DG2 – Zylinderschnitte Aufgabenstellung: Ein Kegel wird mit einem Zylinder geschnitten

DG2 – Zylinderschnitte In der Angabe ist ein aufrechter Kegel zu sehen, der mit einem horizontalen Zylinder, der senkrecht auf P2 steht, geschnitten wird. 2

DG2 – Zylinderschnitte In der Angabe ist ein aufrechter Kegel zu sehen, der mit einem horizontalen Zylinder, der senkrecht auf P2 steht, geschnitten wird. Die Angaben werden in den Grund-riss übertragen. Der horizontale Zylinder ist als Rechteck abgebildet. Es gibt mehrere Möglichkeiten diese Verschneidung zu lösen. Als erste wird die Verschneidung durch horizontale Schnittebenen gelöst. Das Prinzip wird nun kurz erläutert. 3

DG2 – Zylinderschnitte Es kann an jeder beliebigen Stelle ein horizontaler* Schnitt gelegt werden, der beide Elemente, Kegel und Zylinder, schneidet. In diesem Beispiel wurde ein Schnitt unterhalb der Zylinderachse gewählt. * „horizontaler“ Schnitt ist im gegebe-nen Beispiel richtig. Hätte der Kegel eine andere Lage, z.B. Grundfläche in P2, dann müsste es genau und allgemeingültig lauten, „die Schnitt-ebenen werden senkrecht auf die Kegelachse gelegt“ Zurück zu Folie 21 4

DG2 – Zylinderschnitte Der Schnitt des Kegel ergibt einen Kreis. Der Radius wird in den Grundriss übertragen … Zurück zu Folie 21 5

DG2 – Zylinderschnitte Der Schnitt des Kegel ergibt einen Kreis. Der Radius wird in den Grundriss übertragen und der Kreis auch gezeichnet. Zurück zu Folie 21 6

DG2 – Zylinderschnitte Der gleiche Schnitt schneidet auch den Zylinder und ergibt ein Rechteck als Schnittfigur (dies deshalb, da der Schnitt parallel zur Zylinderachse geführt wurde). Zurück zu Folie 21 7

DG2 – Zylinderschnitte Der gleiche Schnitt schneidet auch den Zylinder und ergibt ein Rechteck als Schnittfigur (dies deshalb, da der Schnitt parallel zur Zylinderachse geführt wurde). Im Bild ist dieses Rechteck stark eingezeichnet und eingefärbt. Zurück zu Folie 21 8

DG2 – Zylinderschnitte Der gleiche Schnitt schneidet auch den Zylinder und ergibt ein Rechteck als Schnittfigur (dies deshalb, da der Schnitt parallel zur Zylinderachse geführt wurde). Im Bild ist dieses Rechteck stark eingezeichnet und eingefärbt. Nun wurde auch die Kreisfläche eingefärbt. Die Schnittpunkte der beiden Schnittfiguren, Rechteck und Kreis, liegen in einer Ebene und …. Zurück zu Folie 21 9

DG2 – Zylinderschnitte Der gleiche Schnitt schneidet auch den Zylinder und ergibt ein Rechteck als Schnittfigur (dies deshalb, da der Schnitt parallel zur Zylinderachse geführt wurde). Im Bild ist dieses Rechteck stark eingezeichnet und eingefärbt. Nun wurde auch die Kreisfläche eingefärbt. Die Schnittpunkte der beiden Schnittfiguren, Rechteck und Kreis, liegen in einer Ebene und ergeben somit vier Punkte der Ver-schneidung von Kegel und Zylinder. Zurück zu Folie 21 10

DG2 – Zylinderschnitte Wenn die Konstruktionen entfernt sind, werden die vier Verscheidungspunkte deutlich sichtbar. Zurück zu Folie 21 11

DG2 – Zylinderschnitte Wenn die Konstruktionen entfernt sind, werden die vier Verscheidungspunkte deutlich sichtbar. Normalerweise werden bei der Konstruktion der Verschneidung nicht die ganzen Schnittkreise gezeichnet, sondern es wird in diesem Beispiel der Radius aus dem Aufriss entnommen und dann im Grundriss von der Achse des Kegels aus auf die Schnittseiten des Zylinderschnittes aufgetragen, in diesem Fall vier mal. 12

