Abiturprüfung Mathematik 2015 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 2 Lösungen der Aufgaben A 2.1 und A 2.2 klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Aufgabe A 2.1 Die Entwicklung einer Population in den Jahren 1960 bis 2020 lässt sich durch zwei Funktionen modellhaft beschreiben. Die Funktion 𝑔 mit 𝑔 𝑡 =400+20⋅ 𝑡+1 2 ⋅ 𝑒 −0,1𝑡 beschreibt die Geburtenrate und die Funktion 𝑠 mit 𝑠 𝑡 =600+10⋅ 𝑡−6 2 ⋅ 𝑒 −0,09𝑡 beschreibt die Sterberate der Population (𝑡 in Jahren seit Beginn des Jahres 1960, 𝑔 𝑡 und 𝑠 𝑡 in Individuen pro Jahr). Bestimmen Sie die geringste Sterberate. In welchem Jahr war die Differenz aus Geburten- und Sterberate am größten? Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat. (4 VP)

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20 000 Individuen. Berechnen Sie den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 2017. In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 1960? (3 VP)

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Betrachten wir nun das Größenwachstum eines einzelnen Individuums der Population. Dies kann im Beobachtungszeitraum durch das Gesetz des beschränkten Wachstums modelliert werden. Man geht davon aus, dass dieses Individuum in ausgewachsenen Zustand 0,8 m groß ist. Zu Beobachtungsbeginn betragen seine Größe 0,5 m und seine momentane Wachstumsgeschwindigkeit 0,15 m pro Jahr. Bestimmen Sie eine Gleichung einer Funktion, die die Körpergröße des Individuums in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen? (4 VP)

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Aufgabe A 2.2 Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt 𝑂 0 0 und die Funktion 𝑓 mit 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 2 +1 . Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte des Kreises mit dem Graphen von 𝑓 in Abhängigkeit vom Kreisradius. (4 VP)

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Lösung Aufgabe A 2.1 a) Geringste Sterberate Geben Sie zunächst die Funktion 𝑔 bei Y1 und s bei Y2 im GTR ein. Lassen Sie sich den Graphen von 𝑠 im 𝑥-Intervall 0;60 und im 𝑦-Intervall 0;1500 zeichnen. Über 2ND CALC minimum erhalten Sie den kleinsten Wert bei 𝑥=6 und 𝑦=600. Ergebnis: Die geringste Sterberate liegt 6 Jahre nach Beobachtungsbeginn vor, also 1966, und liegt bei 600 Individuen pro Jahr. 𝑠 𝑡 =600+10⋅ 𝑡−6 2 ⋅ e −0,09𝑡

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Größte Differenz zwischen Geburten- und Sterberate Geben Sie bei Y3 Y1(X)-Y2(X) den Ausdruck und lassen Sie sich den Graphen im 𝑥-Intervall 0;60 zeichnen. Über 2ND CALC maximum erhalten Sie den größten Wert bei 𝑥≈15,1 und 𝑦≈732,5. Ergebnis: Die größte Differenz zwischen Geburten- und Sterberate lag im Jahr 1975 vor und betrug 732 Individuen.

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat Lassen Sie den Graphen von Y3 noch einmal zeichnen. Dieser gibt die Zu- bzw. Abnahme der Population wieder. Verwenden Sie diesmal jedoch das 𝑦-Intervall [−500;1000]. An den Stellen, an denen der Graph oberhalb der 𝑥-Achse verläuft, also zwischen den beiden Nullstellen, nimmt die Population zu. Mit 2ND CALC zero bestimmen Sie die beiden Nullstellen mit 𝑥 1 =3,2 und 𝑥 2 =45,3. Ergebnis: Zwischen den Jahren 1963 und 2005 hat die Population zugenommen.

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Lösung Aufgabe A 2.1 b) Population zu Beginn des Jahres 2017 Die Funktion 𝑧 𝑥 =𝑔(𝑥)−𝑠 𝑥 ist die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate, stellt also den Zuwachs der Population im Jahr 𝑥 nach 1960 dar. Die Population betrug im Jahr 1960 20.000 Individuen also ist 𝑝=20000+ 0 57 𝑧 𝑥 𝑑𝑥 ≈35636 Die Funktion 𝑧(𝑥) wurde bereits im GTR bei Y3 eingegeben. Sie können 𝑝 wie in der Abbildung gezeigt eingeben. Ergebnis: Zu Beginn des Jahres 2017 besteht die Population aus 35.636 Individuen.

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 𝟏𝟗𝟔𝟎? Der Ausdruck 𝑝=20000+ 0 𝑡 𝑧 𝑥 𝑑𝑥 stellt den Bestand der Population 𝑡 Jahre nach 1960 dar (siehe letzte Teilaufgabe). 1960 gab es 20.000 Individuen. Gesucht ist somit ein 𝑡, so dass 0 𝑡 𝑧 𝑥 𝑑𝑥 =0 wird. Geben Sie dazu den rechts gezeigten Ausdruck bei Y4 ein und lassen Sie sich den Graphen von Y4 im 𝑥-Intervall 0;20 und im 𝑦-Intervall −500;1000 zeichnen. Mit 2ND CALC zero bestimmen Sie die Nullstelle bei 𝑥≈6,8. Ergebnis: Gegen Ende des Jahres 1966 erreicht die Population erstmals wieder den Bestand von 1960.

