Vorlesung Eigenspannungen in Bauteilen und Werkstoffen

0. Inhalt/Organisatorisches Eigenspannungen (Ursachen, Auswirkungen, Einteilung, Messung, Beispiele, …) (1) Grundlagen der Elastizitätstheorie (tensorielle Eigenschaften von Kristallen) (2) Röntgenographische Verfahren (3-9) Messanordnungen (3) Bestimmung der Dehnungen (4) Beugungsverfahren – Euler-Wiege (5) Beugungsverfahren – Auswertung (6) Beugungsverfahren – streifender Einfall (7) Vom Dehnungstensor zum Spannungstensor - Anisotropie (8) Fehler bei der Spannungsbestimmung (9) nicht-röntgenographische Verfahren (10-11) Stokes-Gleichung (10) Ultraschalltechnik (11) Fragestunde (12) Literatur: Noyan, Cohen, Hauk, Welzel

3. Beugungsgeometrien Übung:

5. Beugungsverfahren II Was kann man mit Röntgenbeugung messen? Netzebenenabstände dfy Und was benötigt man zur Bestimmung des Spannungstensors skl? Dehnungen efy bzw eij Elastizitätstensor Cijkl bzw. Sijkl spannungsfreien Gitterparameter

5. Beugungsverfahren II Was kann man mit Röntgenbeugung messen? bisher nur ein Element des Spannungstensors ermittelt (sin2y-Methode mit streifendem Einfall) nun: Messungen um alle Elemente eine dreiachsigen Spannungszustandes zu ermitteln  c-Modus, typischerweise an einem Reflex sin2y-sin(2y)-Methode

Was kann man mit Röntgenbeugung messen? 5. Beugungsverfahren II Was kann man mit Röntgenbeugung messen? bisher nur ein Element des Spannungstensors ermittelt (sin2y-Methode mit streifendem Einfall) nun: Messungen um alle Elemente eine dreiachsigen Spannungszustandes zu ermitteln  c-Modus, typischerweise an einem Reflex sin2y-sin(2y)-Methode 𝜀 33 ′ 𝜙𝜓 = 𝑎 3𝑘 𝑎 3𝑙 𝜀 𝑘𝑙 = 𝑑 𝜙𝜓 − 𝑑 0 𝑑 0 = 𝜀 11 cos 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 12 sin 2𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 13 cos 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜀 22 sin 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 23 sin 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜀 33 cos 2 𝜓

5. Beugungsverfahren II Einschub: Anmerkungen zur Dehnungsmessung an Polykristallen 𝜀 𝑖𝑗 →〈 𝜀 𝑖𝑗 〉 Noyan, Cohen S. 136

5. Beugungsverfahren II sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene) generell gilt: efy ist weder linear in sin2y noch in sin2y  Zerlegen in einzelne Komponenten (separat zu messen) zur Erzeugung von Linearitäten Abtrennen der Scherkomponenten si3 Messung bei f = 0°, 45°, 90°, sowie Paaren von ±y 𝑎 𝜑+ ℎ𝑘𝑙 sin2 y 𝑚= 𝐴 𝜙 + 𝑎 𝜑− ℎ𝑘𝑙 sin 2y 𝑚= 𝐴 𝜙 − 𝜙=0°, 45°, 90°

sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene) 5. Beugungsverfahren II sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene) 𝜎 11 = 𝐴 0° + 1 2 𝑆 2 +〈 𝜎 33 〉 𝜎 12 = 1 1 2 𝑆 2 𝐴 45° + − 𝐴 0° + + 𝐴 90° + 2 𝜎 13 = 𝐴 0° − 1 2 𝑆 2 𝜎 22 = 𝐴 90° + 1 2 𝑆 2 +〈 𝜎 33 〉 𝜎 23 = 𝐴 90° − 1 2 𝑆 2 𝜎 33 = 1 1 2 𝑆 2 +3 𝑆 1 𝜀 𝜙0° − 𝑆 1 1 2 𝑆 2 𝐴 0° + + 𝐴 90° +

