Schnittwinkel bestimmen cos α = 𝑎 ⋅ 𝑏 ∣ 𝑎 ∣⋅∣ 𝑏 ∣ Winkel zwischen zwei Vektoren cos α = 𝑢 ⋅ 𝑣 ∣ 𝑢 ∣⋅∣ 𝑣 ∣ Winkel Gerade/Gerade sin α = ∣ 𝑛 ⋅ 𝑢 ∣ ∣ 𝑛 ∣⋅∣ 𝑢 ∣ Winkel Gerade/Ebene cos α = 𝑛 1 ⋅ 𝑛 2 ∣ 𝑛 1 ∣⋅∣ 𝑛 2 ∣ Winkel Ebene/Ebene

Unterschiede der Winkelformeln Winkel zwischen zwei Vektoren Winkel Gerade/Gerade cos α = 𝑎 ⋅ 𝑏 ∣ 𝑎 ∣⋅∣ 𝑏 ∣ cos α = 𝑢 ⋅ 𝑣 ∣ 𝑢 ∣⋅∣ 𝑣 ∣ 𝑢 𝑣 α 𝑎 𝑏 α Im Gegensatz zum Winkel zwischen zwei Vektoren ist der Winkel zwischen zwei Geraden immer der kleinste aller vorkommenden Winkel (daher die Betragsbildung im Zähler)!

Winkel Gerade - Ebene Wenn wir in die Winkelformel den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden einsetzen, so erhalten wir NICHT den Winkel 𝛼 zwischen 𝑔 und 𝐸! Wir erhalten vielmehr den Winkel 90°−𝛼. Wegen cos 90°−𝛼 = cos − −90°+𝛼 = cos −90°+𝛼 = cos 𝛼−90° = sin 𝛼 steht auf der linken Seite der Winkelformel diesmal nicht cos sondern sin! sin α = ∣ 𝑛 ⋅ 𝑢 ∣ ∣ 𝑛 ∣⋅∣ 𝑢 ∣

Rechenbeispiel 1 Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden 𝑔: 𝑥 = 2 4 2 +𝑟 5 1 1 und der Ebene 𝐸: 𝑥 = 4 1 0 +𝑠 2 2 3 +𝑡 1 3 3 . Lösung: Wir berechnen zunächst 𝑛 mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: 2 2 3 2 2 3 1 3 3 1 3 3 𝑛 = 𝑢 × 𝑣 = 6 3 6 − 9 6 2 = −3 −3 4

sin α = ∣ 𝑛 ⋅ 𝑢 ∣ ∣ 𝑛 ∣⋅∣ 𝑢 ∣ , 𝑛 = −3 −3 4 , 𝑢 = 5 1 1 Lösung ∣ 𝑛 ⋅ 𝑢 ∣= −15−3+4 =14 ∣ 𝑛 ∣= 9+9+16 = 34 ∣ 𝑢 ∣= 25+1+1 = 27 Einsetzen in die Winkelformel liefert: sin α = 14 34 ⋅ 27 ≈0,462 Es folgt α≈27,5° (mit dem GTR über 2ND sin-1)

Aufgabe Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden 𝑔: 𝑥 = 0 4 1 +𝑟 3 3 4 und der Ebene 𝐸: 𝑥 = 4 1 0 +𝑠 1 2 1 +𝑡 2 1 3 .

𝐸: 𝑥 = 4 1 0 +𝑠 1 2 1 +𝑡 2 1 3 𝑔: 𝑥 = 0 4 1 +𝑟 3 3 4 Lösung Wir berechnen zunächst 𝑛 mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: 1 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1 3 𝑛 = 1 2 1 × 2 1 3 = 6 2 1 − 1 3 4 = 5 −1 −3 Wegen ∣ 𝑛 ⋅ 𝑢 ∣= 15−3−12 =0 folgt sin α = ∣ 𝑛 ⋅ 𝑢 ∣ ∣ 𝑛 ∣⋅∣ 𝑢 ∣ =0 und damit α=0° (mit dem GTR über 2ND sin-1). Dies bedeutet, dass 𝑔 parallel zu 𝐸 verläuft oder komplett in 𝐸 liegt.

Rechenbeispiel 2 Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen 𝐸 1 : 𝑥 = 2 1 2 +𝑟 1 1 1 +𝑠 1 2 3 und 𝐸 2 : 𝑥 − 4 1 0 ⋅ 2 2 3 =0. Lösung: Wir berechnen zunächst einen Normalenvektor für 𝐸 1 : 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 𝑛 1 = 1 1 1 × 1 2 3 = 3 1 2 − 2 3 1 = 1 −2 1

Lösung ∣ 𝑛 1 ∣= 1+4+1 = 6 , ∣ 𝑛 2 ∣= 4+4+9 = 17 Mit 𝑛 1 = 1 −2 1 , 𝑛 2 = 2 2 3 folgt 𝑛 1 ⋅ 𝑛 2 =2−4+3=1 und ∣ 𝑛 1 ∣= 1+4+1 = 6 , ∣ 𝑛 2 ∣= 4+4+9 = 17 Einsetzen in die Winkelformel cos α = | 𝑛 1 ⋅ 𝑛 2 | ∣ 𝑛 1 ∣⋅∣ 𝑛 2 ∣ liefert cos α = 1 6 ⋅ 17 ≈0,099 Es folgt α≈84,3° (mit dem GTR über 2ND cos-1)

Aufgabe Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen 𝐸 1 : 𝑥 1 +2 𝑥 2 −2 𝑥 3 =4 und 𝐸 2 :8 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑥 3 =16.

Lösung ∣ 𝑛 1 ∣= 1 2 + 2 2 + −2 2 =3, ∣ 𝑛 2 ∣= 8 2 + 4 2 + 1 2 =9 cos α = 𝑛 1 ⋅ 𝑛 2 ∣ 𝑛 1 ∣⋅∣ 𝑛 2 ∣ Lösung 𝐸 1 : 𝑥 1 +2 𝑥 2 −2 𝑥 3 =4 𝐸 2 :8 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑥 3 =16 Mit 𝑛 1 = 1 2 −2 , 𝑛 2 = 8 4 1 folgt 𝑛 1 ⋅ 𝑛 2 =8+8−2=14 und ∣ 𝑛 1 ∣= 1 2 + 2 2 + −2 2 =3, ∣ 𝑛 2 ∣= 8 2 + 4 2 + 1 2 =9 Einsetzen in die Winkelformel cos α = 𝑛 1 ⋅ 𝑛 2 ∣ 𝑛 1 ∣⋅∣ 𝑛 2 ∣ liefert cos α = 14 3⋅9 ≈0,5185 Es folgt α≈58,8° (mit dem GTR über 2ND cos-1)