DG2 – Zylinderschnitte Es gibt auch Schnittebenen, die nur zwei Schnittpunkte ergeben, da nur eine Seitenkante des Zylinderschnit-tes den Kegel durchdringt. 13

DG2 – Zylinderschnitte Es gibt auch Schnittebenen, die nur zwei Schnittpunkte ergeben, da nur eine Seitenkante des Zylinderschnit-tes den Kegel durchdringt. Der Radius vom Aufriss wird über-nommen und im Grundriss über-tragen. Bevor mit den eigentlichen Schnitt-ebenen begonnen wird, werden jene Punkte der Verschneidung gezeich-net, die eine besondere Lage haben. 14

DG2 – Zylinderschnitte In der Angabe ist ein aufrechter Kegel zu sehen, der mit einem horizontalen Zylinder, der senkrecht auf Pi2 steht, geschnitten wird. Die Angaben werden in den Grund-riss übertragen. Der horizontale Zylinder ist als Rechteck abgebildet. Die linke Erzeugende des Kegels ist im Aufriss als Begrenzungslinie zu sehen und im Grundriss verläuft sie von der Spitze weg nach links. Sie ist parallel zu P2. Daher ist auch im Aufriss die Durchdringung durch den Zylinder zu sehen. 15

DG2 – Zylinderschnitte In der Angabe ist ein aufrechter Kegel zu sehen, der mit einem horizontalen Zylinder, der senkrecht auf Pi2 steht, geschnitten wird. Die Angaben werden in den Grund-riss übertragen. Der horizontale Zylinder ist als Rechteck abgebildet. Die linke Erzeugende des Kegels ist im Aufriss als Begrenzungslinie zu sehen und im Grundriss verläuft sie von der Spitze weg nach links. Sie ist parallel zu P2. Daher ist auch im Aufriss die Durchdringung durch den Zylinder zu sehen. Die Durchdringungspunkte werden in den Grundriss übertragen. 16

DG2 – Zylinderschnitte Es gibt mehrere Möglichkeiten die Verschneidung dieser beiden runden Körper zu konstruieren. In diesem Beispiel wurde die Methode mit horizontalen Kegelschnitten, die immer kleiner werdende Kreise ergeben, gewählt. Die zweite Möglichkeit mit vertikalen Schnitt-ebenen (Folie 36) erfolgt im zweiten Teil der Präsentation. Im Aufriss ist eine horizontale Schnittebene durch den Kegel gelegt worden, der den Zylinder unten tangential berührt. Dieser Schnitt schneidet den Kegel kreisförmig. Der Radius dieses Kreises ist im Aufriss als stärkere rote Linie sichtbar. 17

DG2 – Zylinderschnitte Dieser rot gezeichnete Radius wird in den Zirkel genommen und im Grundriss von der Mittelachse des Kegels aus gezeichnet. 18

DG2 – Zylinderschnitte Dieser rot gezeichnete Radius wird in den Zirkel genommen und im Grundriss von der Mittelachse des Kegels aus gezeichnet. Dieser Kreis schneidet die Tangente des Zylinders, die genau unter den Achse des Zylinders liegt. 19

DG2 – Zylinderschnitte Dieser rot gezeichnete Radius wird in den Zirkel genommen und im Grundriss von der Mittelachse des Kegels aus gezeichnet. Dieser Kreis schneidet die Tangente des Zylinders, die genau unter der Achse des Zylinders liegt. Damit sind zwei weitere Schnitt-punkte konstruiert. 20

DG2 – Zylinderschnitte Nun werden weitere horizontal Schnittebenen durch den Kegel gelegt, die wieder Kreise ergeben Diese Schnittebenen schneiden den horizontalen Zylinder in horizontale Rechtecke. Dieses Prinzip wurde ab Folie 4 ausführlich erklärt. 21

DG2 – Zylinderschnitte Nun werden weitere horizontal Schnittebenen durch den Kegel gelegt, die wieder Kreise ergeben Diese Schnittebenen schneiden den horizontalen Zylinder in horizontale Rechtecke. Dieses Prinzip wurde ab Folie 4 ausführlich erklärt. Die Schnittebenen wurden färbig eingezeichnet, sodass eine Zuord-nung der Schnittpunkte leichter erfolgen kann. 22