5. Beugungsverfahren II sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene) Wdh.: Was muss man messen? Welche Darstellungen muss man wählen? aussuchen einer Netzebene {hkl} Messen der Netzebenenabstände dfy bei 0°, 45°, 90° jeweils für 0 ≤ y ≤ 90 und -90 ≤ y ≤ 0 sowie d0y bei verschiedenen f-Winkeln: e0f zusammen mit d0 werden jeweils berechnet: e0°,y>0; e45°,y>0; e90°,y>0 e0°,y<0; e45°,y<0; e90°,y<0 daraus werden die Auftragungen a+f: a0°,y>0; a45°,y>0; a90°,y>0; gegen sin2y a-f: a0°,y<0; a90°,y<0; gegen sin(2y) ermitteln der zugehörigen Anstiege durch lineare Regression: A+f: A0°,y>0; A45°,y>0; A90°,y>0; A-f: A0°,y<0; A90°,y<0; Berechnen der sij aus den gegebenen Gleichungen (Achtung: Indizes beziehen sich auf das Probenkoordinatensystem)

5. Beugungsverfahren II sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene)

5. Beugungsverfahren II sin2y-sin2y-Methode (eine Netzebene) Anmerkungen bzgl. der praktischen Situation bis auf wenige Ausnahmen kann man davon ausgehen, dass s33 = 0 Messung von ef0 entfällt! mit jeder Spannungskomponente, welche zu 0 wird, vereinfacht sich die Auswertung dreiachsig: 6 unbekannte Komponenten (s11, s12, s22, s13, s23, s33) dreiachsig, Hauptspannungssystem: 3 unbekannte Komponenten (s11, s22, s33) zweiachsig: 3 unbekannte Komponenten (s11, s12, s22) zweiachsig, Hauptspannungssystem: 2 unbekannte Komponente (s11, s22) zweiachsig, rotationssymmetrisch: 1 unbekannte Komponente (s11) einachsig: 1 unbekannte Komponente (s11) die Auftragung a-f gegen sin2y entfällt, wenn s13 = s23 = 0  nur a+f vs. sin2y

5. Beugungsverfahren II Fourieranalyse (qualitativ) die Dehnung efy ist eine Funktion von f mit der Periode 2p  Fourierserie der 2. Ordnung in f 𝜀 𝜙𝜓 = 𝑛=0 2 𝐴 𝑛 𝜓 cos (𝑛𝜙) + 𝐵 𝑛 𝜓 sin (𝑛𝜙) mit den Fourier-Koeffizienten 𝐴 0 𝜓 = 𝜀 11 + 𝜀 22 sin 2 𝜓 +2 𝜀 33 cos 2 𝜓 𝐴 1 𝜓 = 𝜀 13 sin 2𝜓 𝐴 2 𝜓 = 1 2 𝜀 11 − 𝜀 22 sin 2 𝜓 𝐵 1 𝜓 = 𝜀 23 sin 2𝜓 𝐵 2 𝜓 = 𝜀 12 sin 2 𝜓

5. Beugungsverfahren II Fourieranalyse (qualitativ) über eine Fouriertransformation können die An(y) und Bn(y) aus den gemessenen efy (feste y-Winkel, 0 ≤ f ≤ 2p) berechnet werden 𝐴 𝑛 𝜓 = 1 𝜋 0 2𝜋 𝜀 𝜙𝜓 cos (𝑛𝜙) 𝑑𝜙 𝐵 𝑛 𝜓 = 1 𝜋 0 2𝜋 𝜀 𝜙𝜓 sin (𝑛𝜙) 𝑑𝜙 aus den vollständigen Messdaten für f bei 2 verschiedenen y Winkeln können alle 6 unabhängigen eij gewonnen werden mehr y-Winkel verbessern die statistische Relevanz (numerische Lösung) Spannungstensor: 𝜎 𝑖𝑗 = 1 1 2 𝑆 2 𝜀 𝑖𝑗 − 𝑆 1 1 2 𝑆 2 +3 𝑆 1 𝜀 11 + 𝜀 22 + 𝜀 33

