Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Aufgabe B 1.1 In einem Koordinatensystem beschreiben die Punkte 𝐴 15 0 0 , 𝐵 15 20 0 , und 𝐶 0 20 6 Eckpunkte der rechteckigen Nutzfläche einer Tribüne (alle Koordinatenangaben in Meter). Die 𝑥 1 𝑥 2 -Ebene stellt den Erdboden dar. Die Eckpunkte der Dachfläche liegen vertikal über den Eckpunkten der Nutzfläche. Die Dachfläche liegt in der durch 𝐸: 𝑥 1 −3 𝑥 3 =−27 beschriebenen Ebene (siehe Abbildung). 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝐴 𝐵 𝐶 1

Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Nutzfläche liegt. Berechnen Sie den Neigungswinkel der Nutzfläche gegen den Erdboden. Ermitteln Sie den Inhalt der Nutzfläche. (4 VP)

Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Aus Sicherheitsgründen muss die senkrecht zum Boden verlaufende Rückwand zwischen der Nutzfläche und der Dachfläche mindestens 2,5 m hoch sein. Überprüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist. Zur Installation von Lautsprechern wird eine 5,2 m lange, senkrecht zum Erdboden verlaufende Stütze montiert. Ihre Enden werden an der Kante 𝐵𝐶 und am Dach der Tribüne fixiert. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes auf der Kante 𝐵𝐶, in dem das untere Ende der Stütze fixiert wird. (4 VP)

𝐴 15 0 0 𝐵 15 20 0 𝐶 0 20 6 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Lösung a) Koordinatengleichung der Ebene in der die Tribüne liegt Mit Hilfe der Punkte 𝐴, 𝐵 und 𝐶 kann man die beiden Richtungsvektoren 𝐵𝐴 und 𝐵𝐶 bestimmen: 𝐵𝐴 = 15 0 0 − 15 20 0 = 0 −20 0 𝐵𝐶 = 0 20 6 − 15 20 0 = −15 0 6 𝐴 𝐵 𝐶

𝐵𝐴 = 0 −20 0 𝐵𝐶 = −15 0 6 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Mit dem Kreuzprodukt 𝐵𝐴 × 𝐵𝐶 lässt sich aus den beiden Richtungsvektoren ein Normalenvektor bestimmen: 0 −20 0 0 −20 0 −15 0 6 −15 0 6 𝐵𝐴 × 𝐵𝐶 = −20⋅6 0 0 − 0 0 −20⋅ −15 = −20⋅6 0 20⋅ −15 Da es bei einem Normalenvektor nicht auf die Länge ankommt, teilen wir zunächst durch −20 und anschließend durch 3 und erhalten: 𝑛 = 2 0 5 .

𝑛 = 2 0 5 𝐴 15 0 0 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Mit dem Normalenvektor lässt sich nun eine Koordinatengleichung der Ebene aufstellen, nämlich 𝐹: 2 𝑥 1 +5 𝑥 3 =𝑑 mit einem noch unbekannten 𝑑. Da wir aber wissen, dass beispielsweise der Punkt 𝐴 in der Ebene liegt, können wir 𝐴 einsetzen und erhalten 2⋅15+5⋅0=30=𝑑. Damit haben wir die Ebenengleichung komplett. Ergebnis: Eine Koordinatengleichung der Ebene in der die Tribüne liegt lautet 𝐹: 2 𝑥 1 +5 𝑥 3 =30.

𝐹: 2 𝑥 1 +5 𝑥 3 =30 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Neigungswinkel von 𝑭 bezüglich des Erdbodens Für den Winkel zwischen zwei Ebenen verwendet man die Winkelformel cos 𝛼 = | 𝑛 1 ⋅ 𝑛 2 | 𝑛 1 ⋅| 𝑛 2 | wobei 𝑛 1 und 𝑛 2 die Normalenvektoren der beiden Ebenen sind. In unserem Fall ist 𝑛 1 = 2 0 5 der Normalenvektor der Ebene 𝐹. Ein Normalenvektor für die Bodenfläche (die 𝑥 1 𝑥 2 -Ebene) ist z.B. 𝑛 2 = 0 0 1 . Es gilt 𝑛 1 ⋅ 𝑛 2 = 2⋅0+0⋅0+5⋅1 =5 sowie 𝑛 1 = 2 2 + 5 2 = 29 und 𝑛 2 =1.

𝑛 1 = 29 𝑛 2 =1 𝑛 1 ⋅ 𝑛 2 =5 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Einsetzen in die Winkelformel cos 𝛼 = | 𝑛 1 ⋅ 𝑛 2 | 𝑛 1 ⋅| 𝑛 2 | liefert cos 𝛼 = 5 29 ≈0,92848. Mit dem GTR (siehe Abbildung rechts) erhält man daraus den Neigungswinkel 𝛼≈21,8°. Ergebnis: Die Tribüne ist um etwa 21,8° gegen den Boden geneigt. Hinweis: Vergessen Sie nicht, den GTR in den Modus DEGREE umzuschalten!