DG2 – Zylinderschnitte Nun werden weitere horizontale Schnittebenen durch den Kegel gelegt, die wieder Kreise ergeben Diese Schnittebenen schneiden den horizontalen Zylinder in horizontale Rechtecke. Dieses Prinzip wurde ab Folie 4 ausführlich erklärt. Die Schnittebenen wurden färbig eingezeichnet, sodass eine Zuord-nung der Schnittpunkte leichter erfolgen kann. Es wurden zunächst alle Schnittpunkte jener horizontalen Ebenen gezeichnet, die unterhalb der Zylinderachse gelegt wurden. 23

DG2 – Zylinderschnitte In dieser Zeichnung ist eine Über-prüfungsmöglickeit gegeben. Eine der beliebig gelegten Schnittebenen (vierte Schnittebene von unten) wurde genau durch den unteren Schnittpunkt der linken Erzeu-genden gelegt. Damit muss der Radius dieses Schnittkreises auch exakt diesen Schnittpunkt der Erzeugenden erreichen, in der Zeichnung mit der Farbe Pink eingefärbt. 24

DG2 – Zylinderschnitte Im Grundriss wurden die Konstruk-tionen der bisherigen Schnittpunkte entfernt, damit für die Schnittebenen oberhalb der Zylinderachse die Konstruktionen besser zu erkennen sind. Das Prinzip bleibt immer das selbe, die horizontalen Schnittebenen schneiden den Kegel in Kreisen, die mit den rechteckigen Schnitten des Zylinders die Schnittpunkte der Körperverschneidungen ergeben. 25

DG2 – Zylinderschnitte Im Grundriss wurden die Konstruk-tionen der bisherigen Schnittpunkte entfernt, damit für die Schnittebenen oberhalb der Zylinderachse die Konstruktionen besser zu erkennen sind. Das Prinzip bleibt immer das selbe, die horizontalen Schnittebenen schneiden den Kegel in Kreisen, die mit den rechteckigen Schnitten des Zylinders die Schnittpunkte der Körperverschneidungen ergeben. Auf diese Weise sind die Schnitte der Schnittebenen oberhalb der Zylinderachse konstruiert worden. 26

DG2 – Zylinderschnitte Nun wurden wieder die Konstruk-tionen im Grundriss entfernt, um die Sichtbarkeit der bisher konstruierten Punkte zu erhöhen. Es ist die eigentliche Verschneidung schon recht gut zu sehen. Allerdings sollten noch einige Schnittebenen gelegt werden, damit die Verschnei-dung genauer wird. 27

DG2 – Zylinderschnitte Nun wurden wieder die Konstruk-tionen im Grundriss entfernt, um die Sichtbarkeit der bisher konstruierten Punkte zu erhöhen. Es ist die eigentliche Verschneidung schon recht gut zu sehen. Allerdings sollten noch einige Schnittebenen gelegt werden, damit die Verschnei-dung genauer wird. Die obere Tangentialebene des Zylinders ergibt zwei wichtige Punkte. 28

DG2 – Zylinderschnitte Nun wurden wieder die Konstruk-tionen im Grundriss entfernt, um die Sichtbarkeit der bisher konstruierten Punkte zu erhöhen. Es ist die eigentliche Verschneidung schon recht gut zu sehen. Allerdings sollten noch einige Schnittebenen gelegt werden, damit die Verschnei-dung genauer wird. Die obere Tangentialebene des Zylinders ergibt zwei wichtige Punkte (orange Konstruktion). Ebenso wurde eine Schnittebene durch die Zylinderachse gelegt (blaue Konstruktion). 29

DG2 – Zylinderschnitte Nach dem entfernen der Konstruk-tion ist die Verschneidung nun schon sehr gut zu sehen. 30

DG2 – Zylinderschnitte Nach dem entfernen der Konstruk-tion ist die Verschneidung nun schon sehr gut zu sehen. Werden die Punkte nun verbunden erhöht das nochmals die Sichtbar-keit. 31

DG2 – Zylinderschnitte Nach dem Entfernen der Konstruk-tion ist die Verschneidung nun schon sehr gut zu sehen. Werden die Punkte nun verbunden erhöht das nochmals die Sichtbar-keit. Der Zylinder „steckt“ in dem Kegel und daher ist die Verschneidung oberhalb der Achsenebene sichtbar, ….. 32

