Abiturprüfung Mathematik 2015 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Pflichtteil 2015 Aufgabe 1: Bilden Sie die Ableitung der Funktion 𝑓 mit 𝑓 𝑥 = 4+ 𝑒 3𝑥 5 . (2 VP) Lösung: Verwende die Potenzregel und zweimal(!) die Kettenregel 𝑓 ′ 𝑥 =5 4+ 𝑒 3𝑥 4 ⋅ 𝑒 3𝑥 ⋅3=15 𝑒 3𝑥 4+ 𝑒 3𝑥 4

Pflichtteil 2015 Aufgabe 2: Berechnen Sie das Integral . (2 VP) Lösung: 0 𝜋 4𝑥−sin 1 2 𝑥 𝑑𝑥 = 4⋅ 1 2 𝑥 2 + cos 1 2 𝑥 ⋅ 1 1/2 0 𝜋 = 2 𝑥 2 +2 cos 1 2 𝑥 0 𝜋 = 2 𝜋 2 +0 − 0+2 =2 𝜋 2 −2 0 𝜋 4𝑥−sin 1 2 𝑥 𝑑𝑥

Pflichtteil 2015 Aufgabe 3: Lösen Sie die Gleichung 𝑥 3 −3𝑥 𝑒 2𝑥 −5 =0. (3 VP) Lösung: 𝑥 3 −3𝑥 𝑒 2𝑥 −5 =0 ⇒ I. 𝑥 3 −3𝑥=0 oder II. 𝑒 2𝑥 −5=0 I. 𝑥 3 −3𝑥=𝑥 𝑥 2 −3 =0 ⇒ 𝑥 1 =0 oder 𝑥 2 −3=0 ⇒ 𝑥 2 = 3 , 𝑥 3 =− 3 II. 𝑒 2𝑥 −5=0⇒ 𝑒 2𝑥 =5 ⇒2𝑥= ln 5 ⇒ 𝑥 4 = 1 2 ln 5 = ln 5 Ergebnis: 𝕃= 0; 3 ;− 3 ; ln 5 .

Pflichtteil 2015 Aufgabe 4: Der Graph einer ganzrationalen Funktionen 𝑓dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle 𝑥=2 die Tangente mit der Gleichung 𝑦=4𝑥−12. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von 𝑓. (4 VP)

Pflichtteil 2015 Lösung: Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die allgemeine Form: 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 3 +𝑏 𝑥 2 +𝑐𝑥+𝑑 Die Ableitung ist 𝑓′ 𝑥 =3𝑎 𝑥 2 +2𝑏𝑥+𝑐. Die Aussage, dass 𝑓 im Ursprung einen Hochpunkt hat, bedeutet sowohl I. 𝑓(0)=0 als auch II. 𝑓‘(0)=0. Damit folgt: I. 𝑎⋅0+𝑏⋅0+𝑐⋅0+𝑑=0, also 𝑑=0 und II.3𝑎⋅0+2𝑏⋅0+𝑐=0, also 𝑐=0.

𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 3 +𝑏 𝑥 2 +𝑐𝑥+𝑑 𝑓′ 𝑥 =3𝑎 𝑥 2 +2𝑏𝑥+𝑐 Pflichtteil 2015 An der Stelle 𝑥=2 hat 𝑓 die Tangente mit der Gleichung 𝑦=4𝑥−12. Die Steigung dieser Tangente ist 4, somit gilt III. 𝑓‘(2)=4. Setzen wir 𝑥=2 in die Tangente ein, erhalten wir die 𝑦-Koordinate des Punktes auf dem Graphen von 𝑓, an dem die Tangente anliegt, also 𝑦=−4. Somit gilt IV. 𝑓(2)=−4. Wir erhalten unter Berücksichtigung von 𝑐=𝑑=0: III. 12𝑎+4𝑏=4 und IV. 8𝑎+4𝑏=−4 III.−IV. liefert 4𝑎=8, also 𝑎=2. Eingesetzt in IV. folgt 16+4𝑏=−4 ⇒ 4𝑏=−20 ⇒ 𝑏=−5. Ergebnis: Die Funktionsgleichung für 𝑓 lautet 𝑓(𝑥)=2 𝑥 3 −5 𝑥 2 .

Pflichtteil 2015 Aufgabe 5: Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion 𝑓′ einer ganzrationalen Funktion. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. Der Graph von 𝑓 hat bei 𝑥=−3. einen Tiefpunkt. 𝑓 −2 <𝑓 −1 𝑓 ′′ −2 + 𝑓 ′ −2 <1 Der Grad der Funktion 𝑓 ist mindestens 4. (5 VP) 𝑦 3 2 1 𝑥 −3 −2 −1 1 −1

Pflichtteil 2015 Lösung (1) Für 𝑥<−3 ist 𝑓‘(𝑥)<0, für 𝑥>−3 ist 𝑓‘(𝑥)>0 , während 𝑓(3)=0 ist. Dies bedeutet, dass 𝑓 in 𝑥=−3 tatsächlich einen Tiefpunkt hat. Ergebnis: Die Aussage ist wahr. (2) Für −2≤𝑥≤−1 ist 𝑓‘ 𝑥 >0, d.h. die Funktionswerte von 𝑓 wachsen stetig an. Damit ist wie behauptet 𝑓 −2 <𝑓 −1 .