𝐴 15 0 0 𝐵 15 20 0 𝐶 0 20 6 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Inhalt der Nutzfläche An den Koordinaten der Punkte 𝐴, 𝐵 und 𝐶 kann man erkennen, dass die Tribüne rechtwinklig ist. Wir haben also lediglich die Fläche eines Rechtecks zu berechnen. Es gilt 𝐴𝐵 = 15 20 0 − 15 0 0 = 0 20 0 , d.h. 𝐴𝐵 =20. Weiterhin gilt 𝐵𝐶 = 0 20 6 − 15 20 0 = −15 0 6 , d.h. 𝐵𝐶 = −15 2 + 6 2 = 261 . 𝐶 𝐴 𝐵

𝐴𝐵 =20 𝐵𝐶 = 261 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Der Flächeninhalt des Rechtecks ist somit gegeben durch: 𝐴=20⋅ 261 ≈323,1 Ergebnis: Die Tribüne hat eine Nutzfläche von etwa 323 m².

𝐶 0 20 6 𝐸: 𝑥 1 −3 𝑥 3 =−27 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Lösung b) Werden die Sicherheitsbestimmungen eingehalten? Wir formulieren die Frage einfach um: Liegt die Dachfläche mindestens 2,5 m über dem hinteren Rand der Tribüne? Der Punkt 𝐷 der Dachfläche liegt senkrecht über dem Punkt 𝐶. Somit hat 𝐷 dieselbe 𝑥 1 - und dieselbe 𝑥 2 -Koordinate wie 𝐶. Wir setzen daher die 𝑥 1 - und die 𝑥 2 -Koordinate von 𝐶 in die Ebenengleichung 𝐸 ein und bestimmen daraus die Höhenkoordinate 𝑥 3 des Punktes 𝐷 und damit die des Dachs. Es folgt 0−3 𝑥 3 =−27 also 𝑥 3 =9. 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝐴 𝐵 𝐶 1 𝐷 ≥2,5?

𝐶 0 20 6 𝐸: 𝑥 1 −3 𝑥 3 =−27 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Der Punkt 𝐷 hat die Koordinaten 𝐷 0 20 9 . Das Dach liegt drei Meter über der Nutzfläche, d.h. die Rückwand zwischen der Nutzfläche und des Dachs ist überall 3 m hoch. Ergebnis: Die Sicherheitsbestimmung, die eine Mindesthöhe der Rückwand von 2,5 m verlangt, wird eingehalten.

𝐵 15 20 0 𝐶 0 20 6 𝐸: 𝑥 1 −3 𝑥 3 =−27 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Verankerungspunkt der Stütze Wir konstruieren uns eine zum Dach (genauer gesagt zur Ebene 𝐸) parallele Hilfsebene 𝐻, die genau 5,2 m unterhalb des Dachs liegt. Danach bestimmen wir eine Geradengleichung für die Gerade 𝑔, auf der die Kante 𝐵𝐶 liegt. Schließlich bestimmen wir den Schnitt von 𝑔 mit 𝐻 und erhalten so den Verankerungspunkt 𝑉. 𝐴 𝐵 𝐶 Stütze 5,2 m 𝑉 𝐸 𝐻

𝐸: 𝑥 1 −3 𝑥 3 =−27 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Schritt 1: Konstruktion der Hilfsebene 𝑯 Da 𝐻 parallel zu 𝐸 sein soll, können wir den Normalenvektor von 𝐸 für 𝐻 verwenden. Wir können also 𝐻: 𝑥 1 −3 𝑥 3 =𝑑 mit einem noch unbekannten 𝑑 ansetzen. Nun suchen wir uns einen beliebigen Punkt 𝑃 auf der Ebene 𝐸, indem wir z.B. 𝑥 1 = 𝑥 2 =0 setzen und aus der Ebenengleichung von 𝐸 𝑥 3 bestimmen. Wir erhalten 0−3 𝑥 3 =−27 also 𝑥 3 =9. Somit ist 𝑃 0 0 9 ein Punkt auf 𝐸. Der Punkt 𝑃‘ 0 0 3,8 , der 5,2 m unter 𝑃 liegt muss damit ein Punkt der Hilfsebene 𝐻 sein. Wenn wir die Koordinaten von 𝑃‘ in 𝐻 einsetzen erhalten wir 𝑑 und damit die komplette Gleichung von 𝐻. Es folgt 0−3⋅3,8=−11,4=𝑑 und damit 𝐻: 𝑥 1 −3 𝑥 3 =−11,4.

𝐵 15 20 0 𝐶 0 20 6 𝐻: 𝑥 1 −3 𝑥 3 =−11,4 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Schritt 2: Aufstellen der Geradengleichung für die Kante 𝑩𝑪 Die Gerade 𝑔, auf der die Kante 𝐵𝐶 liegt ist gegeben durch 𝑔: 𝑥 = 𝑂𝐵 +𝑠⋅ 𝐵𝐶 Durch Einsetzen erhält man 𝑔: 𝑥 = 15 20 0 +𝑠⋅ −15 0 6 . Schritt 3: Schnitt von 𝒈 mit 𝑯 Ein Punkt auf 𝑔 hat die Koordinaten 15−15𝑠 20 6𝑠 . Diese setzen wir ein in 𝐻 und erhalten: 15−15𝑠 −18𝑠=−11,4 ⇔ 15−33𝑠=−11,4 ⇔ −33𝑠=−26,4 ⇔ 𝑠=0,8

𝑔: 𝑥 = 15 20 0 +𝑠⋅ −15 0 6 𝑠=0,8 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1 Schritt 4: Ermittlung der Koordinaten des Verankerungspunktes 𝑽 Einsetzen von 𝑠=0,8 in 𝑔 liefert 15 20 0 +0,8⋅ −15 0 6 = 3 20 4,8 . Ergebnis: Der Verankerungspunkt 𝑉 der Stütze hat die Koordinaten 𝑉(3 20 4,8).