DG2 – Zylinderschnitte Nach dem Entfernen der Konstruk-tion ist die Verschneidung nun schon sehr gut zu sehen. Werden die Punkte nun verbunden erhöht das nochmals die Sichtbar-keit. Der Zylinder „steckt“ in dem Kegel und daher ist die Verschneidung oberhalb der Achsenebene sichtbar, unterhalb unsichtbar. 33

DG2 – Zylinderschnitte Wäre die Verschneidung als zylin-drische Durchbohrung eines Kegels angegeben, würde die Sichtbarkeit wie in dieser Zeichnung zu sehen sein. Im zweiten Teil wird diese Ver-schneidung noch verfeinert und auf Folie 58 ist das Ergebnis zu sehen. 34

DG2 – Zylinderschnitte Die zweite Möglichkeit die Ver-schneidung zu lösen ist mit vertikalen Schnittebenen (vertikal in diesem Beispiel, bei anderer Lage des Kegel müsste es „Schnittebene senkrecht auf die Kegelgrundfläche“ lauten). Allgemein ergeben senkrecht auf die Grundfläche stehende Schnitte grundsätzlich Hyperbeln als Schnitt-figur. 35

DG2 – Zylinderschnitte Die zweite Möglichkeit die Ver-schneidung zu lösen ist mit vertikalen Schnittebenen (vertikal in diesem Beispiel, bei anderer Lage des Kegel müsste es „Schnittebene senkrecht auf die Kegelgrundfläche“ lauten). Allgemein ergeben senkrecht auf die Grundfläche stehende Schnitte grundsätzlich Hyperbeln als Schnitt-figur. Schnitte durch die Achse des Kegels ergeben ein Dreieck, Spitze und zwei Punkte auf dem Basiskreis. Zurück zu Folie 17 36

DG2 – Zylinderschnitte Der Schnitt wird Grundriss gelegt und die Punkte des Basiskreises in den Aufriss übertragen. Zurück zu Folie 17 37

DG2 – Zylinderschnitte Der Schnitt wird Grundriss gelegt und die Punkte des Basiskreises in den Aufriss übertragen. Verbunden mit der Spitze ergibt dies das Schnittdreieck. Zurück zu Folie 17 38

DG2 – Zylinderschnitte Der Schnitt wird Grundriss gelegt und die Punkte des Basiskreises in den Aufriss übertragen. Verbunden mit der Spitze ergibt dies das Schnittdreieck. Im Aufriss sind die Schnittpunkte mit dem Zylinder zu sehen, … Zurück zu Folie 17 39

DG2 – Zylinderschnitte Der Schnitt wird Grundriss gelegt und die Punkte des Basiskreises in den Aufriss übertragen. Verbunden mit der Spitze ergibt dies das Schnittdreieck. Im Aufriss sind die Schnittpunkte mit dem Zylinder zu sehen, werden diese in den Grundriss übertragen, … Zurück zu Folie 17 40

DG2 – Zylinderschnitte Der Schnitt wird Grundriss gelegt und die Punkte des Basiskreises in den Aufriss übertragen. Verbunden mit der Spitze ergibt dies das Schnittdreieck. Im Aufriss sind die Schnittpunkte mit dem Zylinder zu sehen, werden diese in den Grundriss übertragen, ergeben sich die Verschneidungs-punkte am Mantel des Zylinders. Zurück zu Folie 17 41

DG2 – Zylinderschnitte Ein weiterer Schnitt durch die Kegel-achse. 42

DG2 – Zylinderschnitte Ein weiterer Schnitt durch die Kegel-achse. Die Schnittpunkte mit dem Basiskreis werden in den Aufriss übertragen. 43

DG2 – Zylinderschnitte Ein weiterer Schnitt durch die Kegel-achse. Die Schnittpunkte mit dem Basiskreis werden in den Aufriss übertragen. Im Aufriss ist das Schnittdreieck zu sehen und … 44

DG2 – Zylinderschnitte Ein weiterer Schnitt durch die Kegel-achse. Die Schnittpunkte mit dem Basiskreis werden in den Aufriss übertragen. Im Aufriss ist das Schnittdreieck zu sehen und Schnittpunkte auf dem Mantel des Zylinders. 45

DG2 – Zylinderschnitte Diese Schnittpunkte werden in den Grundriss übertragen und … 46

DG2 – Zylinderschnitte Diese Schnittpunkte werden in den Grundriss übertragen und ergeben die Verschneidungspunkte am Zylinder. 47

