweierpotenz d.h.: 1011 = 1*20 + 1*21 + 0*22 + 1*23 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11

Hexadezimalzahl-System Basis: 16 Jede Stelle einer Dezimalzahl wird durch eine Ziffer von 0 – 9 sowie der Buchstaben A, B, C, D, E und F dargestellt. Der Wert ergibt sich aus dem Ziffernwert multipliziert mit der Sechzehnerpotenz der betreffenden Stelle. Die letzte Stelle (rechts = 1. Stelle) beginnt mit der Potenz 160. Die 2. Stelle repräsentiert die Potenz 161 usw. Die n. Stelle repräsentiert die Potenz 16(n-1).

Hexadezimalzahl -System Beispiel: 8 * 161 10 * 160 Ziffer 16erpotenz Ziffer 16erpotenz d.h.: 8A = 10*160 + 8*161 = 10 + 128 = 138

Vor- und Nachteile Mit höherem Basiswert lassen sich die Zahlen in kürzerer Schreibweise darstellen. Beim Hexadezimalsystem müssen die Ziffern des Dezimalsystems um Buchstaben ergänzt werden. Bei gleichem Zahlenwert ist die Darstellung der Binärzahlen sehr lang. Binärzahlen kommen der Arbeitsweise elektro-nischer Schaltkreise (ein/aus = 1/0) entgegen. Mit zweistelligen Hexadezimalzahlen lassen sich die 256 Zeichen des ASCII-Codes vollständig darstellen (16*161 = 256).

Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen Binärzahl Hex-Zahl Dezimalzahl 0000 0001 01 1 0000 0010 02 2 0000 0100 04 4 0000 1000 08 8 0001 0000 10 16 0010 0000 20 32 0100 0000 40 64 1000 0000 80 128 0000 0001 0000 0000 01 00 256 0000 0010 0000 0000 02 00 512 0000 0100 0000 0000 04 00 1024 0000 1000 0000 0000 08 00 2048 0001 0000 0000 0000 10 00 4096 0010 0000 0000 0000 20 00 8192 0100 0000 0000 0000 40 00 16384 1000 0000 0000 0000 80 00 32768

Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen Binärzahl Hex-Zahl Dezimalzahl 0000 0001 01 1 0000 0010 02 2 0000 0011 03 3 0000 0100 04 4 0000 0101 05 5 0000 0110 06 6 0000 0111 07 7 0000 1000 08 8 0000 1001 09 9 0000 1010 0A 10 0000 1011 0B 11 0000 1100 0C 12 0000 1111 0F 15 0101 1010 5A 90 1010 0000 A0 160 1111 1111 FF 255

Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen Der ASCII-Code von 0-255 lässt sich mit einer 2-stelligen Hex-Zahl und einer 8-stelligen Binärzahl (= 8 Bit bzw. 1 Byte) darstellen. Dies entspricht der ursprünglichen „Wort“-Länge eines DV-Gerätes. Bei einer Busbreite von 16, 32 64 oder 128 Bit lassen sich also mehrere Zeichen gleichzeitig verarbeiten!

Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen Addition 0000 1010 + 0001 0110 0010 0000 Subtraktion 0010 0000 - 0000 1010 0001 0110 Wie im Dezimalsystem beginnt man mit der kleinsten Stelle ganz rechts. 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10. Auch hier gelten die gleichen Regeln wie im Dezimalsystem. 0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 0-1=-1 (Übertrag von 1 auf die nächsthöhere Stelle).

Umrechnen von Binärzahlen in Hex-Zahlen Das Umrechnen von Binärzahlen in Hex-Zahlen kann bequem über Zahlentabellen geschehen, da die höchste zweistellige Hex-Zahl (FF) der Binärzahl 1111 entspricht. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F