Übersicht Etwas Mathematik (ganz ohne geht es nicht). 3 Beispiele aus dem Buch von Kahneman „Schnell denken, langsam denken“. Noch 2 Beispiele mit verblüffenden Resultaten. 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Vorurteil Wir kennen den Spruch: „Traue keiner Statistik, die Du nicht selber gefälscht hast“. Aber der Fehler liegt oft darin, dass eine Statistik falsch ausgewertet wird. Mit oder ohne böse Absichten... 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Kahneman Wir haben Mühe, statistisch zu denken. Statistik und Psychologie: Studenten in Psychologie lernen gar nichts, wenn man ihnen ein überraschendes statistisches Beispiel über das menschliche Verhalten präsentiert. Sie sind nur beeindruckt, aber sie verändern ihre Denkweise nicht. Hingegen wenn man die Studenten überrascht, indem man ihnen das Verhalten einzelner Menschen präsentiert, verstehen sie die Botschaft. Sie sind nur auf diese Art lernfähig, reine Statistik bewirkt nichts! 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Worum geht es? Bei der Statistik geht es darum, natürlich vorhandene, zufällige Schwankungen abzuschätzen und zu unterscheiden von systematischen Zusammenhängen. Gesetz der grossen Zahl: Die statistischen Schwankungen werden kleiner mit wachsendem Umfang der Stichprobe. 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Gaussverteilung Beispiel: Anteil der Buben bei Geburten in einem Spital. N = 100 = Anzahl Geburten = Grösse der Stichprobe. p = 0.5 = Wahrscheinlichkeit, dass es ein Bube wird. Wie gross ist die Chance, dass es mehr als x = 60 Buben gibt? Die Verteilung in x wird durch die Gaussverteilung angenähert. Diese wird durch nur 2 Parameter charakterisiert: Mittelwert μ = N * p = 100 * 0.5 = 50 und Streuung σ oder Varianz σ2 = N * p * (1-p) = 100 * 0.5 * 0.5 = 25 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Gaussverteilung grafisch x pm(x) Mehr als 60 Buben 2.5 % x p(x) Mehr als 60 Buben 2.5 % 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Breite der Gaussverteilung p=0.5, μ=0, σ=0.5*√N: σ für die Breite der Kurve x pm(x) Fläche unter jeder Kurve ist 1 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Genauigkeit Die Wahrscheinlichkeit, dass das Resultat innerhalb eines symmetrischen Bereichs um den Mittelwert liegt, hängt nur von σ ab. Die Breite der Gausskurve wird durch σ bestimmt. innerhalb von +/- σ liegen 68% innerhalb von +/- 2σ liegen 95% innerhalb von +/- 3σ liegen 99% 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Beispiel: Geburten Kahneman Anzahl der Buben bei Geburten in grossem/kleinem Spital: Anzahl Geburten N 100 10’000 Anzahl Buben μ 50 5000 Streuung σ 5 Bereich 2σ um μ 50+/-10 5000+/-100 +/-2σ relativ zu N 20% 2% relative Anzahl Buben mit 95% Sicherheit 40%-60% 49%-51% Wenn man die Wochen zählt, in denen mehr als 60% Buben geboren werden, dann kommt das in einem kleineren Spital viel häufiger vor (rein statistisch)! 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Grafik 1 Beispiel Geburten Relativ zur Grösse der Stichprobe liegt das Resultat mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% innerhalb von 20% bei N=100 2% bei N=10000 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Grafik 2 Beispiel Geburten Relativ zur Grösse der Stichprobe liegt das Resultat mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% innerhalb von 20% bei N=100 2% bei N=10‘000 20% 2% 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Gesetz der grossen Zahl Die Breite der Verteilung nimmt zwar mit grossem N zu, aber prozentual gesehen, d.h. relativ zu N, nimmt sie ab! N = Grösse der Stichprobe Wir betrachten nun den prozentualen Anteil der Buben xrelativ = x/N Relativ zu N gesehen sind somit Extremwerte der Abweichungen vom Mittelwert bei kleinem N häufiger, und zwar grosse sowie kleine Extreme. 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Beispiel Geburten relativ Prozentual gesehen, d.h. relativ zur Grösse N der Stichprobe, wird die Verteilung schmaler bei grossem N. Mit der Wahl von N kann man den statistischen Fehler so klein wie nötig einstellen. Anteil Buben Bei N = 10000 gibt es „nie“ >60% Buben. 