VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

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Microcontroller Teil 2 Wiederholung Duales Zahlensystem Schaltungslogik VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Wiederholung Geschichte des Microcontrollers Zuse Z3 Von-Neumann Architektur Intel 4004 Transistortechnik 2 Mrd Transistoren auf einem Chip VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Duales Zahlensystem Dezimalsystem: Zahlensystem zur Basis 10 Ziffern 0 - 9 Binärsystem: Zahlensystem zur Basis 2 Ziffern 0 und 1 Oktalsystem: Zahlensystem zur Basis 2^3 = 8 Ziffern 0 - 7 Hexadezimalsystem: Zahlensystem zur Basis 2^4 = 16 Ziffern 0-9 und A-F VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Umrechnung Dezimalzahl in Binärzahl
243= 243 % 2 = 1 = 243 / 2 = 121 = 121 % 2 = 1 = 121 / 2 = 60 = 60 / 2 = 30 Rest 0 = 30 / 2 = 15 Rest 0 = 15 / 2 = 7 Rest 1 = 7 / = 3 Rest 1 = 3 / = 1 Rest 1 = 1 / = 0 Rest 1 => VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Umrechnung Binärzahl in Dezimalzahl
= 1*2^0 + 1* 2^1 + 0* 2^2 + 0* 2^3 + 1* 2^4 + 1* 2 ^5 + 1* 2^6 + 1* 2^7 = 1*1 + 1*2 + 0*4 + 0*8 + 1*16 + 1*32 + 1*64+1*128 = = 243 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Umrechung Dezimalzahl in Hexadezimalzahl
243 = 243 % 16 = 3 => 3 = 243 / 16 = 15 = 15 % 16 = 15 => F = 15 / 16 = 0 => 243 = F3 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Umrechnung Hexadezimalzahl in Dezimalzahl
F3 = 3*16^0 + F * 16^1 = 3* * 16 = = 243 TIPP zum Üben: Der Windowstaschenrechner kann diese 3 Zahlenformate darstellen und in einander überführen VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Umwandlung Binärzahl in Hexadezimalzahl und umgekehrt
= = F 3 F 3 = = Hexadezimalzahlen werden oft mit 0x als Prefix geschrieben: 0xF3 Umwandlungen in jedes beliebige Zahlensystem, z.B. Oktalsystem funktionieren analog. VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

2er Komplement Bildung einer Negativen Zahl Positive Darstellung der Zahl Invertierung aller Bits Addieren von 1 Beispiel: -13 für eine 8 Bit Zahl Berechne 13: Invertiere Bits: Addiere 1: VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Zahlenkreis der 2erKomplementzahlen
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Signed vs unsigned Man unterscheidet zwischen signed und unsigned Zahlen Signed: Mit Vorzeichen (Negative und Positive Zahlen) Egal ob 8-, 16- oder 32-Bit Zahlen, das höchstwertige Bit gibt das Vorzeichen an. Unsigned: Ohne Vorzeichen (Nur positive Zahlen) Alle Bits tragen zum Ergebnis bei Achtung: = 243 (unsigned) = - 13 (signed) VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Zahlenbereiche Ganze Zahlen (Integer)
Signed: bei 8 Bit: −128 bis bei 16 Bit: − bis bei 32 Bit: − bis bei 64 Bit: − bis (9 Trillionen) Unsigned: bei 8 Bit: 0 bis bei 16 Bit: 0 bis bei 32 Bit: 0 bis bei 64 Bit: 0 bis VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Fragen? VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Rechnen mit Binärzahlen (Ganzzahlig)
Addition Subtraktion Multiplikation Division Mögliche Probleme Overflow (Addition) Underflow (Subtraktion) Multiplikation erfodert doppelte Byte Anzahl Division geht nicht auf VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Addition von 2 8-Bitzahlen
9 + 5 = 14 (9) (5) = (14) = 185 = Signed oder unsigned? Unsigned:Korrektes Ergebnis (185) Signed: Overflow (-71) VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Subtraktion Subtraktion ist die Addition des negativen Zweier Komplements 9-5 = 4 <=> 9 + (-5) = 4 (9) (-5) = (4) -120 – 65 = -185? = (71) UNDERFLOW!!! VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Multiplikation / Division
2^8*2^8=2^16 Es werden immer doppelt soviele Bytes gebraucht, wie die Ursprungszahlen hatten. Muliplikation und Division bedeutet eine Verschiebung der Bits nach links (Multiplikation) und nach rechts (Division) << 4 bedeutet eine Multiplikation mit 2^4 (LeftShift) Auffüllen mit 0 von hinten >> 4 bedeutet Division durch 2^4 (RightShift) Auffüllen von vorne mit Vorzeichenbit VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Multiplikation 12 * 13 = 156 * = 1100 · 1101 1100 (156) VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Multiplikation Verbesserungen der Multiplikation: Booth-Algorithmus Bit-Pair-Verfahren weitere Verbesserungen des Booth-Algorithmuses Verbesserungen beruhen darauf das viele 0 in den positiven Zahlen und viele 1 am Anfang von negativen Zahlen stehen VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Division 168 / 6 = 28 Rest 0 172 / 6 = 28 Rest 4 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Fragen? VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Fliesskomma/Gleitkommazahlen
f = s · m · 2^e F = Fliesskommazahl, z.B. 0,345 S = Vorzeichenbit (1 Bit) M = Mantisse (23 bzw. 52 Bit) E = Exponent ( 8 bzw. 11 Bit) Normalisierung notwendig 2,0 * 10^1 = 0,2* 10^2 = 20* 10^0 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Dezimalzahl nach Binärzahl
11,25 = Exponent muss so gewählt werden, dass die Mantisse eine Zahl zwischen 1 und 2 erhält Bildung des 2er Logarithmus Log(11,25) = 3,..... Damit dieser Exponent nicht negativ wird wird 2^Bitanzahl Exponent-1 hinzuaddiert (hier also 128-1=127) Mantisse = (11,25/2^3 - 1) *2^{23} = (1, ) * 2^23 = > VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