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Lösung Aufgabe A 2.1 c) Funktionsgleichung für das Wachstum eines Individuums Die Formel für größenbeschränktes Wachstum lautet 𝐼. 𝑓 𝑡 =𝑆−𝑐⋅ 𝑒 −𝑘𝑡 und die zugehörige Differenzialgleichung ist 𝐼𝐼. 𝑓‘ 𝑡 =𝑘⋅ 𝑆−𝑓 𝑡 . Aus der Aufgabe kennen wir bereits 𝑆=0,8 (die maximale Größe). Zu Beobachtungsbeginn ist das Individuum 0,5m groß, d.h. 𝑓(0)=0,5. Eingesetzt in 𝐼. liefert dies 0,5=0,8−𝑐⋅ 𝑒 −𝑘⋅0 ⇔0,5=0,8−𝑐⇔𝑐=0,3. Bei Beobachtungsbeginn ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit 0,15m, d.h. 𝑓‘ 0 =0,15. Zusammen mit 𝑆=0,8 und 𝑓 0 =0,5 setzen wir dies in 𝐼𝐼. ein und erhalten dadurch 𝑘: 𝑓‘ 0 =𝑘⋅ 𝑆−𝑓 0 ⇔0,15=𝑘⋅ 0,8−0,5 =𝑘⋅0,3 ⇒𝑘= 1 2

𝐼. 𝑓 𝑡 =𝑆−𝑐⋅ 𝑒 −𝑘𝑡 Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Wir haben nun insgesamt 𝑆=0,8, 𝑐=0,3 und 𝑘= 1 2 . Dies setzen wir in 𝐼. ein und bekommen die Funktionsgleichung für das Wachstum. Ergebnis: Die Funktionsgleichung für das Wachstum eines Individuums lautet 𝑓 𝑡 =0,8−0,3⋅ 𝑒 −0,5𝑡 .

𝑓 𝑡 =0,8−0,3⋅ 𝑒 −0,5𝑡 Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen? Bei Beobachtungsbeginn war die Größe 0,5m. Nach einem 50%-igen Zuwachs hat das Individuum eine Größe von sind 0,75m, d.h. wir suchen einen Zeitpunkt 𝑡 so dass 𝑓(𝑡)=0,75 gilt. Eingesetzt in das Wachstumsgesetz und Auflösen nach 𝑡 liefert: 0,75=0,8−0,3⋅ 𝑒 −0,5𝑡 |−0,8 ⇒ −0,05=−0,3⋅ 𝑒 −0,5𝑡 |:−0,3⇒ 1 6 = 𝑒 −0,5𝑡 |ln ⇒ ln 1 6 =−0,5𝑡 | : − 1 2 ⇒ 𝑡=−2⋅ ln 1 6 ≈3,58 Ergebnis: Etwa 3,6 Jahre nach Beobachtungsbeginn hat das Größenwachstum des Individuums um 50% zugenommen.

𝑓 𝑥 = 4 𝑥 2 +1 𝑂 0 0 Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Lösung Aufgabe A 2.2 Anzahl gemeinsamer Punkte in Abhängigkeit von r Der Abstand eines Punktes 𝑃 𝑢 𝑓 𝑢 auf dem Graphen von 𝑓 zum Ursprung ist gegeben durch 𝑑(𝑢)= 𝑢 2 +𝑓 𝑢 2 = 𝑢 2 + 16 𝑢 2 +1 2 Geben Sie diesen Ausdruck bei Y1 im GTR ein und bestimmen Sie mit 2ND CALC minimum den minimalen Abstand. Sie erhalten 𝑑 min ≈1,94. Ein Kreis im Ursprung mit Radius 𝑟= 𝑑 min =1,94 berührt somit den Graphen von 𝑓 an zwei Punkten. Für 𝑟<1,94 ist der Kreis zu klein und es gibt keine Schnittpunkte. 𝑦 𝑃 𝑢 𝑓 𝑢 𝑟 𝑥

Wahlteil 2015 – Analysis A 2 Berührt der Kreis den Hochpunkt 𝐻(0|4) des Graphen von 𝑓, so hat der Kreis den Radius 𝑟=4 und es gibt nur drei Schnittpunkte, siehe Abb. rechts. Für 𝑟>4 gibt es nur noch zwei Schnittpunkte. Für 1,94<𝑟<4 erhalten wir vier Schnittpunkte. Wir fassen das Ergebnis tabellarisch zusammen. Ergebnis: 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 2 +1 𝑦 𝑥 𝐾 1 𝐾 2 𝐾 3 𝐾 4 𝐾 5 Kreis Radius r Anzahl Schnittpunkte 𝐾 1 𝑟<1,94 𝐾 2 𝑟=1,94 2 𝐾 3 1,94<𝑟<4 4 𝐾 4 𝑟=4 3 𝐾 5 𝑟>4