Pflichtteil 2015 (3) 𝑓‘ hat in 𝑥=−2 einen Hochpunkt, d.h. 𝑓 ′′ −2 =0. Den Funktionswert von 𝑓‘ an der Stelle 𝑥=−2 liest man mit 2 am Schaubild ab. Also ist 𝑓 ′ −2 =2 und damit folgt 𝑓 ′′ −2 + 𝑓 ′ −2 =2>1 Ergebnis: Die Aussage 𝑓 ′′ −2 + 𝑓 ′ −2 <1 ist falsch. (4) Der Graph von 𝑓′ hat zwei Extremstellen und ist damit mindestens vom Grad 3. Daher ist 𝑓 (eine Stammfunktion) mindestens vom Grad 4. Ergebnis: Die Aussage ist wahr.

Pflichtteil 2015 Aufgabe 6: Gegeben sind die drei Punkte 𝐴 4 0 4 , 𝐵 0 4 4 , 𝐶 6 6 2 . Zeigen Sie, dass das Dreieck 𝐴𝐵𝐶 gleichschenklig ist. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck 𝐴𝐵𝐶 zu einem Parallelogramm ergänzt. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt. (5 VP)

𝐴 4 0 4 𝐵 0 4 4 𝐶 6 6 2 Pflichtteil 2015 Lösung: Behauptung: Das Dreieck 𝑨𝑩𝑪 ist gleichschenklig Es gilt 𝐴𝐶 = 2 6 −2 , 𝐵𝐶 = 6 2 −2 also 𝐴𝐶 = 2 2 + 6 2 + −2 2 = 44 und 𝐵𝐶 = 6 2 + 2 2 + −2 2 = 44 . Folglich ist 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 und das Dreieck 𝐴𝐵𝐶 wie behauptet gleichschenklig. b) Parallelogramm Wie die nebenstehende Skizze zeigt, gibt es drei Punkte, 𝐷 1 , 𝐷 2 und 𝐷 3 , durch die das Dreieck zu einem Parallelogramm ergänzt werden kann. 𝐶 𝐷 3 𝐷 1 𝐴 𝐵 𝐷 2

𝐴 4 0 4 𝐵 0 4 4 𝐶 6 6 2 Pflichtteil 2015 Mit der Gleichung 0𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 0 𝐷 1 lässt sich z.B. 𝐷 1 bestimmen und es gilt: 0 𝐷 1 = 4 0 4 + −4 4 0 + 2 6 −2 = 2 10 2 Ergebnis: Einer der Punkte, der das Dreieck 𝐴𝐵𝐶 zu einem Parallelogramm ergänzt ist 𝐷 1 2 10 2 . Analog erhält man die beiden anderen möglichen Punkte: 𝐷 2 −2 −2 6 und 𝐷 3 10 2 2 . 𝐶 𝐷 1 𝐴 𝐵

Pflichtteil 2015 Aufgabe 7: Gegeben ist die Ebene 𝐸:4 𝑥 1 +3 𝑥 3 =12. a) Stellen Sie 𝐸 in einem Koordinatensystem dar. b) Bestimmen Sie alle Punkte der 𝑥 3 -Achse, die von 𝐸 den Abstand 3 haben. (3 VP)

Pflichtteil 2015 Lösung: a) Darstellung im Koordinatensystem Aus der Gleichung 𝐸:4 𝑥 1 +3 𝑥 3 =12 ermittelt man zunächst die Spurpunkte. Für 𝑥 3 = 𝑥 2 =0 folgt 𝑥 1 =3, also 𝑆 1 3 0 0 . Für 𝑥 1 = 𝑥 2 =0 folgt 𝑥 3 =4, also 𝑆 3 0 0 4 . Das Fehlen der 𝑥 2 -Koordinate in der Ebenengleichung bedeutet, dass die Ebene parallel zur 𝑥 2 -Achse verläuft, siehe nebenstehende Abbildung. 𝑥 3 𝐸 1 𝑥 2 1 1 𝑥 1

𝐸:4 𝑥 1 +3 𝑥 3 =12 Pflichtteil 2015 b) Punkte auf der 𝒙 𝟑 -Achse, die von 𝑬 den Abstand 3 haben Wir überführen die Ebene zunächst in die Hesse‘sche Normalenform (HNF). Ein Normalenvektor für 𝐸 ist 𝑛 = 4 0 3 mit Länge 𝑛 = 4 2 + 0 2 + 3 2 =5. Daraus ergibt sich die 𝐻𝑁𝐹 𝐸: 4 𝑥 1 +3 𝑥 3 −12 5 =0. Der Punkt 𝑃 0 0 𝑐 auf der 𝑥 3 -Achse soll zu 𝐸 den Abstand 3 haben. Damit gilt: 𝑑 𝑃;𝐸 = |4⋅0+3𝑐−12| 5 = |3𝑐−12| 5 =3 Es folgt 3𝑐−12 =15.

