Geraden im Raum 1. Geradengleichung 2. Spurpunkte 3. Spezielle Lagen bezüglich KS 4. Lage zweier Geraden zueinander 5. Abstand Punkt - Gerade
1. Geradengleichung (Parameterform) B A Ortsvektor zum „Aufpunkt“ A „Richtungsvektor“ Mit diesen beiden Vektoren lässt sich nun ein beliebiger Punkt P der Geraden g beschreiben: + t · t: reelle Zahl Jeder Punkt P der Geraden g hat die Form:
2. Spurpunkte: eine Gerade hinterlässt ‚Spuren‘ im Raum Berechnung der Spurpunkte aus der Geradengleichung: xz-Ebene yz-Ebene Sxy: z = 0 = 3 + 4t Sxz Syz: x = 0 = 1 + 4t Syz Sxz: y = 0 = 6 - 5t Sxy xy-Ebene Geradengleichung:
3. Spezielle Lage von Geraden bezüglich Koordinatensystem • Gerade parallel zu genau einer Koordinatenachse • Gerade parallel zu genau einer Koordinatenebene • Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems
4. Lage zweier Geraden zueinander Berechnungen: g h 1a. Echt parallel 1a. Richtungsvektoren parallel (kollinear) g = h 1b. Richtungsvektoren parallel; Aufpunkt von g liegt auf h 1b. Identisch 2a,b Richtungsvektoren nicht parallel; 2a. Nicht parallel / sich schneidend g S Gleichung erfüllt: gemeinsamer Punkt S = h 2b. Nicht parallel / nicht schneidend: windschief 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten t und s: g Gleichung nicht erfüllt: kein gemeinsamer Punkt S h t und s einsetzen in 3. Gleichung: ?
5. Abstand Punkt - Gerade P: (xp / yP / zP) g: d = ? L: Lotpunkt Berechnung von L und d: (1) L = (x0+t·ax / y0+t·ay / z0+t·az) (2) (3) Vektor PL steht senkrecht auf g, d.h. Skalarprodukt Mit Hilfe dieser Gleichung lässt sich t bestimmen und damit auch L und d