IEEE754 Einfache Genauigkeit
0 < e < 255 =⇒ x = (−1)v · 1.m · 2e−127 Normale reelle Zahl e = 0, m = 0 =⇒ x= Null e = 0, m = 0 =⇒ x = (−1)v · 0.m · 21−127 Nichtnormalisierte Zahl e = 255, m = 0 =⇒ x = (−1)v · ∞ Unendlich e = 255, m = 0 =⇒ x = NAN Not a Number, keine Zahl Genauigkeit 15 Stellen Dies bedeutet nicht 15 Nachkommastellen, sondern z.B.: ,12345 das alle weiteren Nachkommastellen „ungenau“ sind VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Fragen VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Digitale Schaltungstechnik
NOT (Invertierer) AND (*) Konjunktion OR (+) Disjunktion XOR NAND NOR Konjungierte Normalform Disjunktierte Normalform VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Standardisierung von Schaltungen
Gängige Normen: International Electrotechnical Commission (IEC) Norm ist Standard US ANSI IEEE Alternativer Standard DIN (Deutsche Industrie Norm) Wurde durch die DIN-Norm ersetzt VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

AND Schaltsymbole: IEC ANSI DIN Stellt eine Multiplikation dar Schreibweise AB bzw Logisch: A ^ B Fachbegriff: Konjunktion VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

OR Schaltsymbole: IEC ANSI DIN Stellt eine Addition dar Schreibweise A+B bzw Logisch: A V B Fachbegriff: Disjunktion VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

XOR Schaltsymbole: IEC ANSI DIN Es darf nur genau ein Eingang wahr sein VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

NAND Schaltsymbole: IEC ANSI DIN Häufiger Baustein in der Halbleitertechnik Sheffer-Operation Sheffer hat nachgewiesen, dass man alle logischen Operatoren mit NANDs realisieren kann VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

NOR Schaltsymbole: IEC ANSI DIN Häufiger Baustein in der Halbleitertechnik Peirce-Operation Peirce hat die Grundlagen für Sheffer gelegt VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Überblick VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Wahrheitstafeln Wahrheitstabellen werden verwendet um Boole'sche Funktionen zu definieren, und / oder sie darzustellen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen steigt exponentiell mit der Anzahl der Eingangsvariablen an => 2 ^Anzahl der Eingangsvariablen Anwendung auf Funktionen mit nur wenigen (4) Eingangsvariablen beschränkt. Zur Vereinheitlichung von Wahrheitstabellen stehen auf der linken Seite die Zahlen als Binärcode da VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Wahrheitstabellebeispiel

Konjugierte Normalform
Eine Formel der Aussagenlogik ist in konjunktiver Normalform, wenn sie eine Konjunktion von Disjunktionstermen ist. Disjunktionsterme sind dabei Disjunktionen von Literalen. Literale sind nichtnegierte oder negierte Variablen. Eine Formel in KNF hat also die Form Beispiel: VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Disjunktive Normalform
Eine Formel der Aussagenlogik ist in disjunktiver Normalform, wenn sie eine Disjunktion von Konjunktionstermen ist. Ein Konjunktionsterm wird ausschließlich durch die konjunktive Verknüpfung von Literalen gebildet. Literale sind dabei nichtnegierte oder negierte Variablen. Eine Formel in DNF hat also die Form VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Beispiel VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

De Morgansche Regeln DeMorgan hat die Gesetze für die Umformung von logischen Aussagen formuliert VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Fragen VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Halbaddierer VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Schaltbild Halbaddierer

Volladdierer VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Schaltbild Volladdierer

4-Bit-Addierer VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Probleme: Hazards Übergang 111 zu 110 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Lösung zusätzliche Gatter

FPGA VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Flip-Flops Flip-flops dienen als Speicher eines Bits Werden häufig als Registerbausteine eingesetzt Genauer Aufbau wird bei der Architektur des Prozessors besprochen werden VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Frage VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

KV-Diagramme VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

Beispiele für Karnaugh-Diagramme

Beispiel einer Schaltung

Optimierte Schaltung durch Bildung von Blöcken

7-Segment-Anzeige 7-Segmentanzeigen Häufiger Einsatz in Digitaluhren und Taschenrechnern Zur Darstellung der Zahlen von 0-9 Werden wieviele Bits als Eingänge benötigt? Werden wieviele Bits zur Ansteuerung der Anzeige benötigt? Übung: Wahrheitstabelle Übung: Minimale Schaltung durch Anwendung von KV-Diagrammen und KNF bzw DNF VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger

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