DG2 – Zylinderschnitte Wird nun die Verschneidung aus dem ersten Teil der Präsentation übernommen, ist zu sehen, dass die nunmehrigen Punkte die bisherige Verschneidung gut ergänzen. 48

DG2 – Zylinderschnitte Da es sich bei dem gegebenen Beispiel um besondere Lagen der Körper handelt, gerader Kegel mit Grundfläche in erster Hauptlage, Zylinder senkrecht auf Pi2, ergibt sich eine symmetrische Verschnei-dung im Grundriss. Somit können auch die bisherigen senkrechten Schnittebenen gespiegelt werden. Im linken Bild die rote Schnittebene und … 49

DG2 – Zylinderschnitte Da es sich bei dem gegebenen Beispiel um besondere Lagen der Körper handelt, gerader Kegel mit Grundfläche in erster Hauptlage, Zylinder senkrecht auf Pi2, ergibt sich eine symmetrische Verschnei-dung im Grundriss. Somit können auch die bisherigen senkrechten Schnittebenen gespiegelt werden. Im linken Bild die rote Schnittebene und nun auch die blaue… 50

DG2 – Zylinderschnitte Da es sich bei dem gegebenen Beispiel um besondere Lagen der Körper handelt, gerader Kegel mit Grundfläche in erster Hauptlage, Zylinder senkrecht auf Pi2, ergibt sich eine symmetrische Verschnei-dung im Grundriss. Somit können auch die bisherigen senkrechten Schnittebenen gespiegelt werden. Im linken Bild die rote Schnittebene und nun auch die blaue Schnitt-ebene mit den Verschneidungs-punkten am Zylindermantel. 51

DG2 – Zylinderschnitte Nochmals die Verschneidung aus dem ersten Teil darübergelegt und angepasst. Es ist zu sehen, dass die Verschnei-dungslinie links noch zu verfeinern wäre. 52

DG2 – Zylinderschnitte Nochmals die Verschneidung aus dem ersten Teil darübergelegt und angepasst. Es ist zu sehen, dass die Verschnei-dungslinie links noch zu verfeinern wäre. Hier der letzte Vertikalschnitt, … 53

DG2 – Zylinderschnitte Nochmals die Verschneidung aus dem ersten Teil darübergelegt und angepasst. Es ist zu sehen, dass die Verschnei-dungslinie links noch zu verfeinern wäre. Hier der letzte Vertikalschnitt, der im Aufriss schon sehr knapp bei der Umrisslinie des Kegels zu liegen kommt. 54

DG2 – Zylinderschnitte Nochmals die Verschneidung aus dem ersten Teil darübergelegt und angepasst. Es ist zu sehen, dass die Verschnei-dungslinie links noch zu verfeinern wäre. Hier der letzte Vertikalschnitt, der im Aufriss schon sehr knapp bei der Umrisslinie des Kegels zu liegen kommt. Die Schnittpunkte am Zylindermantel … 55

DG2 – Zylinderschnitte Nochmals die Verschneidung aus dem ersten Teil darübergelegt und angepasst. Es ist zu sehen, dass die Verschnei-dungslinie links noch zu verfeinern wäre. Hier der letzte Vertikalschnitt, der im Aufriss schon sehr knapp bei der Umrisslinie des Kegels zu liegen kommt. Die Schnittpunkte am Zylindermantel ergeben aber im Grundriss … 56

DG2 – Zylinderschnitte Nochmals die Verschneidung aus dem ersten Teil darübergelegt und angepasst. Es ist zu sehen, dass die Verschnei-dungslinie links noch zu verfeinern wäre. Hier der letzte Vertikalschnitt, der im Aufriss schon sehr knapp bei der Umrisslinie des Kegels zu liegen kommt. Die Schnittpunkte am Zylindermantel ergeben aber im Grundriss eine deutliche Verbes-serung der Verschneidungslinie. 57

DG2 – Zylinderschnitte Diese Verschneidungslinie ist wesentlich harmonischer, als jene am Ende des ersten Teiles, Folie 34. Mit mehr Schnitten wird die Verschneidungslinie immer genauer, es ist aber ein Kompromiss zwischen Genauigkeit und ausreichender Sichtbarkeit zu treffen. Nächste Folie ist Präsentationsende. 58

Danke für´s Mitdenken! Euer DG2 – Zylinderschnitte n.willmann@liwest.at www.nw-service.at