3𝑐−12 =15 Pflichtteil 2015 Um die Betragsgleichung zu lösen, unterscheiden wir zwei Fälle. Fall 𝟏, 3𝑐−12≥0: Dann können wir die Betragsstriche einfach weglassen. Es folgt 3𝑐−12=15, also 𝑐=9. Fall 𝟐, 3𝑐−12<0: Dann können wir die Betragsstriche erst auflösen, wenn der Ausdruck im Betrag mit −1 multipliziert wird. Es folgt −3𝑐+12=15, also 𝑐=−1. Ergebnis: Die Punkte 𝑃 1 0 0 9 und 𝑃 2 0 0 −1 auf der 𝑥 3 -Achse haben zu 𝐸 den Abstand 3.

Pflichtteil 2015 Aufgabe 8 Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden: Rot 20% Grün: 30% Blau 50% Das Glücksrad wird 𝑛-mal gedreht. Die Zufallsvariable 𝑋 gibt an, wie oft die Farbe rot angezeigt wird. Begründen Sie, das 𝑋 binomialverteilt ist.

Pflichtteil 2015 Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von 𝑋: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal rot angezeigt wird. Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von n der Tabelle zugrunde liegen kann: 20, 25 oder 30. Begründen Sie Ihre Entscheidung. (4 VP) k 1 2 3 4 5 6 7 … 𝑃(𝑋=𝑘) 0,01 0,06 0,14 0,21 0,22 0,17 0,11 0,05

Pflichtteil 2015 Lösung Begründung für die Binomialverteilung von 𝑿 WS := Wahrscheinlichkeit Pflichtteil 2015 Lösung Begründung für die Binomialverteilung von 𝑿 Bei einer einzelnen Drehung gibt 𝑋 an, ob der rote Sektor gewählt wurde oder nicht. Das Experiment hat also nur zwei Ausgänge „Treffer“ oder „kein Treffer“, bei gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit (𝑝=0,2). Damit handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment. Bei 𝑛-maliger Wiederholung haben wir eine Bernoulli-Kette der Länge 𝑛. Entsprechend ist 𝑋 binomialverteilt.

Pflichtteil 2015 Wahrscheinlichkeit für „mindestens dreimal rot“ WS := Wahrscheinlichkeit Pflichtteil 2015 Wahrscheinlichkeit für „mindestens dreimal rot“ Gesucht ist 𝑃 𝑋≥3 . Mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit berechnen wir: 𝑃 𝑋≥3 =1−𝑃 𝑋≤2 Aus der Tabelle kann man die Einzelwahrscheinlichkeiten für 𝑃 𝑋≤2 entnehmen. Es folgt: 𝑃 𝑋≥3 =1−𝑃 𝑋≤2 =1−0,01−0,06−0,14=0,79=79% Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit für „mindestens dreimal rot“ beträgt 79%.

Pflichtteil 2015 Bestimmung von 𝒏 Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable 𝑋 bei 𝑛 Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit 𝑝 ist gegeben durch 𝐸 𝑋 =𝑛⋅𝑝. Der Erwartungswert ist der „gewichtete Mittelwert“ der Wahrscheinlichkeits- verteilung und liegt in unserem Fall bei etwa 4, was aus der Tabelle abgelesen werden kann. 𝑝=0,2 war vorgegeben. Also gilt 4=𝑛⋅0,2 und damit gilt 𝑛=20. Ergebnis: Die angegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung wird am ehesten durch eine Versuchsreihe mit 𝑛=20 Experimenten erreicht.

Pflichtteil 2015 Aufgabe 9: Mit wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet. Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper. (3 VP) 𝑉=𝜋 0 4 4− 1 2 𝑥 2 𝑑𝑥

Pflichtteil 2015 𝑉=𝜋 0 4 4− 1 2 𝑥 2 𝑑𝑥 Lösung Der Ausdruck 𝑦=𝑓(𝑥)=4− 1 2 𝑥 stellt eine fallende Gerade dar. Diese rotiert im Bereich zwischen 𝑥=0 und 𝑥=4 um die x-Achse und erzeugt dadurch einen Kegelstumpf, siehe Abbildung.