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Matrizen, Eigenschwingungen zeitunabhängige Schrödingergleichung WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 7. Vorlesung.

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1 Matrizen, Eigenschwingungen zeitunabhängige Schrödingergleichung WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 7. Vorlesung

2 Gekoppelte Pendel Wie löst man die Newtonschen Bewegungsgleichungen ? Auslenkung aus Ruhelage u i

3 Gekoppelte Pendel Gesamtheit der Bewegungsgleichungen kann in Matrixform dargestellt werden Wir können das in kompakter Form schreiben

4 Matrizen Eine allgemeine Matrix dreht … … und skaliert einen Vektor Wird ein Vektor nur skaliert aber nicht gedreht, so nennt man ihn einen Eigenvektor und den Skalierungsfaktor den zugehörigen Eigenwert

5 Gekoppelte Pendel Bewegungsgleichung für Pendel Was passiert für Eigenvektor ? (wir nehmen an, dass EW positiv ist) Ein Eigenvektor schwingt periodisch mit einer konstanten Frequenz

6 Eigenvektoren und Eigenwerte Wie bestimmt man Eigenvektoren und Eigenwerte ?  Raten  Man fragt die Mathematikerin / den Mathematiker seines Vertrauens  Ausrechnen (siehe Mathematische Methoden)  Numerisch % dimension of matrix n = 8; % tridiagonal matrix M = full( gallery( 'tridiag', n, 1, -2, 1 ) ); % compute eigenvectors and values [ u, lambda ] = eig( M );

7 Eigenvektoren und Eigenwerte Einige Eigenvektoren („Eigenmoden“) k=3k=4 k=1k=2k=3k=4 Schwingungsmuster einer „Wellenmaschine“

8 Eigenvektoren und Eigenwerte Einige Eigenschaften für eine relle, symmetrische Matrix  Alle Eigenwerte sind reell  Die Eigenvektoren bilden eine vollständige Basis, das heißt, dass jeder beliebige Vektor als Linearkombination der Eigenvektoren dargestellt werden kann  Alle Eigenvektoren sind normiert

9 Schwingung elastischer Körper Das Prinzip der Eigenschwingungen lässt sich auch auf kontinuierliche Körper übertragen (Grenzwert vieler Punkte, die über Federkräfte miteinander wechselwirken)

10 Eigenschwingungen von Instrumenten Bei Eigenschwingungen ändert sich die Amplitude zeitlich periodisch, bei den Schwingungsknoten gilt immer u( r, t ) = 0

11 Chladnische Klangfiguren Eigenmoden einer schwingenden Platte

12 Grundmode einer schwingenden Saite, die bei x = 0 und x = L eingespannt ist, die Eigenschwingung ist bis auf die Amplitude bestimmt Schwingende Saite : Grundmode

13 Zusätzlich zur Grundmode gibt es noch Anregungsmoden, die mit einer anderen Frequenz schwingen können Schwingende Saite : Eigenmoden

14 Jede beliebige Anregung kann durch die Eigenmoden dargestellt werden, das zeitliche Verhalten ist allerdings komplizierter Schwingende Saite : beliebige Anregung

15 Eigenschwingungen der Wellenfunktion ?

16 Was schwingt da ? … Nicht viel ;-) – Wellenfunktion ist nur Hilfsgröße „Eigenschwingungen“ der Schrödingergleichung

17  Hamiltonoperator  Eigenwertgleichung  Schrödingergleichung Zeitliche Entwicklung eines Eigenzustandes „Eigenschwingungen“ der Schrödingergleichung

18 zeitabhängige Schrödingergleichung zeitunabhängige Schrödingergleichung Erwin Schrödinger, 1926 Zeitunabhängige Schrödingergleichung Die zeitunabhängige Schrödingergleichung erlaubt es, die Eigenzustände der Schrödingergleichung zu bestimmen

19  Raten  Lösen der Differentialgleichung mit Randbedingungen  Numerisch Wie bestimmt man die Eigenzustände ?

20 Freies Teilchen Ebene Wellen besitzen eine wohldefinierten Impuls (de Broglie-Wellenlänge) und sind Eigenzustände des freien Hamiltonoperators !!! i.W. haben wir das bereits bei der Propagation von freien Teilchen in Vorlesung 4 benutzt

21 innerhalb der Schachtel … Teilchen in der Schachtel Teilchen in der Schachtel (particle in a box) kann sich innerhalb des Bereiches 0 < x < L frei bewegen Randbedingung … Wie sehen die Eigenzustände und Eigenfunktionen aus ?

22 Teilchen in der Schachtel : Eigenzustände Vergleiche mit Abschätzung aus Heisenbergscher Unschärferelation


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