Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung ETHZ Studienwoche 2016 Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung

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Computer-Experimente Übersicht Ableitung Analytisch Numerische Ableitung Integral Numerische Integration Differentiagleichungen Numerische Verfahren Computer-Experimente mit PYTHON

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit = A Variation der Zeit Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit = A Variation der Zeit Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65 Mittlere Geschw. 9.28 m/s -3.96 m/s

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? Graphische Interpretation: B B C C Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit A = A Variation der Zeit Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65 Hoehe als Funktion der Zeit Mittlere Geschw. 9.28 m/s -3.96 m/s

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? Graphische Interpretation: B B C C Variation der Hoehe Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit A = A Variation der Zeit Variation der Zeit Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65 Hoehe als Funktion der Zeit Mittlere Geschw. 9.28 m/s -3.96 m/s

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? Graphische Interpretation: B B C C Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit A = A Variation der Zeit Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65 Hoehe als Funktion der Zeit Mittlere Geschw. 9.28 m/s -3.96 m/s

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? Instantane Geschwindigkeit??? B C Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit = A Variation der Zeit A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65 Mittlere Geschw. 9.28 m/s -3.96 m/s

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? A1 Instantane Geschwindigkeit??? B A C Variation der Position Instantane Geschw. = A “Sehr kleine” Variation der Zeit ZOOM! ... A A1 A2 Zeit t [s] 1.0 1.1 1.05 Hoehe h [m] 19.1 20.46 19.79 Geschw. 13.70 m/s 13.94 m/s

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? A1 Instantane Geschwindigkeit??? B A C Instantane Geschw. = A ZOOM! ... A A1 A2 Zeit t [s] 1.0 1.1 1.05 Hoehe h [m] 19.1 20.46 19.79 Geschw. 13.60 m/s

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? A1 Instantane Geschwindigkeit??? B A C Instantane Geschw. = A ZOOM! ... A A1 A2 Zeit t [s] 1.0 1.1 1.05 Hoehe h [m] 19.1 20.46 19.79 Geschw. 13.80 m/s

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? A1 Instantane Geschwindigkeit??? B A C Instantane Geschw. = A ZOOM! ... A A1 A2 Zeit t [s] 1.0 1.1 1.05 Hoehe h [m] 19.1 20.46 19.79 Geschw. 13.80 m/s

Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? A1 Instantane Geschwindigkeit??? B !!! Endliche Genauigkeit des Rechners !!! A C Instantane Geschw. = A ZOOM! ... A A1 A2 Zeit t [s] 1.0 1.1 1.05 Hoehe h [m] 19.1 20.46 19.79 Geschw. 13.80 m/s

Das Integral Wie bestimmt man die Position eines Gegenstands wenn man seine Geschwindigkeit kennt? B C Distanz = Geschwindigkeit x Zeit A A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Geschw. v [m/s] 14.19 4.38 -12.30

Das Integral Wie bestimmt man die Position eines Gegenstands wenn man sein Geschwindigkeit kennt? A B C B Distanz = Geschwindigkeit x Zeit A C A B C Zeit t [s] 0.5 1.0 1.7 Geschw. v [m/s] 14.19 4.38 -9.35

Das Integral Wie bestimmt man die Position eines Gegenstands wenn man sein Geschwindigkeit kennt? A B C B Distanz = Geschwindigkeit x Zeit A C A B C Zeit t [s] 0.5 1.0 1.7 Geschw. v [m/s] 14.19 4.38 -9.35

Das Integral Wie bestimmt man die Position eines Gegenstands wenn man sein Geschwindigkeit kennt? A B C B Distanz = Geschwindigkeit x Zeit A C A B C Zeit t [s] 0.5 1.0 1.7 Geschw. v [m/s] 14.19 4.38 -9.35

Das Integral Wie bestimmt man die Position eines Gegenstands wenn man sein Geschwindigkeit kennt? A B C B Distanz = Geschwindigkeit x Zeit A C A B C Zeit t [s] 0.5 1.0 1.7 Geschw. v [m/s] 14.19 4.38 -9.35

Das Integral Allgemein: ?

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Das Integral Allgemein: Untersumme ~ Minimum

Das Integral Allgemein: Obersumme ~ Maximum

Das Integral Allgemein:

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Das Integral Allgemein:

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Zusammenhang Stammfunktion Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Numerische Behandlung Gegeben: Berechne eine Approximation der Ableitung mit sog. vorwaerts finiten Differenzen in PYTHON

Numerische Behandlung Gegeben: Berechne eine Approximation des Integrals mit der sog. Trapezregel in PYTHON

Differentialgleichungen DGL erster Ordnung DGL zweiter Ordnung DGL n-ter Ordnung

Differentialgleichungen Beispiele Zweites newtonsches Gesetz (1D) Radioaktiver Zerfall Masse Oft: Kraft Beschleunigung Anzahl Atomkerne Zerfallskonstante

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Projekt 1++ Wurf mit Luftwiderstand: Bestimme Anfangsgeschwindigkeit so dass das Projektil das Auto trifft! Tipp: Verwende Bisektion! Gewichtskraft Widerstandskraft Wasserballon!!!