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Beispiel: Krankheit Kahneman Krankheit tritt bei p=5% aller Leute auf, Erfassung pro Dorf. Wenn man schaut, in welchen Dörfern die Krankheit am häufigsten auftritt, so sind das immer die kleinen Dörfer (rein statistisch)! Aber es gilt auch das Gegenteil: in den kleinen Dörfern tritt die Krankheit genauso auch am seltensten auf. Je nachdem, was man bevorzugt, wählt man das eine oder das andere Resultat! N Einwohner 100 10000 μ Kranke im Dorf 5 500 Streuung σ 2 20 Bereich 2σ um μ 5+/- 4 500+/- 40 +/- 2σ relativ zu N 8% 0.80% Anzahl Kranke im Dorf prozentual (95% Sicherheit) 1%-9% 4.6%-5.4% 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Grafik Beispiel Krankheit 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Beispiel: Intuition Kahneman Tatsache ist: 3% aller Studenten sind Computer Wissenschaftler. Wir kennen den Studenten Tom. Aus unseren Kenntnissen von Tom ist unsere intuitive Schätzung 80%, dass Tom dieses Fach studiert. Nach dem Satz von Bayes ergibt sich für uns die Wahrscheinlichkeit p, dass Tom wirklich dieses Fach studiert, durch: Die Verrechnung der 80% Intuition mit den 3% Tatsache ergibt eine Wahrscheinlichkeit von nur 11%! Wir vertrauen meist der Intuition zu viel. 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Erklärung Beispiel Intuition 3% 97% Statistik 80% 20% Intuitive Gewichtung 80%*3% 20%*97% Resultierende Gewichte Nach der Gewichtung muss neu normiert werden, da 3% * 80% + 97% * 20% = 0.218 ≠ 1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten beider Fälle muss aber 1 sein, daher müssen die resultierenden Gewichte durch diesen Wert geteilt werden, um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten. 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Pause Optische Illusion: Spirale Wir glauben, was wir mit eigenen Augen sehen, sei reell. Aber das Hirn muss sehr viel rechnen, damit wir sehen. Und es kann uns dabei täuschen. 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Beispiel: 2 Versuchsreihen Bei einem Impftest werden von einer Pharmafirma 2 Versuchsreihen durchgeführt mit je 2 Gruppen. Anzahl Probanden Reihe 1 Reihe 2 Summe Probanden gesamt 260 170 430 Geimpfte Gruppe 20 50 70 davon erkrankt 10 40 erkrankt prozentual 50% 80% 71% Nicht geimpfte Gruppe 240 120 360 140 100 58% 83% 67% Pro Reihe erkrankten mehr der nicht geimpften. Wenn man aber beide Reihen zusammenzählt, erkrankten mehr der geimpften! Simpson Paradox Dies ist möglich, weil das Verhältnis der Gruppengrössen „geimpft“ zu „nicht geimpft“ nicht gleich ist in beiden Reihen. 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Erklärung zu 2 Versuchsreihen Wenn die beiden geimpften Gruppen nicht gleich gross sind, dann ist das prozentuale Ergebnis der Summe irgendwo im Bereich zwischen den beiden einzelnen Werten, abhängig vom Verhältnis der beiden Gruppengrössen, die Gewichtungen entsprechen. 50% 60% 70% 80% Geimpfte Reihe 1 Reihe 2 Nicht geimpfte Legende: Prozentuale Werte der Einzelgruppen Möglicher Bereich für den prozentualen Wert der Summe Prozentualer Wert der Summe 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Beispiel: Krankheitsdiagnose Bei jedem Test gibt es 2 Fehlerquellen: Der Test kann positiv sein bei Gesunden, oder er kann negativ sein bei Kranken. Positiv heisst, der Test diagnostiziert Krankheit. Beispiel: Wie gut ist folgender Test? Eine Krankheit tritt bei P(A)=0.1% aller Leute auf. Bei P(B|A)=98% ist der Test positiv bei Kranken. Bei P(B|Ā)=3% ist der Test positiv bei Gesunden. (A: Leute sind krank, Ā: Leute sind gesund, B: Test ist positiv) Frage: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit p, dass eine Testperson krank ist, wenn der Test positiv ist? Von 1000 Leuten ist 1 krank, aber 30 werden fehldiagnostiziert. Oder etwas genauer nach dem Satz von Bayes: 27. Mai 2019 Statistik Beispiele

Erklärung Krankheitsdiagnose A: Kranke A: Gesunde B: Test positiv Also 96.8% sind Fehldiagnosen, obwohl die Zahlen des Tests intuitiv relativ vertrauenswürdig zu sein scheinen (Problem bei Mammografie)! 27. Mai 2019 Statistik Beispiele