Ebenen im Raum 1. Koordinatengleichung einer Ebene 2. Achsenabschnitte und Spurgeraden 3. Spezielle Lage von Ebenen 4. Ebene - Gerade 5. Abstand Punkt - Ebene

1. Koordinatengleichung einer Ebene Eine Ebene ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt A der Ebene und durch einen Vektor, welcher senkrecht zur Ebene steht. gegeben: Punkt A = (ax / ay / az) und Beliebiger Punkt P der Ebene: P = (x / y / z) Der Ausdruck D = -nxax – nyay – nzaz lässt sich durch die gegebenen Grössen berechnen. Ebenengleichung der Ebene E: nx·x + ny·y + nz·z + D = 0 Bedeutung von D: falls ergibt D den Abstand des Koordinatenursprungs zur Ebene E

Beispiel einer Ebene E, welche durch drei Punkte gegeben ist gegeben: A = (3 / 0 / 6) , B = (6 / -6 / -4) , C = (-2 / -4 / 4) (1) nE-Vektor bestimmen mit Vektorprodukt: C A B (2) Ebenengleichung: -2x + 4y – 3z + D = 0 (3) D bestimmen: ein Punkt (z.B. A) der Ebene in Ebenengleichung einsetzen: -2·3 + 4·0 – 3·6 + D = 0 ; D = 24 Ebenengleichung E: -2x + 4y – 3z + 24 = 0

2. Achsenabschnitte und Spurgeraden Eine Ebene E in allgemeiner Lage schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten A,B und C: z y x Die Achsenabschnitte a,b und c ergeben sich aus der Ebenengleichung: C c Achsenabschnitt a: y = z = 0  a Achsenabschnitt b: x = z = 0  b b Achsenabschnitt c: x = y = 0  c a B Die Spurgeraden, Gerade AB, Gerade BC und Gerade AC ergeben sich aus den Schnittpunkten A, B und C. A Beispiel: Ebene E: 4x + 3y + 6z – 12 = 0 Achsenabschnitte: a: 4x – 12 = 0  a = 3 b: 3y – 12 = 0  b = 4 c: 6z – 12 = 0  c = 2 Spurgeraden:

3. Spezielle Lage von Ebenen A. bezüglich des Koordinatensystems Ebene E parallel Koordinatenebene Ebene E parallel Koordinatenachse Bsp: parallel xy-Ebene: x = y = 0 E: z – 3 = 0 Bsp: parallel x-Achse: x = 0 E: 2y + 3z – 6 = 0 B. Spezielle Lage zweier Ebenen zueinander echt parallel senkrecht F E F E n-Vektoren parallel (kollinear) Skalarprodukt:

4. Ebene - Gerade A. Durchstosspunkt S einer Geraden g durch die Ebene E gegeben: Ebenen- und Geradengleichung Beispiel: a‘ a S einsetzen der Geradengleichung in Ebenengleichung: A. Winkel a zwischen Ebene und Gerade a = 90° - a‘ a‘: Winkel zwischen n-Vektor der Ebene E und Richtungsvektor der Geraden g Beispiel:

5. Abstand Punkt - Ebene P d L E g gegeben: Ebene E und Punkt P ∉ E gesucht: Abstand d des Punktes P von der Ebene E Lösung: E (1) Lotgerade g gegeben durch P und n-Vektor der Ebene E L (2) Durchstosspunkt L (Lotpunkt) der Geraden g durch die Ebene E (vgl. 4A) (3) Beispiel: Ebene E: 4x – 3y + 15 = 0 ; Punkt P = (4 / 22 / 3) Formale Herleitung: E: A·x + B·y + C·z + D = 0 P = (xP / yP / zP)