Messungen an mehreren {hkl}-Netzebenen 5. Beugungsverfahren II Messungen an mehreren {hkl}-Netzebenen erlaubt Eigenspannungsmessung ohne y-Verkippung (aber auch mit ☺) es gibt spezielle Verfahren für zweiachsige: g(y, hkl)-Verfahren und rotationssymmetrische, zweiachsige Spannungszustände 𝑔 𝜓,ℎ𝑘𝑙 = 1 2 𝑆 2 ℎ𝑘𝑙 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 sin 2 𝜓 𝜀 0°𝜓 ℎ𝑘𝑙 = 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 𝑔 𝜓,ℎ𝑘𝑙 𝜎 11 + 𝜎 11 + 𝜎 22 f = 0° 𝜀 45°𝜓 ℎ𝑘𝑙 = 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 𝑔 𝜓,ℎ𝑘𝑙 𝜎 11 + 𝜎 22 2 + 𝜎 12 + 𝜎 11 +〈 𝜎 22 〉 f = 45° 𝜀 90°𝜓 ℎ𝑘𝑙 = 𝑆 1 ℎ𝑘𝑙 𝑔 𝜓,ℎ𝑘𝑙 𝜎 22 + 𝜎 11 + 𝜎 22 f = 90°

Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes - Hintergrund: 5. Beugungsverfahren II Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes - Hintergrund: 𝜀 33 ′ 𝜙𝜓 = 𝑎 3𝑘 𝑎 3𝑙 𝜀 𝑘𝑙 = 𝑑 𝜙𝜓 − 𝑑 0 𝑑 0 = 𝜀 11 cos 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 12 sin 2𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 13 cos 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜀 22 sin 2 𝜙 sin 2 𝜓 + 𝜀 23 sin 𝜙 sin 2𝜓 + 𝜀 33 cos 2 𝜓 ist ein lineares Gleichungssystem bei Messung von mehr als 6 efy kann dieses numerisch gelöst werden mindestens 6 efy müssen voneinander unabhängig sein, hinsichtlich der trigonometrischen Ausdrücke mit f und y lineare Regressionen werden nicht mehr benötigt

Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes 5. Beugungsverfahren II Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes Ziel: Minimierung des Unterschiedes c2 von Dehnungen, welche mit Hilfe der Grundgleichung berechnet wurden und solchen, die gemessen wurden (unter Berücksichtigung der Winkel f und y) 𝜒 2 = 𝑖 𝜔 𝑖 [ 𝜀 𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑐 𝜎 ,ℎ𝑘𝑙,𝜙,𝜓 − 𝜀 𝑖 𝑚𝑒𝑎𝑠 ℎ𝑘𝑙,𝜙,𝜓 ] → min Parameter: i…laufender Index für alle bei fi und yi gemessenen Dehnungen wi…Wichtung (z.B. Kehrwert der Standardabweichung für eimeas) sij…unbekannte Komponenten des Spannungstensors = Fitparameter

5. Beugungsverfahren II Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes Vorteile: direkte Aussage zu den Fehlern über wi größtmögliche Freiheit hinsichtlich der Wahl der f und y, sowie der Anzahl der gemessenen hkl einfache Auswertung über numerische Methoden (insbesondere bei elastisch anisotropen Materialien) erlaubt die Bestimmung der Spannungstensorkomponenten, wenn die sin2y-sin2y-Methode nicht möglich ist (z.B. fehlende Beugungslinien) bei vereinfachten Analysen [weniger als 6 unabhängige Tensorkomponenten), werden Parametereinschränkungen getroffen (constraints)] aus Gründen der Vergleichbarkeit sollten Ergebnisse der numerischen Analyse ebenfalls in Form von sin2y-Plots dargestellt werden  optische Verifizierung. „Was ist eigentlich in der Probe los?“

Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes 5. Beugungsverfahren II Numerische Analyse eines beliebigen Spannungszustandes Zircalloy 013 – Reflex quasiisotrop 5 unabh. Komponenten d0 angepaßt (muß bzgl. instrum. Fehler korrigiert werden) fit auf dfy-Ebene

5. Beugungsverfahren II Übung: Datensatz (gerechnet, 3 oder 5 Komponenten) vorgeben  sin2y-sin2y-Methode anwenden Rückrechnen auf sij